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 #1 - 09-06-2009 10:07:53

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Un point à l'intérieur d'un triangle équilatérall

Un point est distant de 3, 4 et 5 cm des 3 sommets d'un triangle équilatéral.
Quelle est l'aire du triangle équilatéral ?

http://mathblogger.free.fr/images/pb-triangle-equi.png

Vous pouvez vous baser sur cette figure pour répondre. (Source : http://mathblogger.free.fr/)

Source : http://mathblogger.free.fr/comments.php … 609-075617



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 #2 - 09-06-2009 10:46:03

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

un point à l'ibtérieur d'un triangle équilatéral

Je pose x la longueur du coté du triangle.
Chaque hauteur du triangle equilatéral vaut [latex]\frac{x\sqrt{3}}{2}[/latex].

Je peux donc donner une premiere formule pour l'aire du triangle : [latex]\frac{x^2\sqrt{3}}{4}[/latex].

De plus l'aire du triangle ABC est triavialement la sommes des 3 triangles ABM, BCM et CAM.

Prenons le rectangle ABM donc les cotés valent x, 4 et 3.
Son aire est donnée par la formule :
[TeX]\frac{1}{4}\sqrt{(x+3+5)(-x+3+5)(x-3+5)(x+3-5)} = \frac{1}{4}\sqrt{(64-x^2)(x^2-4)}
[/TeX]
Je calcule de meme l'aire des deux autres petits triangle et en comparant la somme de leurs aires et celle du triangle ABC j'obtiens une équation a une inconnue :
[TeX]
[latex]\frac{x^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{4}\sqrt{(64-x^2)(x^2-4)} + \frac{1}{4}\sqrt{(81-x^2)(x^2-1)} + \frac{1}{4}\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}
[/latex].

Je simplifie [latex]\frac{1}{4}[/latex] et je developpe un poil.

[latex]x^2\sqrt{3} = \sqrt{-x^4+68x^2-256} + \sqrt{-x^4+82x^2-81} + \sqrt{-x^4+50x^2-49}
[/latex].

Je pose [latex]X=x^2[/TeX]
[TeX]X\sqrt{3} = \sqrt{-X^2+68X-256} + \sqrt{-X^2+82X-81} + \sqrt{-X^2+50X-49}
[/latex].

Que je n'ai pas encore résolue :-p

J'ai regardé le tracé de la courbe [latex]X\sqrt{3} - \sqrt{-X^2+68X-256} - \sqrt{-X^2+82X-81} - \sqrt{-X^2+50X-49}[/latex] entre les valeurs 0 et 49 (7*7, le coté x est plus petit que 7 si on peut se fier au dessin)
et la fonction ne s'annule jamais.
Donc pas de solution avec le point M a l'intérieur du triangle on dirait (enfin si je me suis pas vautré qque part :S)

En je m'étais vautré sur des signes et le tracé laisse voir une solution pour X=45,784.... ce qui nous donne une approximation du coté du triangle : x=6.766....
et donc une aire de 19.825...

Je vais essayer toutefois de voir si j'arrive a trouver un résultat formel plutot qu'un approximation.


Edit: Depuis hier j'ai tenté une autre approche.

On commmence par attribuer des coordonnées aux points.
Cette fois-ci j'appelle c le coté du triangle et x et y les coordonnées du point M.

[latex]
A= (0,0)
B= (c,0)
C= (\frac{c}{2}, \frac{c\sqrt{3}}{2})
M= (x,y)
[/TeX]
On sait que AM = 3, BM = 4 et CM = 5 ce qui se traduit par :

1)    [latex]x^2+y^2 = 9[/latex]
2)    [latex](x-c)^2+y^2 = 16[/latex]
3)    [latex](x-\frac{c}{2})^2+(y-\frac{c\sqrt{3}}{2})^2 = 25[/latex]


En soustrayant 1) à 2) on obtient :
[TeX]
(x-c)^2+y^2 - (x^2+y^2) = 16 - 9
c^2-2cx=7
[/TeX]
4)     [latex]x = \frac{c^2-7}{2c}[/latex]

De plus a partir de 1) et 4) on obtient :
[TeX]
y=\sqrt{9-x^2}
y=\sqrt{9-(\frac{c^2-7}{2c})^2}
y=\sqrt{\frac{9*(2c)^2-(c^2-7)^2}{(2c)^2}}
[/TeX]
5)     [latex]y=\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}}{2c}[/latex]

Enfin on reinjecte 4) et 5) dans 3) :
[TeX]
(\frac{c^2-7}{2c}-\frac{c}{2})^2+(\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}}{2c}-\frac{c\sqrt{3}}{2})^2=25
(\frac{c^2-7-c^2}{2c})^2+(\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}-c^2\sqrt{3}}{2c})^2=25
[/TeX]
Je multitplie par [latex](2c)^2[/latex] de chaque coté
[TeX]
49+(\sqrt{-c^4+50c^2-49}-c^2\sqrt{3})^2=100c^2
49-4c^4+50c^2-49 -2\sqrt{-c^4+50c^2-49}*c^2\sqrt{3}+3c^4=100c^2
2c^4-50c^2=2c^2\sqrt{3}\sqrt{-c^4+50c^2-49}
c^2-25=\sqrt{3}\sqrt{-c^4+50c^2-49}
[/TeX]
J'élève au carre de chaque coté
[TeX]
(c^2-25)^2=3*(-c^4+50c^2-49)
c^4-50c^2+625=-3c^4+150c^2-147
4c^4-200c^2+772=0
c^4-50c^2+193=0
[/TeX]
Je pose [latex]C=c^2[/latex]
[TeX]C^2-50C+193=0[/TeX]
Delta = [latex]1728=3*24^2[/latex]
[TeX]
C1=\frac{50+24\sqrt{3}}{2}=25+12\sqrt{3}
C2=\frac{50-24\sqrt{3}}{2}=25-12\sqrt{3}
[/TeX]
Pour repasser a c je prends [latex]\sqrt{C}[/latex] et j'oublie [latex]-\sqrt{C}[/latex] car c est positif
[TeX]
c1=\sqrt{25+12\sqrt{3}} =6,776...
c2=\sqrt{25-12\sqrt{3}} = 2,053...
[/TeX]
les aires correspondantes sont
[TeX]

a1=\frac{25\sqrt{3}}{4}+9 = 19.825...
a2=\frac{25\sqrt{3}}{4}-9 = 1,825...

[/TeX]
Jusqu'a present certaines de mes étapes ne sont pas des équivalence mais des implications. Il me faut donc vérifier chacune de ces 2 possibilités.
J'ai un peu la flemme apres tout ça :-p
La premiere solution semble coller avec mon premier calcul (comparaison d'aire) et le deuxieme correspond peut etre a un cas ou le point M est en dehors du triangle ?

 #3 - 10-06-2009 21:18:35

tittou
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 267
Lieu: Cambrai

Un point à l'intérieeur d'un triangle équilatéral

Je ne connait pas la réponse (enfin si je la connait, en suivant ton lien je l'ai lu , mais j'aurai été bien incapable de répondre) mais ton énigme m'auras fait découvrir une petite merveille de logiciel : geogebra .

Quand on est une bille comme moi en géométrie ça peut aider.

http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=fr


Moi le matin, je slap Kosmo à coup de branches de sapin

 #4 - 11-06-2009 13:15:35

Yammka
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Un point à l'intérieur d'un traingle équilatéral

Si je ne m'abuse la réponse est 23,5 cm²

 #5 - 12-06-2009 08:16:18

tahiti24
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 9
Messages : 2

U point à l'intérieur d'un triangle équilatéral

L'aire du triangle équilatéral ABC est:
AB=7cm
CC'=6cm
Aire du triangle=AB X CC'/ 2
= 1X7X6/2
=42/2
=21cm2

 #6 - 12-06-2009 10:34:00

logan
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 90

un point à l'intérieur d'un triangme équilatéral

Comme je remarque que tout le monde a bien galéré sur cette énigme je lance mon idée qui est loin d'être aboutie mais sans doute êtes-vous meilleur que moi et que vous y arriverez.

Soit M' le projeté de M sur [CB] avec l'angle mm'b = 90°

Considérons le triangle MBC
La somme des angles dans un triangle est de 180°

On a donc
CMM'+BMM'+MBM'+MCM'=180°

Soit X la longueur du segment MM'

Cos-1(X/5)+Cos-1(X/4)+Sin-1(x/4)+Sin-1(X/5)=180°

Et là je suis bloqué

Si on trouve X le reste découle très facilement

 #7 - 12-06-2009 10:53:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un point à l'intéieur d'un triangle équilatéral

Nicouj a écrit:

[latex]a1=\frac{25\sqrt{3}}{4}+9 = 19.825...[/latex]

Excellente réponse de Nicouj, avec une méthode un peu bourrine par rapport à celle de la page ci-dessous, qui est d'une élégance rare :

http://docs.google.com/View?id=dcddfxs8_577g42gf2hp

Mais vu qu'il a fait de superbes efforts, et que personne d'autre n'a trouvé (avec mon Bac+5 en maths je suis resté à la traîne lol) : FELICITATIONS !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 12-06-2009 13:18:31

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

un point à l'intérieur d'un triangle équulatéral

Bravo à tous ceux qui ont essayé et encore plus à ceux qui ont réussi comme Nicouj !

Je vous propose ma solution :
[TeX]
A = A1+A2+A3 = \frac{\sqrt3}{4}c^2
A_1=\frac14\sqrt{(3+4+c)(3+4-c)(-3+4+c)(3-4+c)}
A_2=\frac14\sqrt{(3+5+c)(3+5-c)(-3+5+c)(3-5+c)}
A_3=\frac14\sqrt{(4+5+c)(4+5-c)(-4+5+c)(4-5+c)}
c = \sqrt{25+12\sqrt3} \approx 6.7664
A \approx 19.825
[/TeX]

Code:

solve(sqrt(3)/4*c^2=(1/4)*(sqrt((3+4+c)*(3+4-c)*(-3+4+c)*(3-4+c))+sqrt((3+5+c)*(3+5-c)*(-3+5+c)*(3-5+c))+sqrt((4+5+c)*(4+5-c)*(-4+5+c)*(4-5+c))),c)

PS : j'aurais du faire Bac+5 en maths big_smile

 #9 - 12-06-2009 13:26:47

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

un point à l'intérieur s'un triangle équilatéral

En effet tres belle cette solution géometrique.
De plus avec mon calcul bourrin j'avais la frustration de ne pas exploiter les valeurs 3, 4 et 5 tel qu'on imagine l'auteur l'a voulu

PS : j'ai bac plus deux en maths mais j'ai continué en info big_smile

 #10 - 13-02-2010 16:08:45

Zoé
Visiteur

Unn point à l'intérieur d'un triangle équilatéral

On place un point M dans un triangle équilatéral ABC.
Démontrer: la hauteur du triangle est égal à la somme des distances de M aux cotés du triangle.

 #11 - 22-12-2010 12:28:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un oint à l'intérieur d'un triangle équilatéral

Euh...

Lol ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 22-12-2010 14:23:03

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Un point à l'intérier d'un triangle équilatéral

C'est amusant cette énigme qui remonte à la surface d'une époque à laquelle je ne suivais pas encore...
Du coup ça me permet de donner une formule peu connue mais tellement utile (et belle).

Pour un point M situé à l'intérieur d'un triangle équilatéral de coté d à des distances a,b et c des 3 sommets, on a:
[TeX](a^2+b^2+c^2+d^2)^2=3(a^4+b^4+c^4+d^4)[/TeX]
Avec cette formule, on trouve rapidement d et donc la surface.

 #13 - 01-10-2011 20:55:04

ocean39
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 7

Un point à l'intérieurr d'un triangle équilatéral

Comment trouver la longueur MA+ MB + MC la plus petite possible ?
où doit être placer M ?

 #14 - 01-10-2011 21:05:46

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Un point à l'intérieur d'un triagnle équilatéral


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #15 - 01-10-2011 22:21:41

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

un point à l'intérizur d'un triangle équilatéral

Bonsoir,

Je découvre cette énigme qui date d'une époque où je ne connaissais pas P2T.
Et si je peux me permettre, je vous propose une démonstration presque sans calcul.

Voilà d'abord la figure.


http://www.prise2tete.fr/upload/esereth-defi7.png


J'ai construit un triangle ABC équilatéral de côté 3, puis un triangle  CBD rectangle en B tel que BD= 4. On reconnaît dans ce triangle un triangle pythagoricien (3,4,5)
Enfin j'ai construit le triangle équilatéral AED.

Il est facile de montrer que les triangles   ACD et ABE sont isométriques.
En effet AC = AB = 3, AD = AE par la dernière construction, et les angles CAD et BAE sont égaux à 60°-BAD.

Ceci étant dit on a donc BE = CD = 5

Le triangle AED a donc les caractéristiques de l'énoncé.

Maintenant, il suffit de calculer AD
l'angle ABD mesure 60°+90°=150°

AD^2=AB^2+BD^2-2*AB*BD*cos(150°)=9+16-2*3*4*sqrt(3)/2=25+12sqrt(3).
l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est a^2*sqrt(3)/4

L'aire est donc 25*sqrt(3)/4+9 qui vaut à peu près 19.825

 #16 - 01-10-2011 22:39:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

un point à l'inyérieur d'un triangle équilatéral

@esereth: très élégante démonstration: bravo

 #17 - 01-10-2011 23:44:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un point à l'intérieur d'un trianglee équilatéral

J'avais aussi cherché le problème il y a quelque temps . Le 3 , 4 , 5 sentant un peu trop le Pythagore , j'avais essayé avec des longueurs a , b , c quelconques .

http://img845.imageshack.us/img845/2255/345u.jpg
[TeX]P[/latex] est le point du triangle équilatéral [latex]ABC[/latex] à distance [latex]a , b , c[/latex] des sommets . [latex]A'B'C'[/latex] est l'image de [latex]ABC[/latex] par la rotation de centre [latex]P[/latex] et d'angle 60° . En décomposant l'hexagone AA'BB'CC' de deux façons on obtient :

[latex]2.A(ABC)=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2+c^2)+3.A(PA'B)[/TeX]
Et c'est fini smile

Vasimolo

 

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(3) — Un triangle a combien de sommet (3) — Triangle equilateral point distance du bord enigme (3) — Solution maths equilateral 3 4 5 (3) — Jeux triangle et du point (3) — Mathematique premiere s triangles equilateraux (3) — Calculer l aire d un carre (3) — Hauteur exterieur d un triangle (3) — Codage d un trapeze (3) — Schema d un triangle (3) — Regle pour decomposer un quadrilatere abcd en 6 triangles isoceles (3) — Point d un triangle rectangle (3) — Rectangle inscrit dans un triangle equilateral (3) — Calcul d un point dans un triangle (3) — Le sommet d un carre (3) — Enigme 10 interieur (3) — Combien de triangles dans hexagone (3) — Aire triangle point interieur (3) — Triangles equilateraux dans un cube (3) — Distance d un point a un rectangle (3) — Un point est distant de 3 4 et 5 cm des 3 sommets d\ un triangle equilata (3) — Point a l interieur d un triangle equilateral (3) — Distance d un point quelconque equilateral (3) — Combien de sommets a un triangle ? 3 (3) — Combien de triangle (3) — Calculer un point a partir d un segment (3) — Exercice d un triangle equilateral dans un cube (3) — Distance d un point aux cotes d un triangle equilateral (3) — Forum math determiner le cote d un triangle equilateral dans un cercle (3) — Combien ya t il de triangle dans cette figure (3) — Triangle equilateral point a l interieur (3) — Propriete triangle equilateral dans un cube (3) — Etablir une formule qui permette de determiner la somme des mesure d un angle d un polygone en fonction du nombre de ces cote (3) — Aire d un triangle (3) — Calculer la hauteur inconnue d un triangle (3) — Jeu de tracer la hauteur d un triangle (3) — Dessin d un triangle (3) — Triangle equilateral interieur (3) — Determiner les coordonnees a l aide de la proprietes des triangles equilateraux (3) — Que peux t-on dire des troie hauteur d un triangle equilateral (3) — Distance d un point dans un triangle (3) — Aire d un triangle schema (3) — Triangle equilateral et point m (3) — P est 34 et 5 cm des sommets du triangle (3) — Propriete des triangles equilateraux pour determiner les coordonnees (3) — Les distances de t aux sommets du triangle equilateral sont 3 5 et 7 cm. quelle est la longueur du cote de ce triangle ? (3) — Triangle isocele dans un parallelogramme (3) — Exercices a une inconnue sur un octogone inscrit dans un carre (3) — Coordonnees d un point dans un triangle (3) — Verifier un point appartient a la surface d un parallelogramme (3) — Point quelconque a l interieur calculer la distance de ce point aux cotes de ce triangle (3) — Tracer un triangle a l interieur et a l exterieur d un carre (3) — Triangle a 4 cotes (3) — Je construit un triangle quelconque de 4 cm et 5 cm (3) — Distance d un point a un triangle (3) — Triangle enigme (3) — Calcul aire triangle a partir d aires autres triangles (3) — Proprietes des triangles equilateraux pour determiner les coordonnees (3) — Combien de triangle dans un pentagone (3) — Triangle equilateral avec un point interieur (3) — Le sommet d un triangle (3) — Comment calcule t-on triangle rectangle en ayant qu une longueur (3) — Aire triangle rectangle isocele il existe un point m am = 2 (3) — Rectangle a l interieur d un triangle (3) — Am=3 bm=4 cm=5 (3) — Enigme de point carre (3) — Abc est un triangle equilateral de cote m un point quelconque a l interieur du triangle (3) — Carre a l interieur d un cercle (3) — Croquis interieur d un rectangle (2) — Verifier qu un point appartient a un triangle isocele (2) — Combien y a t il de losange dans cette figure (2) — Test point interieur quadrilatere (2) — Calcul d aire avec inconnu (2) — Faire triangle de 3 cm 4 cm 5 cm (2) — 4 segments avec 2 triangles et d un quadrilatere (2) — Triangle interior test (2) — Problemes ouverts (2) — Point a l\ interieur d\ un triangle equilateral (2) — Triangle equilateral point situe distance sommet aire (2) — Il y a t il 3 facon de calculer l aire d un triangle (2) — Cinq triangle equilateraux (2) — Propriete d un triangle equilaterale dans un cube (2) — Determiner point interieur triangle (2) — P est un point quelconque a l interieur d un triangle equilateral abc. (2) — Calculer les coordonnes d un point sur un triangle equilaterale (2) — Comment demontrer que le point d un carre et aussi celui d un triangle math seconde (2) — Resolution equivalence equation aire 2 rectangle suivant un point m (2) — Surface d\ un rectangle equilateral (2) — Proprietes du triangle equilateral pour determiner les coordonnees (2) — Losange a l interieur d un triangle rectangle (2) — Coordonnes point triangle (2) — Aire triangle equilateral si point m a 3 cm du sommet (2) — Combien yat il de triangle dans cette figure (2) — Equation d un triangle equilaterale (2) — Comment savoir si un point d\ un triangle est le point d\ un cercle ? (2) — Propriete du triangle equilateral (2) — Avec 3points on trace 3 segments (2) — Savoir si un point appartient a un triangle (2) — Soit un point quelconque a l interieur d un triangle rectangle isocele (2) — Combien de triangles (2) — Test point dans triangle (2) — Comment demontrer les coordonnees d un point dans un triangle equilateral (2) — Triangle equilateral de 5 cm (2) — Combien y a-t-il de triangles dans cette figure ? (2) — Somme+distances+cotes+triangle (2) — Triangle equilateral point m quelconque (2) — Dessin triangle en latex (2) — Calculer les coordonnees d un sommet d un triangle equilateral (2) — (2) — Comment tracer une courbe qui donne l aire d un triangle isocele en fonction d un des cote du triangle sur geogebra (2) — Demontrer qu un triangle est equilateral dans un cube (2) — Hauteur d un triangle (2) — Comment calculer la distance d un point par rapport a un sommet d un triangle (2) — Tracer les hauteurs d un triangle a partir d un cercle un point et dehors (2) — Somme des distances aux cotes d un triangle quelconque (2) — Perimetre d un triangle equilateral en fonction d un point (2) — Un triangle equilateral de 5 cm (2) — Avec 1 carre de 5 cm et un autre de 4 cm faire un carre de 41 cm carre (2) — Combien y a t il de sommet dans un triangle (2) — Hexagone triangle (2) — Point in triangle (2) — Comment calculer l aire d un quadrilatere quelconque ? 4e (2) — Combien il y a de triangle equilateraux dans un cube (2) — Enigme de forme triangle (2) — Calculer la distance d un sommet (2) — Devinette d un lieu (2) — 2 rectangles isoceles et un rectangle equilateral quadrilatere (2) — Abc triangle equilateral aire du quadrilatere si m point quelconque a l interieur du triangle (2) — Triangle equilateral 3 4 5 (2) — Tester si point dans triangle (2) — Demonstration par les aires point dans un triangle (2) — Comment fait t on pour construire un losange lu=7cm ou=5cm (2) — Combien y a t il de hauteur dans un triangle ? (2) — Longueur d un cote d 1 triangle ds un parallelogramme (2) — Relation entre un point et un triangle equilaterale (2) — Point interieur d un triangle dont la somme des distances auc cotes est minimale (2) — Propriete d un point a l interieur triangle equilateral (2) — Dessin de triangle isocele dans un quadrilatere quelconque (2) — Comment placer un point quelconque sur un cote d un triangle rectangle ? (2) — Combien vaut la somme d un polygone a 2010 cote (2) — Somme de distances d un point au cotes d un point dans un triangle equilateral (2) — Dans ce triangle equilateral le point m est situe a 3 cm d un premier (2) — Un triangle pythagoricien (2) — Comment trouver un point a egale distance (2) — Test de logique 3 triangles equilateraux (2) — Distance centre hexagone (2) — Calcul aire d un triangle isocele (2) — Aire d un quadrilatere quelconque divise en 4 (2) — Un triangle equilateral a combien de sommet c (2) — Demontre que l aire du triangle equilateral est 6 cm carre (2) — Combien y a t-il de triangles dans (2) — Triangle equilateral distance sommets 4 3 5 (2) — Propriete triangle equilateral (2) — Calcul de coordonnees d un sommet d un triangle equilateral (2) — Comment montrer qu un triangle est equilateral dans un cube (2) — A valeur d?un angle interieur d?un octogone (2) — Am=3 bm=4 cm=5 abc est un triangle equilateral calculer son aire (2) — Triangle equilateral 3 4 5 aire (2) — Formule d insertion carre dans un triangle (2) — Determiner la position d un point sur un segment (2) — Combien a de sommet un triangle (2) — Pentagone de sommets a coordonnees entieres (2) — Les sommets du tringle abc (2) — Calcul d un coordonnee d un triangle equilaterale (2) — Triangle isocele son image a b c (2) — Triangle avec des cercles a l interieur (2) — Nom d un cote d un triangle (2) — L interieur d un triangle (2) — Hauteur triangle equilateral interieur point (2) — Le point m est a l interieur d un triangle abc (2) — Test si point interieur carre (2) — Un quadrilatere a l\ interieure d\ un rond (2) — Un point est distant de 3 4 et 5 cm des 3 sommets d un triangle equilateral (2) — Determiner les coordonnees du quatrieme sommet d\ un parallelogramme (2) — Calcul d un point en dehors d une surface (2) — Triangle equilateral m point quelconque (2) — Solution de math si on connait les 4 longueurs d un trapeze et on doit calculer les angles (2) — Comment fait t on un triangle equilateral (2) — Surface d un triangle isocele (2) — Distance d un point situe a l interieur d un triangle a ses cotes (2) — Triangle equilateral 1 point a l interieur (2) — Triangle equilateral 1 point 3 4 5 (2) — Enigme quadrilatere (2) — Comment calcule t on l aire d un triangle ( trois facon ) (2) — Somme d un triangle equilateral (2) — Circonference d un cercle avec un triangle a l interieur (2) — Demontrer que la hauteur des triangles eqilateraux est egal a racine carre de 3 divise pa 2 (2) — (2) — A l interieur du triangle trouver l aire du trapeze egale a l aire du triangle (2) — Somme des distances d un point aux cotes d un triangle equilateral (2) — Comment trouver un pont dans un triangle (2) — Carre triangle equilateral interieur exterieur (2) — Triangle 3 dimensions (2) — Combien vaut la somme des mesures des angles d un polygone a 2 010 cotes? (2) — Comment peut on calculer l aire abc avec des cosinus et des racine raree (2) — Comment calculer une aire avec 2 inconnus (2) — Nombre d un sommet d un triangle (2) — Base d un triangle equilateral (2) — Etablir une formule qui permette de trouver la somme des angles dun polygoneen fonction du nombre de ces cotes (2) — Calculer l interieure d un bac cm3 (2) — Triangle equilaterale (2) — Calcul de surface avec des inconnu (2) — Aire d un triangle cotes inconnus (2) — Avec 10 points combien de triangle peut-on nommer ? (2) — Comparaison cote triangle et point triangle (2) — Construire un triangle equilateral avec point interieur 3 4 5 cm des sommets (2) — Combien de triangle pont on mettre dans un triangle? (2) — Triangle equilateral point distance cote aire (2) — Combien de cote a un triangle isocele (2) — Triangle equilateral un point m la somme des (2) — Enigme du triangle equilateral avec un point a l interieur calcul de l aire (2) — Un point est distant de 3 4 5 cm des (2) — Abc+est+un+triangle+equilateral+de+cote+2 cm (2) — Calculer la position d un point dans un triangle equilateral (2) — Comment nomme t on un triangle dont le point est situer a l interieur (2) — Point d insertion des hauteur d un triangle est (2) — Dans ce triangle equilateral le point m est situe a 3cm d un premier sommet a 4cm d un second sommet et a 5cm (2) — Calcul surface triangle dont distnce au sommet egale 3 4 5 (2) — Comment situer les points d un triangle (2) — Dans ce triangle equilateral le point m est situe a 3cm d un premier sommet a 4cm d un second sommet et a 5 cm du troisieme. (2) — Position du point de la hauteur dans un triangle equilateral (2) — Dans un triangle equilateral la somme des distances d un point interieur au triangle aux sommets de ce triangle (2) — Image de triangle isocele (2) — Triangle avec un cercle a l interieur (2) — Distance d un point aux 3 cotes d un triangle (2) — Calcul position d un point sur la surface triangle (2) — Geometrie un triangle 3 points trouver un quatrieme point egal distance (2) — Triangle irregulier (2) — Comment calculer l aire d un triangle (2) — Enigme des 3 triangles (2) — Hexagone de cote 3 cm et de hauteur 4 cm (2) — Point situe a des distances dans un triangle (2) — Coordonnees du quatrieme sommet d?un parallelogramme (2) — Combien yat il de triangle enigme point (2) — Calcul de point dans un triangle equilateral (2) — Position d un point dans un triangle equilateral (2) — Prouver triangles rectangles dans un quadrilatere 4eme (2) — Quelle est la hauteur d un triangle equilateral de cote 10 cm (2) — Poit interieur dans un triangle equilateral (2) — Fait un triangle abc avec un point m a l exterieur (2) — Utiliser les proprietes des triangles equilateraux pour determiner les coordonnes de i et de l (2) — Un point p a l interieur d un triangle equilateral (2) — Triangle compose de petit triangle (2) — Dessins d un triangle equilateral (2) — Comment situe t on un point sur une figure (2) — Calcul des coordonnees d un sommet du triangle (2) — Calcul distance segment triangle quelconque avec 1 angle et 1 distance (2) — Hauteur d un sapin avec angle en maths (2) — Tout point situe a l interieur d un triangle equilateral abc la somme des distances aux deux cotes est egale a la hauteur du triangle. (2) — Combien y a-t-il de cote sur un hexagone (2) — Trouver l air d un triangle avec inconnu (2) — Determiner par un calcule les coordonnee d un point dans triangle rectangle (2) — Somme distance point cote triangle equilateral (2) — Calculer la hauteur puis l aire d un triangle equilateral de cote 5 cm (2) — Abc est un triangle et o un point quelconque a l interieur de abc. (2) — La somme de lair interieur du triangle (2) — Schema de la base dun triangle (2) — Commen savoir qu un point es a l interieur ou a l exterieur d un triangle (2) — Point interieur au triangle rectangle isocele (2) — La somme des distances des points a l interieur d un triangle equilateral au sommet est egal (2) — (2) — Comment messure t on l aire d un triangle equilateral (2) — Abc est un triangle equilateral. m est un point interieur a ce triangle. demontrer que la somme des distances du point m aux trois cotes du triangle est egale a la hauteur du triangle (2) — Triangle distance d un point au sommet (2) — Tester interieur quadrilatere (2) — Points interieurs a un cote du triangle (2) — Points communs triangle equuilateral carre (2) — Comment savoir si un point est a l interieur d un rectangle (2) — Distances sommets triangle equilateral (2) — Abc est un triangle equilateral. m est un point interieur a ce triangle (2) — Montrer que la somme des distances du point m aux trois cotes du triangle (2) — Calculer l aire du triangle isocele decote 5cm (2) — Distance d un point par rapport a un triangle equilateral (2) — Calculer ab et ac lorsque x=4. lorsque x=4 abc est-il un triangle rectangle (2) — Un point a l interieur du triangle equilateral (2) — Formule pour determiner les coordonees d un point d un quadrilatere (2) — Segment d un triangle (2) — Propriete des triangles equilateraux et coordonnee (2) — Enigme combien y a t il de triangle dans cette forme (2) — Point interieur triangle distance (2) — (2) — Aire triangle equilateral avec un point dedans (2) — Calculer l air d un triangle equilaterale dans un carre (2) — Aire dun triangle equilaterale (2) — Shema et nom des triangles geometries (2) — Enigme aire triangle isocele rectangle le monde (2) — Enigme combien de triangle (2) — Sapin en geometrie avec geogebra (2) — Triangle a l interieur d un triangle (2) — Aire triangle 3 4 5 (2) — La somme des distances de tout situes a l interieur d un triangle est i (2) — Maths 1ere s somme d aires d un triangle (2) — Abc est un triangle equilateral de cote 10 cm. et m un point interieur du triangle (2) — Trouver un sommet dans un triangle equilateral (2) — Un point m dans un triangle equilateral (2) — Aire du triangle equilateral et point m situe (2) — Abc est un carre. i est le point a l interieur (2) — Longueur interieure du triangle la plus petite (2) — Surface triangle isocele avec point interieur situes a 1 2 3 des sommets (2) — Valeur d un triangle equilateral (2) — Comment chercher un angle d un carre se trouvant a l interieur d un autre c (2) — Proprietes triangle equilateral pour determiner les coordonnees d un point (2) — Calcul de l aire d un triangle avec deux inconnus (2) — Calcul triangle isocele (2) — Perimetre d un triangle equilateral (2) — 3triangles dont les longueurs des cotes sont des nombres entiers donc le perimetre est egal a12 (2) — Demontrer que si m est un point interieur a un triangle equilaterale abc la somme des distances de m aus 3 cotes du triangle est egale a ai. (2) — Perimetre d un quadrilatere (2) — Regle de l air du triangle isocele rectangle (2) — Prouver que la somme des hauteur dun triangle equilateral sont toujours egale (2) — Point quelconque dans un triangle equilateral (2) — Triangle equilateral 50 cm (2) — Equation d un point appartenant a l interieur d un triangle (2) — Comment savoir l aire d un triangle equilaterale (2) — Coordonnee d un point d un triangle (2) — Combien il y a de sommet dans un rectangle (2) — Montrer que la somme des distances du point m au trois cotes (2) — Enigme cercle et point (2) — Avec 4 triangles quelconquespeux t on former un triangle? (2) — Le point m est a l interieur du triangle equilateral abc (2) — Calculer lair dun triangle equilateral a partir de ses codes (2) — Triangle combien de fois plus petit (2) — Triangle distance sommet 273 (2) — Calculer la base d un triangle isocele (2) — Triangle equilateral par rapport au point o (2) — Triangle equilateral et point (2) — Formule pour dessiner un octogone a partir d un carre (2) — Mathematiques dans un triangle equilateral un point m est situe (2) — Dans un carre combien ya til de sommets (2) — Test un point dans quadrilatere (2) — Point interieur isocele (2) — Construction triangle isocele point interieur (2) — Calcul du triangle equilateral dans un rond (2) — A quelle distance puis je voir selon la hauteur math (2) — Fabriquer un triangle en trois dimensions (2) — Angle exterieur * triangle (2) — Somme distance d un point a l interieur d un triangle au cote de celui ci (2) — Dessin d un triangle equilateral (2) — Shema d un triangle equilateral (2) — Demontrer le perimetre d un rectangle a l interieur d un losange (2) — Combien de triangle peut-on faire avec 4 points? (2) — Triangles equilateraux enigme (2) — Enigme triangle equilateral en calculant (2) —

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