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 #1 - 18-01-2020 18:14:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3662

le motard et ses pites

2 frères ont à se rendre à une ville voisine et demandent de l'aide à leur ami motard et matheux. Le motard ne peut prendre qu'un passager, aussi on décide de laisser partir à pied l'un des frères, d'emmener l'autre en passager jusqu'à un point calculé tel que le reste du chemin qu'il lui restera à faire à pied jusqu'à la ville lui prendra exactement le même temps que le motard pour aller rechercher le frérot et le ramener à cette dite ville. Les 2 frères marchent à la même vitesse et le motard roule régulièrement.

Quel est le frère qui va marcher le plus ?

Bonne promenade.



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 #2 - 18-01-2020 19:22:44

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 279

le motard zt ses potes

bonsoir,

Bon , sans faire de calcul , tout le monde part à la même heure et arrive à la même heure . Les deux frères vont parcourir la même distance avec une vitesse moyenne
qui est une moyenne harmonique liée à la vitesse de la moto et celle des piétons .
plus la vitesse de la moto est élevée , plus la distance de marche sera faible .
Mais les 2 frères auront les même temps de marche et les même temps sur la moto

 #3 - 19-01-2020 10:08:35

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 279

le motaed et ses potes

bonjour,

Je confirme avec les calculs suivants:
Si x est la longueur parcourue à pied de chacun des 2 frères et d : la distance entre les 2 villages , alors le motard va parcourir :

L = 2d - 3x  pendant que le premier piéton , lui , aura terminé sa marche . Et si Vm/Vp est le rapport des vitesses , alors :
[TeX]  \cfrac{V_m}{V_p} = \cfrac{2d - 3x}{x}  [/TeX]
Imaginons les vitesses suivantes :  Vm = 60km/h  ,  Vp = 6km/h  et d = 13 km
on obtient dans ce cas :
[TeX] 2d = 13x [/TeX]
avec d = 13 km  ,  x = 2 km
Dans ce cas le premier piéton marche durant 20 min et le motard va déposer le frère 11 km plus loin , revient 9 km en arrière afin de récupérer le marcheur épuisé . A 60 km/h le motard a parcouru 11 + 9 = 20 km en 20 min .
Durant la marche du second , le motard va aussi parcourir 9 + 11 = 20 km  .
la durée de parcourt de tous les trois est  :
[TeX]  t = 20 min + 11 min = 31 min [/TeX]
Le motard a parcouru : 11 + 9 + 11 = 31 km en 31 min.

Et la vitesse moyenne des piétons sur les 13 km :
[TeX]  V = \cfrac{13}{\frac{2}{6} + \frac{11}{60}}  = \cfrac{13 \times{60}}{31} \approx 25.16 km/h[/TeX]

 #4 - 19-01-2020 10:22:55

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3662

Le motard et ess potes

Oui, Une Coudée, j'étais d'accord avec ta première réponse, quel besoin de faire des calculs ?

Comme c'était plutôt facile, une petite question subsidiaire ne sera pas superflue: sur le temps total du trajet, quelle part chacun des frères devra t'il passer à marcher au maximum et au minimum?

 #5 - 19-01-2020 19:16:44

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3028
Lieu: Luxembourg

Le motard et ess potes

De façon contrintuitive, les deux frères auront marché sur la même distance.
En effet, la distance entre le départ et le point de récupération du frérot et celle entre le point de dépôt et l'arrivée sont les mêmes.
Soient a et b les abscisses du point de récupération et du point de dépôt (0 au point de départ et 1 au point d'arrivée), avec 0=<a=<b=<1.
Soient V la vitesse de la moto, wV celle des marcheurs, avec 0=<w=<1, et T le temps de parcours.
On a: TV = b + (1-b)/w = a/w + 1 - a = 2b - 2a + 1
ce qui donne: a.(1 - a) = b.(1 - b) => b² - b + a(1 - a) = 0
Deux solutions:
1°) a = b, w = 1 et TV = 1 (solution dégénérée où le motard dépose l'un et reprend l'autre frère au milieu du parcours et où on marche aussi vite que la moto)
2°) a = 1 - b, w = 1 / (2/a - 3) et TV = 3 - 4a (solution où le parcours est symétrique par rapport à son milieu)

 #6 - 19-01-2020 21:48:51

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 874

Le mtard et ses potes

Par symétrie, on voit assez facilement que les deux frères marchent autant.

Pour la deuxième question, si la moto va k fois plus vite que les frères, alors le rapport entre le temps de marche et le temps total du trajet est 2k/(3k+1) : si la moto roule à la même vitesse que les frères marchent, chaque frère marche la moitié du temps ; et plus la moto est rapide, et plus le temps de marche se rapproche de 2/3.

 #7 - 19-01-2020 23:05:10

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 71

le mptard et ses potes

Bonjour,

par raison de symétrie totale entre le trajet des piétons et le trajet de la moto pendant qu'ils marchent, je dis 'pareil'.

Par contre, si la moto va à la même vitesse que les piétons, je préfère monter sur la moto dès le début (dans le doute...)

 #8 - 20-01-2020 07:37:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3662

le motzrd et ses potes

@ Ebichu : parfait !

@ Francky : oui, et pour la question subsidiaire ?

@ Toufau : sûr ?

 #9 - 20-01-2020 14:20:53

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3028
Lieu: Luxembourg

Le moard et ses potes

Question subsidiaire
Avec w = 1 / (2/a - 3) et TV = 3 - 4a, on doit avoir 2/a - 3 > 0, soit a < 2/3 (car sinon on aurait: w < 0)
On a alors: R = (a/w) / (3 - 4a), soit: R = (2 - 3a) / (3 - 4a), fonction décroissante sur l’intervalle [0;2/3]
Maximum sur [0;2/3] pour: a = 0, soit: w = 0 et R = 2/3
Minimum sur [0;2/3] pour: a = 2/3, soit: w = +oo et R = 0
Au final: 0 < R < 2/3

 #10 - 20-01-2020 17:24:09

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 279

le motard et ses potrs

bonsoir,


Si la moto roule à la vitesse des marcheurs , à mi chemin les 2 frères permutent sur la selle de la moto et marchent chacun durant t/2 si t est le temps total .
Si la moto roule à la vitesse du son , (bonjour la décélération) les piétons vont marcher un temps t < 2/3 du temps total t  je pense .

Alors     1/2 temps total    <   temps piéton  <   2/3 temps total sauf erreur .

 #11 - 20-01-2020 17:39:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3662

le motard et ses pptes

@ Une coudée : oui !

@ Francky : Pour l'encadrement, revoir le min.

 #12 - 22-01-2020 08:03:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3662

Le motard et ses pootes

Pas grand chose à ajouter aux réponses données. Le temps de marche est compris entre 1/2 et 2/3 du temps de trajet, mais plus on s'approche des 2/3.....moins on marche !

 

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