Je pose x la longueur du coté du triangle.
Chaque hauteur du triangle equilatéral vaut x√32.
Je peux donc donner une premiere formule pour l'aire du triangle : x2√34.
De plus l'aire du triangle ABC est triavialement la sommes des 3 triangles ABM, BCM et CAM.
Prenons le rectangle ABM donc les cotés valent x, 4 et 3.
Son aire est donnée par la formule :
14√(x+3+5)(−x+3+5)(x−3+5)(x+3−5)=14√(64−x2)(x2−4)
Je calcule de meme l'aire des deux autres petits triangle et en comparant la somme de leurs aires et celle du triangle ABC j'obtiens une équation a une inconnue :
[latex]x2√34=14√(64−x2)(x2−4)+14√(81−x2)(x2−1)+14√(49−x2)(x2−1)[/latex].Jesimplifie[latex]14[/latex]etjedeveloppeunpoil.[latex]x2√3=√−x4+68x2−256+√−x4+82x2−81+√−x4+50x2−49[/latex].Jepose[latex]X=x2
X\sqrt{3} = \sqrt{-X^2+68X-256} + \sqrt{-X^2+82X-81} + \sqrt{-X^2+50X-49} [/latex]. Que je n'ai pas encore résolue :-p J'ai regardé le tracé de la courbe [latex]X\sqrt{3} - \sqrt{-X^2+68X-256} - \sqrt{-X^2+82X-81} - \sqrt{-X^2+50X-49}[/latex] entre les valeurs 0 et 49 (7*7, le coté x est plus petit que 7 si on peut se fier au dessin) et la fonction ne s'annule jamais. Donc pas de solution avec le point M a l'intérieur du triangle on dirait (enfin si je me suis pas vautré qque part :S) En je m'étais vautré sur des signes et le tracé laisse voir une solution pour X=45,784.... ce qui nous donne une approximation du coté du triangle : x=6.766.... et donc une aire de 19.825... Je vais essayer toutefois de voir si j'arrive a trouver un résultat formel plutot qu'un approximation. Edit: Depuis hier j'ai tenté une autre approche. On commmence par attribuer des coordonnées aux points. Cette fois-ci j'appelle c le coté du triangle et x et y les coordonnées du point M. [latex] A= (0,0) B= (c,0) C= (\frac{c}{2}, \frac{c\sqrt{3}}{2}) M= (x,y)
On sait que AM = 3, BM = 4 et CM = 5 ce qui se traduit par :
1) x^2+y^2 = 9
2) (x-c)^2+y^2 = 16
3) (x-\frac{c}{2})^2+(y-\frac{c\sqrt{3}}{2})^2 = 25
En soustrayant 1) à 2) on obtient :
(x-c)^2+y^2 - (x^2+y^2) = 16 - 9 c^2-2cx=7
4) x = \frac{c^2-7}{2c}
De plus a partir de 1) et 4) on obtient :
y=\sqrt{9-x^2} y=\sqrt{9-(\frac{c^2-7}{2c})^2} y=\sqrt{\frac{9*(2c)^2-(c^2-7)^2}{(2c)^2}}
5) y=\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}}{2c}
Enfin on reinjecte 4) et 5) dans 3) :
(\frac{c^2-7}{2c}-\frac{c}{2})^2+(\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}}{2c}-\frac{c\sqrt{3}}{2})^2=25 (\frac{c^2-7-c^2}{2c})^2+(\frac{\sqrt{-c^4+50c^2-49}-c^2\sqrt{3}}{2c})^2=25
Je multitplie par (2c)^2 de chaque coté
49+(\sqrt{-c^4+50c^2-49}-c^2\sqrt{3})^2=100c^2 49-4c^4+50c^2-49 -2\sqrt{-c^4+50c^2-49}*c^2\sqrt{3}+3c^4=100c^2 2c^4-50c^2=2c^2\sqrt{3}\sqrt{-c^4+50c^2-49} c^2-25=\sqrt{3}\sqrt{-c^4+50c^2-49}
J'élève au carre de chaque coté
(c^2-25)^2=3*(-c^4+50c^2-49) c^4-50c^2+625=-3c^4+150c^2-147 4c^4-200c^2+772=0 c^4-50c^2+193=0
Je pose C=c^2
C^2-50C+193=0
Delta = 1728=3*24^2
C1=\frac{50+24\sqrt{3}}{2}=25+12\sqrt{3} C2=\frac{50-24\sqrt{3}}{2}=25-12\sqrt{3}
Pour repasser a c je prends \sqrt{C} et j'oublie -\sqrt{C} car c est positif
c1=\sqrt{25+12\sqrt{3}} =6,776... c2=\sqrt{25-12\sqrt{3}} = 2,053...
les aires correspondantes sont
a1=\frac{25\sqrt{3}}{4}+9 = 19.825... a2=\frac{25\sqrt{3}}{4}-9 = 1,825...
Jusqu'a present certaines de mes étapes ne sont pas des équivalence mais des implications. Il me faut donc vérifier chacune de ces 2 possibilités.
J'ai un peu la flemme apres tout ça :-p
La premiere solution semble coller avec mon premier calcul (comparaison d'aire) et le deuxieme correspond peut etre a un cas ou le point M est en dehors du triangle ?