Dans un repère orthonormé d'origine le bas du mur, on notera x l'abscisse et y l'ordonnée du point M.
On notera b le coté du triangle avec le sol, B le coté du triangle avec le mur et H l'hypothenus. Enfin on notera h la position du point M sur l'échelle en partant du sol. On considere qu'il n'est ni au bas de l'echelle ni en haut sinon la trajectoire est facile a decrire, c'est un segment
D'après Thales, on a [latex]\frac{y}{B}=\frac{b-x}{b}=\frac{h}{H}[/latex] donc
en notant [latex]\alpha=\frac{h}{H}[/latex] qui est une constante du problème, on trouve [latex]\frac{y^2}{\alpha^2} + \frac{x^2}{(1-\alpha)^2}=B^2+b^2[/latex]
Or le triangle entre le mur, le sol et l'échelle est toujours rectangle donc d'après Pythagore [latex]B^2+b^2=H^2[/latex]. on a donc trouvé l'équation d'une ellipse de petit axe et de grand axe h et H-h ou plus exactement d'un quart d'un ellipse en rajoutant la condition évidente [latex]0 \leq x[/latex] et [latex]0 \leq y[/latex]