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 #1 - 09-06-2009 10:07:53

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 6229

Un point à l'intérieur 'dun triangle équilatéral

Un point est distant de 3, 4 et 5 cm des 3 sommets d'un triangle équilatéral.
Quelle est l'aire du triangle équilatéral ?

http://mathblogger.free.fr/images/pb-triangle-equi.png

Vous pouvez vous baser sur cette figure pour répondre. (Source : http://mathblogger.free.fr/)

Source : http://mathblogger.free.fr/comments.php … 609-075617



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 #2 - 09-06-2009 10:46:03

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Un point à l'intérieur d'un triangle équilattéral

Je pose x la longueur du coté du triangle.
Chaque hauteur du triangle equilatéral vaut [latex]\frac{x\sqrt{3}}{2}[/latex].

Je peux donc donner une premiere formule pour l'aire du triangle : [latex]\frac{x^2\sqrt{3}}{4}[/latex].

De plus l'aire du triangle ABC est triavialement la sommes des 3 triangles ABM, BCM et CAM.

Prenons le rectangle ABM donc les cotés valent x, 4 et 3.
Son aire est donnée par la formule :
[TeX]\frac{1}{4}\sqrt{(x+3+5)(-x+3+5)(x-3+5)(x+3-5)} = \frac{1}{4}\sqrt{(64-x^2)(x^2-4)}
[/TeX]
Je calcule de meme l'aire des deux autres petits triangle et en comparant la somme de leurs aires et celle du triangle ABC j'obtiens une équation a une inconnue :
[TeX]
[latex]\frac{x^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{4}\sqrt{(64-x^2)(x^2-4)} + \frac{1}{4}\sqrt{(81-x^2)(x^2-1)} + \frac{1}{4}\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}
[/latex].

Je simplifie [latex]\frac{1}{4}[/latex] et je developpe un poil.

[latex]x^2\sqrt{3} = \sqrt{-x^4+68x^2-256} + \sqrt{-x^4+82x^2-81} + \sqrt{-x^4+50x^2-49}
[/latex].

Je pose [latex]X=x^2[/TeX]
[TeX]X\sqrt{3} = \sqrt{-X^2+68X-256} + \sqrt{-X^2+82X-81} + \sqrt{-X^2+50X-49}
[/latex].

Que je n'ai pas encore résolue :-p

J'ai regardé le tracé de la courbe [latex]X\sqrt{3} - \sqrt{-X^2+68X-256} - \sqrt{-X^2+82X-81} - \sqrt{-X^2+50X-49}[/latex] entre les valeurs 0 et 49 (7*7, le coté x est plus petit que 7 si on peut se fier au dessin)
et la fonction ne s'annule jamais.
Donc pas de solution avec le point M a l'intérieur du triangle on dirait (enfin si je me suis pas vautré qque part :S)

En je m'étais vautré sur des signes et le tracé laisse voir une solution pour X=45,784.... ce qui nous donne une approximation du coté du triangle : x=6.766....
et donc une aire de 19.825...

Je vais essayer toutefois de voir si j'arrive a trouver un résultat formel plutot qu'un approximation.


Edit: Depuis hier j'ai tenté une autre approche.

On commmence par attribuer des coordonnées aux points.
Cette fois-ci j'appelle c le coté du triangle et x et y les coordonnées du point M.

[latex]
A= (0,0)
B= (c,0)
C= (\frac{c}{2}, \frac{c\sqrt{3}}{2})
M= (x,y)
[/TeX]
On sait que AM = 3, BM = 4 et CM = 5 ce qui se traduit par :

1)    [latex]x^2+y^2 = 9[/latex]
2)    [latex](x-c)^2+y^2 = 16[/latex]
3)    [latex](x-\frac{c}{2})^2+(y-\frac{c\sqrt{3}}{2})^2 = 25[/latex]


En soustrayant 1) à 2) on obtient :
[TeX]
(x-c)^2+y^2 - (x^2+y^2) = 16 - 9
c^2-2cx=7
[/TeX]
4)     [latex]x = \frac{c^2-7}{2c}[/latex]

De plus a partir de 1) et 4) on obtient :
[TeX]
y=\sqrt{9-x^2}
y=\sqrt{9-(\frac{c^2-7}{2c})^2}
y=\sqrt{\frac{9*(2c)^2-(c^2-7)^2}{(2c)^2}}
[/TeX]
5)     [latex]y=\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}}{2c}[/latex]

Enfin on reinjecte 4) et 5) dans 3) :
[TeX]
(\frac{c^2-7}{2c}-\frac{c}{2})^2+(\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}}{2c}-\frac{c\sqrt{3}}{2})^2=25
(\frac{c^2-7-c^2}{2c})^2+(\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}-c^2\sqrt{3}}{2c})^2=25
[/TeX]
Je multitplie par [latex](2c)^2[/latex] de chaque coté
[TeX]
49+(\sqrt{-c^4+50c^2-49}-c^2\sqrt{3})^2=100c^2
49-4c^4+50c^2-49 -2\sqrt{-c^4+50c^2-49}*c^2\sqrt{3}+3c^4=100c^2
2c^4-50c^2=2c^2\sqrt{3}\sqrt{-c^4+50c^2-49}
c^2-25=\sqrt{3}\sqrt{-c^4+50c^2-49}
[/TeX]
J'élève au carre de chaque coté
[TeX]
(c^2-25)^2=3*(-c^4+50c^2-49)
c^4-50c^2+625=-3c^4+150c^2-147
4c^4-200c^2+772=0
c^4-50c^2+193=0
[/TeX]
Je pose [latex]C=c^2[/latex]
[TeX]C^2-50C+193=0[/TeX]
Delta = [latex]1728=3*24^2[/latex]
[TeX]
C1=\frac{50+24\sqrt{3}}{2}=25+12\sqrt{3}
C2=\frac{50-24\sqrt{3}}{2}=25-12\sqrt{3}
[/TeX]
Pour repasser a c je prends [latex]\sqrt{C}[/latex] et j'oublie [latex]-\sqrt{C}[/latex] car c est positif
[TeX]
c1=\sqrt{25+12\sqrt{3}} =6,776...
c2=\sqrt{25-12\sqrt{3}} = 2,053...
[/TeX]
les aires correspondantes sont
[TeX]

a1=\frac{25\sqrt{3}}{4}+9 = 19.825...
a2=\frac{25\sqrt{3}}{4}-9 = 1,825...

[/TeX]
Jusqu'a present certaines de mes étapes ne sont pas des équivalence mais des implications. Il me faut donc vérifier chacune de ces 2 possibilités.
J'ai un peu la flemme apres tout ça :-p
La premiere solution semble coller avec mon premier calcul (comparaison d'aire) et le deuxieme correspond peut etre a un cas ou le point M est en dehors du triangle ?

 #3 - 10-06-2009 21:18:35

tittou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 267
Lieu: Cambrai

Un point à l'intérieur d'un triangle équliatéral

Je ne connait pas la réponse (enfin si je la connait, en suivant ton lien je l'ai lu , mais j'aurai été bien incapable de répondre) mais ton énigme m'auras fait découvrir une petite merveille de logiciel : geogebra .

Quand on est une bille comme moi en géométrie ça peut aider.

http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=fr


Moi le matin, je slap Kosmo à coup de branches de sapin

 #4 - 11-06-2009 13:15:35

Yammka
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

U point à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Si je ne m'abuse la réponse est 23,5 cm²

 #5 - 12-06-2009 08:16:18

tahiti24
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 9
Messages : 2

Un point à l'intérieur d'un trianlge équilatéral

L'aire du triangle équilatéral ABC est:
AB=7cm
CC'=6cm
Aire du triangle=AB X CC'/ 2
= 1X7X6/2
=42/2
=21cm2

 #6 - 12-06-2009 10:34:00

logan
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 90

Un point à l'intérieur d'un ttriangle équilatéral

Comme je remarque que tout le monde a bien galéré sur cette énigme je lance mon idée qui est loin d'être aboutie mais sans doute êtes-vous meilleur que moi et que vous y arriverez.

Soit M' le projeté de M sur [CB] avec l'angle mm'b = 90°

Considérons le triangle MBC
La somme des angles dans un triangle est de 180°

On a donc
CMM'+BMM'+MBM'+MCM'=180°

Soit X la longueur du segment MM'

Cos-1(X/5)+Cos-1(X/4)+Sin-1(x/4)+Sin-1(X/5)=180°

Et là je suis bloqué

Si on trouve X le reste découle très facilement

 #7 - 12-06-2009 10:53:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un point à l'intérieur d'un triangle éqilatéral

Nicouj a écrit:

[latex]a1=\frac{25\sqrt{3}}{4}+9 = 19.825...[/latex]

Excellente réponse de Nicouj, avec une méthode un peu bourrine par rapport à celle de la page ci-dessous, qui est d'une élégance rare :

http://docs.google.com/View?id=dcddfxs8_577g42gf2hp

Mais vu qu'il a fait de superbes efforts, et que personne d'autre n'a trouvé (avec mon Bac+5 en maths je suis resté à la traîne lol) : FELICITATIONS !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 12-06-2009 13:18:31

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 6229

yn point à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Bravo à tous ceux qui ont essayé et encore plus à ceux qui ont réussi comme Nicouj !

Je vous propose ma solution :
[TeX]
A = A1+A2+A3 = \frac{\sqrt3}{4}c^2
A_1=\frac14\sqrt{(3+4+c)(3+4-c)(-3+4+c)(3-4+c)}
A_2=\frac14\sqrt{(3+5+c)(3+5-c)(-3+5+c)(3-5+c)}
A_3=\frac14\sqrt{(4+5+c)(4+5-c)(-4+5+c)(4-5+c)}
c = \sqrt{25+12\sqrt3} \approx 6.7664
A \approx 19.825
[/TeX]

Code:

solve(sqrt(3)/4*c^2=(1/4)*(sqrt((3+4+c)*(3+4-c)*(-3+4+c)*(3-4+c))+sqrt((3+5+c)*(3+5-c)*(-3+5+c)*(3-5+c))+sqrt((4+5+c)*(4+5-c)*(-4+5+c)*(4-5+c))),c)

PS : j'aurais du faire Bac+5 en maths big_smile

 #9 - 12-06-2009 13:26:47

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Un point à l'intérieur d'un triangle équilatréal

En effet tres belle cette solution géometrique.
De plus avec mon calcul bourrin j'avais la frustration de ne pas exploiter les valeurs 3, 4 et 5 tel qu'on imagine l'auteur l'a voulu

PS : j'ai bac plus deux en maths mais j'ai continué en info big_smile

 #10 - 13-02-2010 16:08:45

Zoé
Visiteur

Un piont à l'intérieur d'un triangle équilatéral

On place un point M dans un triangle équilatéral ABC.
Démontrer: la hauteur du triangle est égal à la somme des distances de M aux cotés du triangle.

 #11 - 22-12-2010 12:28:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un point à l''intérieur d'un triangle équilatéral

Euh...

Lol ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 22-12-2010 14:23:03

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

un point à l'intérieur d'un trianglz équilatéral

C'est amusant cette énigme qui remonte à la surface d'une époque à laquelle je ne suivais pas encore...
Du coup ça me permet de donner une formule peu connue mais tellement utile (et belle).

Pour un point M situé à l'intérieur d'un triangle équilatéral de coté d à des distances a,b et c des 3 sommets, on a:
[TeX](a^2+b^2+c^2+d^2)^2=3(a^4+b^4+c^4+d^4)[/TeX]
Avec cette formule, on trouve rapidement d et donc la surface.

 #13 - 01-10-2011 20:55:04

ocean39
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

nU point à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Comment trouver la longueur MA+ MB + MC la plus petite possible ?
où doit être placer M ?

 #14 - 01-10-2011 21:05:46

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un point à lintérieur d'un triangle équilatéral


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #15 - 01-10-2011 22:21:41

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Un point à l'intérieur d'un triangle équiatéral

Bonsoir,

Je découvre cette énigme qui date d'une époque où je ne connaissais pas P2T.
Et si je peux me permettre, je vous propose une démonstration presque sans calcul.

Voilà d'abord la figure.


http://www.prise2tete.fr/upload/esereth-defi7.png


J'ai construit un triangle ABC équilatéral de côté 3, puis un triangle  CBD rectangle en B tel que BD= 4. On reconnaît dans ce triangle un triangle pythagoricien (3,4,5)
Enfin j'ai construit le triangle équilatéral AED.

Il est facile de montrer que les triangles   ACD et ABE sont isométriques.
En effet AC = AB = 3, AD = AE par la dernière construction, et les angles CAD et BAE sont égaux à 60°-BAD.

Ceci étant dit on a donc BE = CD = 5

Le triangle AED a donc les caractéristiques de l'énoncé.

Maintenant, il suffit de calculer AD
l'angle ABD mesure 60°+90°=150°

AD^2=AB^2+BD^2-2*AB*BD*cos(150°)=9+16-2*3*4*sqrt(3)/2=25+12sqrt(3).
l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est a^2*sqrt(3)/4

L'aire est donc 25*sqrt(3)/4+9 qui vaut à peu près 19.825

 #16 - 01-10-2011 22:39:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2778
Lieu: Luxembourg

Un point à l'intérieur d'nu triangle équilatéral

@esereth: très élégante démonstration: bravo

 #17 - 01-10-2011 23:44:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4756

un point à l'intérieue d'un triangle équilatéral

J'avais aussi cherché le problème il y a quelque temps . Le 3 , 4 , 5 sentant un peu trop le Pythagore , j'avais essayé avec des longueurs a , b , c quelconques .

http://img845.imageshack.us/img845/2255/345u.jpg
[TeX]P[/latex] est le point du triangle équilatéral [latex]ABC[/latex] à distance [latex]a , b , c[/latex] des sommets . [latex]A'B'C'[/latex] est l'image de [latex]ABC[/latex] par la rotation de centre [latex]P[/latex] et d'angle 60° . En décomposant l'hexagone AA'BB'CC' de deux façons on obtient :

[latex]2.A(ABC)=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2+c^2)+3.A(PA'B)[/TeX]
Et c'est fini smile

Vasimolo

 

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(3) — Point quelconque a l interieur calculer la distance de ce point aux cotes de ce triangle (3) — Tracer un triangle a l interieur et a l exterieur d un carre (3) — Calcul aire triangle a partir d aires autres triangles (3) — Triangle enigme (3) — Je construit un triangle quelconque de 4 cm et 5 cm (3) — Triangle a 4 cotes (3) — Propriete des triangles equilateraux pour determiner les coordonnees (3) — Enigme 10 interieur (3) — Un losange a l interieur d un carre (3) — Schema du triangle equilateral (3) — Enigme losange (3) — Surface d un trapeze irregulier (3) — Distance d un point aux sommet d un triangle (3) — Triangle 3 4 5 (3) — Triangle logique (3) — Faire un triangle avec les angle 202 203 206 (3) — Triangle equilateral 345 (3) — Rectangle a l interieur d un losange (3) — Triangle equilateral a l interieur d un triangle equilateral (3) — Savoir si coordonne point dans triangle rectangle (3) — Calcul avec 1 triangles isoceles et un second triangl (3) — Un point est distant de 3 4 et 5 cm des 3 sommets d un triangle equilateral. (3) — Aire d un polygone triangle equilateral 1eres (3) — Combien valent les trois angles dun triangle* (3) — Combien y a t il de triangles dans un hexagone (3) — Aire triangle point interieur (3) — Geometrie triangle equilateral point p 3 4 5 (3) — Trois triangles equilateraux dans un cercle (3) — Pourquoi a t-on 2 hauteur interieur au triangle (3) — Triangle scalene 5cotes (3) — Devinette1 de quadrilatere (3) — Aire d un triangle isocele rectangle a partir d un point a l interieur (3) — Aire d un triangle en fonction des coordonnees des sommets (3) — Triangle equilateral m interieur (3) — Codage d un trapeze (3) — Regle pour decomposer un quadrilatere abcd en 6 triangles isoceles (3) — Hauteur exterieur d un triangle (3) — Calculer l aire d un carre (3) — Mathematique premiere s triangles equilateraux (3) — Point d un triangle rectangle (3) — Rectangle inscrit dans un triangle equilateral (3) — Combien de triangles dans hexagone (3) — Montrer que l aire d un triangle vaut 4 fois la hauteur (3) — Le sommet d un carre (3) — Calcul d un point dans un triangle (3) — Jeux triangle et du point (3) — Schema d un triangle (3) — Solution enigme triangle equilateral 3 4 5 (3) — Le point m est a l interieur d un triangle equilateral de cote c (3) — Deux triangles isoceles quasiment de un quadrilatere (3) — Onnait la distance d un point aux trois sommets d un triangle equilateral.surface? (3) — Combien vaut langle dun triangle equilateral (3) — Probleme ouvert sur rectangle inscrit dans un triangle rectangle (3) — Point interieur du triangle (3) — Solution maths equilateral 3 4 5 (3) — Triangle equilateral point distance du bord enigme (3) — Un triangle a combien de sommet (3) — Le point m est a l interieur d un triangle abc equilateral de cote c. (3) — Justifier un losange a partir de 2triangles equilateral (2) — Un point interieur d un triangle (2) — Combien y a t il de hauteur dans un triangle (2) — Comment trouver la superficie sur une figure dans geogebra (2) — Solutions enigme combien il y a de triangle (2) — Trouver un triangle equilaterale dans un rectangle (2) — Airetriangle equilateral (2) — Comment determiner les coordonnees de points triangle isocele (2) — Solution enigme du triangle 3 4 5 (2) — Dans ce triangle equilaterale le point m est situe a 3 cm d un premier sommet a 4 cm d un second sommet et a 5 cm du troisiieme (2) — Hauteur exterieur d un triangle en math (2) — Calcul d une hauteur d un triangle isocele selon une inconnue (2) — Determiner un point dans un triangle (2) — Triangle equilaterale distance sommet (2) — Mathematiques triangle a l interieur (2) — Quel est la valeur d un triangle (2) — Combien de sommets il y a dans un rectangle (2) — Dans un triangle equilateral le point m est situe a 3 cm d un premier sommet a 4 cm d un second et a 5 cm du troisieme. quelle est l aire de ce triangle equilateral? (2) — Enigme aire triangle isocele rectangle le monde point interieur (2) — Distance+point+ sommets d un triangle (2) — L aire d un triangle rectangle a l interieur d un polygone (2) — Utiliser les proprietes des triangle equilateraux pour determiner les coordonnees de i et l (2) — Montrer qu un point appartient a l interieur d un parrallelogramme (2) — Combien a de sommet un triangle en geometrie (2) — Coude 3/4 = combien en cm (2) — Chiffre a l interieur d un triangle (2) — Triangle avec un point (2) — La somme de deux cotes d un triangle equilateral vaut 50. quelle est la valeur de l autre cote? (2) — Logiciel pour le calcule d un cote d un octogone (2) — Point interieir a un triangle rectangle isocele (2) — Combien a t-il de sommet d un parallelogramme (2) — Triangle equilateral et 3 4 5 (2) — Voir shema d 1 polygone a 3 cotes (2) — Distance sommet d un triangle (2) — Calcul d un triangle de cote 3; 4; x (2) — Quel est le nom d un polygone a 12 cotes (2) — Pourquoi les triangles sont equilateraux dans un hexagone (2) — Comparer des aires de triangles avec des fonctions (2) — Somme des hauteurs triangle (2) — Proprietes triangle equilateral coordonnee (2) — Ttriangle somme surface (2) — Pourquoi les angles interieur d un triangle donne une somme de 180 (2) — Triangle equilateral dans un cercle (2) — Enigme nombre de triangles (2) — Math point dans un triangle equilateral (2) — Calculer l aire d un triangle rectangle a partir de ses 3 angles (2) — Voir un hexagone avec la propriete d un triangle equilateral (2) — Comment trouver le 3eme cote (bc) d un triangle abc isocele en a lorsque j ai les cotes ab=ac=a et l angle bac=delta (2) — Toutes les solutions du point ayant la plus petite somme de distance dans un triangle equilateral (2) — Enigme 25 triangle equilateral (2) — 4 3 5 triangle equilateral (2) — Comment calculer l aire d un triangle equilateral (2) — Triangle isocele dans cube (2) — Point m triangle equilateral (2) — Point interieur d un triangle quelconque (2) — Aire triangle equilateral (2) — Coordonne d un point d un triangle equilateral (2) — Distances aux cotes dans triangle equilateral (2) — Triangle equilateral un point m a l interieur (2) — Enigme triangle equilateral en calculant (2) — Formule pour dessiner un octogone a partir d un carre (2) — Mathematiques dans un triangle equilateral un point m est situe (2) — Triangle equilateral et point (2) — Triangle equilateral par rapport au point o (2) — Triangle distance sommet 273 (2) — Calculer la base d un triangle isocele (2) — Dans un carre combien ya til de sommets (2) — Test un point dans quadrilatere (2) — A quelle distance puis je voir selon la hauteur math (2) — Fabriquer un triangle en trois dimensions (2) — Calcul du triangle equilateral dans un rond (2) — Construction triangle isocele point interieur (2) — Point interieur isocele (2) — Triangle combien de fois plus petit (2) — Calculer lair dun triangle equilateral a partir de ses codes (2) — Triangle equilateral 50 cm (2) — Equation d un point appartenant a l interieur d un triangle (2) — Point quelconque dans un triangle equilateral (2) — Prouver que la somme des hauteur dun triangle equilateral sont toujours egale (2) — Distance par rapport au sommet d un point dans triangle equilateral (2) — Regle de l air du triangle isocele rectangle (2) — Comment savoir l aire d un triangle equilaterale (2) — Coordonnee d un point d un triangle (2) — Avec 4 triangles quelconquespeux t on former un triangle? (2) — Le point m est a l interieur du triangle equilateral abc (2) — Enigme cercle et point (2) — Montrer que la somme des distances du point m au trois cotes (2) — Combien il y a de sommet dans un rectangle (2) — Angle exterieur * triangle (2) — Somme distance d un point a l interieur d un triangle au cote de celui ci (2) — Equilateral triangle 3 4 5 (2) — Dessin avec un centre de rotation (2) — Points dans un triangle (2) — Comment caculer l aire d n triangle (2) — Comment calculer l aire en cm carre d un triangle isocele (2) — Triangle equilateral placer les points d et e a l exterieur du triangle (2) — Triangle interieur combien (2) — Dans un triangle equilateral le point m est situe a 3 cm d un (2) — Aire d un triangle rectangle a partir d un point interieur (2) — Trouver un point a l interieur d un triangle (2) — Aire d un triangle si on connait la distance d un point aux sommets (2) — Maths points interieur triangle (2) — Devoir de math utiliser les proprietes des triangles equilateraux pour determiner les coordonnees (2) — Parallelogramme (2) — Abc est un triangle equilateral m un point quelconque a l interieur du triangle. (2) — Triangles equilateraux enigme (2) — Exos sur les fonctions de l air du rectangle a l interieur d un triangle isocele (2) — Combien de triangle peut-on faire avec 4 points? (2) — Demontrer le perimetre d un rectangle a l interieur d un losange (2) — Dessin d un triangle equilateral (2) — Shema d un triangle equilateral (2) — Enigme du triangle rectangle (2) — Triangle equilateral pose sur un de ses angles (2) — Solution des 4 polygones d 1 triangle equilateral faisant 1carre (2) — Enigme polygone triangle equilateral (2) — Resultat triangle rectangle isocele 3 eme (2) — Combien ya t il de hauteur dans un triangle (2) — Nomme un triangle a l interieur d un quadrilatere (2) — Equation triangle equilateral (2) — Solution triangle quelconque surface (2) — P point interieur a un triangle equilateral (2) — Distance des points d un parallelogramme (2) — Combien vaut l`angle d`un triange equilateral (2) — Exo+sur+triangle+equilateral+avec+rectangle+a+l%27interieur (2) — Enigme triangle equilateral place l un dans l autre (2) — Defi losange exercice (2) — Dessin d un quadrilatere a 5 cotes (2) — Enigmes triangle 3 dimension (2) — Combien y a t il de triangles dans un pentagone (2) — Somme distance cotes triangle equilateral (2) — Abc est un triangle equilateral. a l exterieur de ce triangle abc est un traingle rectangle et isocele en b (2) — Propriete des triangles equilateraux a l aide des coordonnes (2) — Un triangle equilaterale (2) — Comment trouver les dimensions d un triangle situe dans un carre (2) — Branche d un octogone (2) — Utiliser la propriete des triangles equilateraux pour determiner les coordonnees de i et de l (2) — Triangle somme est 12 (2) — M a l interieur d un triangle (2) — Figure math programme construction (2) — Combien ya til de triangles sur un pentagone (2) — Dans ce triangle equilateral le point m est situe a 3 cm d?un premier sommet a 4 cm d?un second sommet et a 5 cm du troisieme. (2) — Calculer l aire d 1 triangle equilateral sans connaitre la hauteur (2) — Hauteur d un triangle equilateral (2) — Determiner les aires des triangles amd et mbc en fonction de x (2) — Perimetre figure geometrique plus de 50cm (2) — Combien de triangle dans un triangle equilateral? (2) — Combien de triangles equilateraux exciste (2) — Base d unn triangle (2) — Figure dont la base est un triangle (2) — Triangle interieur (2) — Rectangle dans un triangle equilateral (2) — Point dans un triangle equilateral solution geogebra (2) — Dans ce triangle equilateral le point m est situe a 3 cm d un premier sommet a 4cm d un second sommet et a 5 cm du troisieme (2) — Parallelogramme equilaterale (2) — Comment trouver un point a egale distance d un triangle (2) — Triangle a l interieur d un carre (2) — Angle exterieur d un triangle (2) — Perimetre d un quadrilatere (2) — Triangle interieur equilateral (2) — Utiliser les proprietes des triangles equilateraux pour determiner coordonnees de i et j (2) — Angle exterieur d un triangle isocele (2) — Un point distant au sommet (2) — Triangle equilateral geogebra (2) — Combien valent les angles d un triangle equilateral (2) — parallelogramme dans un triangle (2) — Enigme : qu est ce qui est quadrilatere le matin (2) — Point a l interieur triangle (2) — Devoir de math calculer la hauteur puis l air du triangle equilateral de cote 5 cm (2) — Fonction aire triangle equilateral geogebra (2) — Tracer les 3 sommets (2) — Enigme mathematique triangle equilateral (2) — Distance des sommet d un triangle equilateral (2) — Dans ce triangle e?quilate?ral le point m est situe? a? 3 cm d?un premier sommet a? 4 cm d?un second sommet et a? 5 cm du troisie?me.quelle est l?aire de ce triangle e?quilate?ral ? (2) — Schemas d un triangle isocele (2) — Geometrie equilaterale (2) — Enigme triangle equilateral (2) — Segment d un triangle voir photo (2) — Propriete hexagone et triangle equilateral (2) — Calcul la hauteur puis l aire d un triangle equilateral de cote 5cm (2) — Formule d un triangle isocele dans un carre (2) — Http://mathblogger.free.fr (2) — Distance sommets triangle (2) — Comment connaitre les cote d un triangle si on connait 1 valeur (2) — Un point dans un triangle (2) — Enigme 29 points (2) — Combien de sommet a un carre (2) — Combien de sommets a le triangle (2) — Enigme connaitre l aire d un triangle en connaissant la distance des sommet a un points (2) — L aire d un triangle connaissant ses cotes (2) — Combien ya t il de nom possible pour un octogone (2) — Combien de sommet a un rectangle (2) — Calcul triangle rectangle avec inconnu (2) — Somme des distances aux cotes d un triangle equilateral (2) — Point interieur d un triangle dont la somme des distances aux cotes est minimum (2) — Coordonnees des points de l ere d un cercle (2) — Le point m est a l interieur d un triangle abc equilateral de cote c (2) — Test point dans un triangle (2) — Calculer les angles d un triangle isocele (2) — Un triangle a l interieur d un cercle (2) — Distance d un point interieur au sommet (2) — Petit triangle dans triangle isocele (2) — Comment faire un triangles equiolaterale de 24 cm de cote (2) — Determiner aire triangle equilateral 1ere s (2) — Cmbien peut on faire de triangle avec 10 point (2) — Savoir si un point fait partie d un triangle (2) — Calculer les distances aux sommets d un triangle d un point m (2) — Angle exterieur d un triangle equilateral (2) — Combien y a t il de triangles (2) — Position d un point sur un segment (2) — Calculer la valeur de la hauteur d un triangle equilateral avec un cote inconnu (2) — Somme des distance d un point aux sommets d un triangle (2) — Forme d un triangle equilateral (2) — Demontrer qu un triangle est rectangle a l interieur d un losange (2) — Triangle equilateral 3 fois plus petit (2) — Aire d un triangle equilateral dans un cube (2) — Aire triangle connaissant trois cotes (2) — Construire un octogone avec un carre equilaterale et un carre (2) — Un point a l interieur d un rectangle (2) — Determiner si un point est a l interieur d un triangle (2) — Un triangle equilateral (2) — Un point est distant de 34 et 5 cm triangle equilateral (2) — Le triangle exterieur combien de fois (2) — Cercle +carre a l interieur (2) — Somme des distances aux sommets d un triangle equilateral (2) — Sommet d un triangle photo (2) — Aire triangle equilateral point interieur (2) — Aire du triangle equilateral (2) — Les proprietes des triangles equilaterales pour determinee des coordonees (2) — Y a-t-il des sommets dans un triangle? (2) — Calculer l aire d un triangle dans un rond (2) — Proprietes hexagone triangle equilateral (2) — Comment tracer un triangle de cote 15 cm 10 cm 7 cm (2) — On pose ea=x(en cm).demontrer que x/x+4=3/5 (2) — Tracer un triangle a partir d un angle inconnu (2) — Test point interieur polygone (2) — Hauteur d un hexagone (2) — Soit abcd un parallelogramme.i milieu de (bc) et f milieu (dc).demontrer ac+bd 2bc (2) — Nouveau forme our triangle isocelle (2) — Triangle a 1 cote inconnu (2) — Aire d un quadrilatere quelconque divise en 4 (2) — Un triangle equilateral a combien de sommet c (2) — Calcul aire d un triangle isocele (2) — Distance centre hexagone (2) — Comment trouver un point a egale distance (2) — Test de logique 3 triangles equilateraux (2) — Demontre que l aire du triangle equilateral est 6 cm carre (2) — Combien y a t-il de triangles dans (2) — Comment montrer qu un triangle est equilateral dans un cube (2) — A valeur d?un angle interieur d?un octogone (2) — Calcul de coordonnees d un sommet d un triangle equilateral (2) — Propriete triangle equilateral (2) — Triangle equilateral distance sommets 4 3 5 (2) — Un triangle pythagoricien (2) — Dans ce triangle equilateral le point m est situe a 3 cm d un premier (2) — Combien y a t il de hauteur dans un triangle ? (2) — Longueur d un cote d 1 triangle ds un parallelogramme (2) — Comment fait t on pour construire un losange lu=7cm ou=5cm (2) — Demonstration par les aires point dans un triangle (2) — Triangle equilateral 3 4 5 (2) — Tester si point dans triangle (2) — Relation entre un point et un triangle equilaterale (2) — Point interieur d un triangle dont la somme des distances auc cotes est minimale (2) — Combien vaut la somme d un polygone a 2010 cote (2) — Somme de distances d un point au cotes d un point dans un triangle equilateral (2) — Comment placer un point quelconque sur un cote d un triangle rectangle ? (2) — Dessin de triangle isocele dans un quadrilatere quelconque (2) — Propriete d un point a l interieur triangle equilateral (2) — Am=3 bm=4 cm=5 abc est un triangle equilateral calculer son aire (2) — Triangle equilateral 3 4 5 aire (2) — Comment fait t on un triangle equilateral (2) — Surface d un triangle isocele (2) — Solution de math si on connait les 4 longueurs d un trapeze et on doit calculer les angles (2) — Triangle equilateral m point quelconque (2) — Determiner les coordonnees du quatrieme sommet d\ un parallelogramme (2) —

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