On appelle t l'angle de l'échelle avec l'horizontale, l longueur de l'échelle et b et a les distances de M aux extrémités de l'échelle.
On se place dans le repère formé par les murs.

En fonction de t, on a xM = a cos (t) et yM = b sin(t), M décrit donc une ellipse (et on retrouve le cercle pour a=b).

Dans un repère orthonormé d'origine le bas du mur, on notera x l'abscisse et y l'ordonnée du point M.

On notera b le coté du triangle avec le sol, B le coté du triangle avec le mur et H l'hypothenus. Enfin on notera h la position du point M sur l'échelle en partant du sol. On considere qu'il n'est ni au bas de l'echelle ni en haut sinon la trajectoire est facile a decrire, c'est un segment

D'après Thales, on a $\frac{y}{B}=\frac{b-x}{b}=\frac{h}{H}$ donc
en notant $\alpha=\frac{h}{H}$ qui est une constante du problème, on trouve $\frac{y^2}{\alpha^2} + \frac{x^2}{(1-\alpha)^2}=B^2+b^2$

Or le triangle entre le mur, le sol et l'échelle est toujours rectangle donc d'après Pythagore $B^2+b^2=H^2$. on a donc trouvé l'équation d'une ellipse de petit axe et de grand axe h et H-h ou plus exactement d'un quart d'un ellipse en rajoutant la condition évidente $0 \leq x$ et $0 \leq y$

Bonnes réponse de vasimolo vanss dylasse et E271828 c'est un quart d'ellispe qu'il fallait trouver