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 #1 - 28-10-2009 10:53:00

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Et l'echelle cohit II

Meme sujet que Vasimolo et l'echelle choit mais a la place que le point M soit le milieu on prend un point M sur l'hypoténuse

Quel est le lieu des points M quand l'echelle glisse contre le mur

Spoiler : [Afficher le message] Je vois qu'elle vous tient tete donc je repose la question autrement quelle figure géométrique décrit le point M quand l'échelle glisse contre le mur?



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 #2 - 28-10-2009 18:24:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Et l'echelle choit I

La trajectoire est un morceau d'ellipse :

http://img442.imageshack.us/img442/6840/echelle2.jpg

En observant les deux petits triangles rectangles semblables : [latex]\frac ab = \frac xu = \frac vy[/latex] et avec Pythagore [latex]u^2=b^2-y^2[/latex] et [latex]v^2=a^2-x^2[/latex] . Ce qui donne [latex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/latex] et c'est fini smile

Remarque : si [latex]M[/latex] est au milieu , on retrouve le résultat de la 1ère ( 1e big_smile ) énigme .

Vasimolo

 #3 - 29-10-2009 07:49:37

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Et l''echelle choit II

On appelle t l'angle de l'échelle avec l'horizontale, l longueur de l'échelle et b et a les distances de M aux extrémités de l'échelle.
On se place dans le repère formé par les murs.

En fonction de t, on a xM = a cos (t) et yM = b sin(t), M décrit donc une ellipse (et on retrouve le cercle pour a=b).

 #4 - 29-10-2009 16:18:27

E271828
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 62

et l'echellr choit ii

Si M est un point quelconque de l'échelle (différent de son centre) alors je crois que
M décrit un quart d'éllipse.

 #5 - 29-10-2009 17:25:48

VanSS
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 31

et l'ecjelle choit ii

Dans un repère orthonormé d'origine le bas du mur, on notera x l'abscisse et y l'ordonnée du point M.

On notera b le coté du triangle avec le sol, B le coté du triangle avec le mur et H l'hypothenus. Enfin on notera h la position du point M sur l'échelle en partant du sol. On considere qu'il n'est ni au bas de l'echelle ni en haut sinon la trajectoire est facile a decrire, c'est un segment

D'après Thales, on a [latex]\frac{y}{B}=\frac{b-x}{b}=\frac{h}{H}[/latex] donc
en notant [latex]\alpha=\frac{h}{H}[/latex] qui est une constante du problème, on trouve [latex]\frac{y^2}{\alpha^2} + \frac{x^2}{(1-\alpha)^2}=B^2+b^2[/latex]

Or le triangle entre le mur, le sol et l'échelle est toujours rectangle donc d'après Pythagore [latex]B^2+b^2=H^2[/latex]. on a donc trouvé l'équation d'une ellipse de petit axe et de grand axe h et H-h ou plus exactement d'un quart d'un ellipse en rajoutant la condition évidente [latex]0 \leq x[/latex] et [latex]0 \leq y[/latex]

 #6 - 29-10-2009 23:42:33

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2130

Et l'echelle hoit II

Un très jolie parabole.
Qui sera un simple arc de cercle quand Vasimolo pose la question.

Hoops

Une parabole qui deviendrait un arc de cercle. roll

Une belle ellipse.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #7 - 31-10-2009 12:46:55

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Et l'ehcelle choit II

Bonnes réponse de vasimolo vanss dylasse et E271828 c'est un quart d'ellispe qu'il fallait trouver

 

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