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 #1 - 03-06-2011 20:25:49

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Deux inégalits inégales

Montrer pour vous échauffez que :
[latex]x^2+y^2\geq 2xy[/latex] pour deux réels quelconques.

Montrer ensuite que :
[latex]x^3+y^3+z^3\geq 3xyz[/latex] pour trois réels positifs.

Bon courage.



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 #2 - 03-06-2011 21:52:54

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Deu inégalités inégales

Pour la première inégalité, cela me parait évident :
[TeX]x^2+y^2-2xy\geq 0 [/latex]   soit   [latex](x-y)^2\geq 0 [/TeX]
Pour la deuxième, cela mérite un peu plus de réflexion ... hmm

 #3 - 03-06-2011 22:16:59

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

deux onégalités inégales

x²+y² >= 2xy
<=>
x²-2xy+y² >= 0
<=>
(x-y)² >= 0
<=>
|x-y| >= 0

Je vais prendre une feuille pour l'autre.

 #4 - 03-06-2011 22:30:42

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

deux inégalités ibégales

montrons[latex]x^3+y^3+z^3-3xyz \ge 0[/latex]
[TeX]x^3+y^3+z^3-3xyz =(x+y+z)(x^2-xy-xz+y^2-yz+z2) [/TeX]
x+y+z est trivialement >0.
regardons la 2nde equation.
calculons la derivé de la seconde equation par rapport a z:
dz=2z-x-y
la fonction est decroissante pour z<(x+y)/2 puis croissant, son minimum est donc en z=x+y/2.
or en z=x+y/2 elle vaut:
[TeX]x^2-xy-x\frac{x+y}{2}+y^2-y\frac{x+y}{2}+(\frac{x+y}{2})^2=\frac{1}{2}(x^2+y^2-xy)+(\frac{x+y}{2})^2\ge 0[/TeX]
ceci est aussi vrai pour y et x.
cqfd

 #5 - 04-06-2011 00:00:24

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

deux inégalités inégakes

Pour le 1)
[TeX](x-y)^2[/latex] est toujours positif.

Pour le 2)
On peut supposer sans réduire la généralité que [latex]a\ge b\ge c[/TeX]
On a alors [latex]a^2 \ge b^2 \ge c^2[/latex] (1) et [latex]ab\ge ac\ge bc[/latex] (2) (car a, b, et c sont positifs)
[TeX]a^3+b^3+c^3=a^2.a+b^2.b+c^2.c[/TeX]
On applique l'inégalité de réordonnement en utilisant (1):
[TeX]a^2.a+b^2.b+c^2.c \ge a^2.b+b^2.c+c^2.a[/TeX]
Donc: [latex]a^3+b^3+c^3 \ge a(ab)+c(ac)+b(bc)[/latex]
On applique l'inégalité de réordonnement une deuxième fois en utilisant (2):
Donc: [latex]a(ab)+c(ac)+b(bc) \ge c(ab)+b(ac)+a(bc)[/latex] (minimum atteint pour l'ordre inverse d'ordonnement).
Et donc finalement:
[TeX]a^3+b^3+c^3 \ge 3abc[/TeX]

 #6 - 04-06-2011 07:48:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

Deux inégalités inégaes

1)L'identité remarquable (x-y)² est tjs positive.

2)
On pose y=x+a et z=x+b en supposant x<=y<=z.
3x(x+a)(x+b)=3x^3+3x²(a+b)+3xab

x^3+(x+a)^3+(x+b)^3=3x^3+3x²(a+b)+3x(a²+b²)+a^3+b^3.

reste donc à comparer
3xab <? 3x(a²+b²)+a^3+b^3
Or seul a²+b²>ab car (a-b)² positif donc a²+b²>2ab>ab.


Egalité si x=y=z (car a=b=0).

 #7 - 04-06-2011 11:35:05

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3768
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

deux inégaliyés inégales

Bonjour,

La première est hyper-facile :
on part de [latex](x-y)^2 >= 0[/latex],
on développe et on trouve [latex]x^2 + y^2 >= 2xy[/latex]


La deuxième est nettement moins trivial :
on part de [latex](x+y+z)^3 = (x+y+z)(x+y+z)^2[/latex],
on développe :
[TeX]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z) (x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)[/TeX]
[TeX]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z) [(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2]/2[/TeX]
on s'intéresse alors au membre de droite, qui est positif ou nul.
Donc [latex]x^3 + y^3 + z^3 >= 3xyz[/latex]

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #8 - 04-06-2011 12:06:14

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Deux inégalités ingales

Félicitations à Klimrod pour ses talents algébriques!
Et bravo aux autres.


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 #9 - 04-06-2011 12:45:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Deux inégalités inéggales

Pour le premier :
[TeX]\text{Si }x^2+y^2 \ge 2xy \Leftrightarrow x^2+y^2-2xy \ge 0[/TeX]
On reconnait l'identité remarquable [latex](x-y)^2=x^2+y^2-2xy[/latex].
Par changement de variable, soit [latex]X=(x-y)[/latex] alors [latex]\forall X \in \mathbb{R}, X^2 \ge 0[/latex]
Donc : [latex]\fbox{\forall (x;y) \in \mathbb{R}, \text{ }x^2+y^2 \ge 2xy}[/latex]



Pour le deuxième :

Soit [latex]f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz[/latex] si [latex]f(x,y,z) \ge 0[/latex] alors c'est prouvé!
[TeX]\frac{d}{dx} f(x,y,z) = 3x^2[/latex] or [latex]3x^2=0 \Leftrightarrow x=0[/TeX]
[TeX]\frac{d}{dy} f(x,y,z) = 3y^2[/latex] or [latex]3y^2=0 \Leftrightarrow y=0[/TeX]
[TeX]\frac{d}{dz} f(x,y,z) = 3z^2[/latex] or [latex]3z^2=0 \Leftrightarrow z=0[/TeX]
La fonction [latex]f(x,y,z)[/latex] s'annule si et seulement si [latex]x=y=z=0[/latex] donc [latex]\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, \text{ }f(x,y,z) \ge 0[/latex]

Donc : [latex]\fbox{\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, \text{ }x^3+y^3+z^3 \ge 3xyz}[/latex]

NB : Pour les dérivées partielles j'ai regardé sur wikipédia, donc je ne sais pas si ce que j'écris est correct néanmoins je pense que c'est bon big_smile

La deuxième partie j'espère que vous avez fermé les yeux lol c'est tout faux ou presque!


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 04-06-2011 13:05:19

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

DDeux inégalités inégales

1. [latex]x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\,\ge 0[/latex] pour x, y réels quelconques

2. [latex] x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = [x + y + z] [x^2 + y^2 + z^2 - xy -yz - zx][/latex]

[latex]=\frac {(x+y+z)[(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2]} 2\,\ge 0[/latex] pour x, y, z réels positifs

 #11 - 04-06-2011 15:23:28

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Deux inégallités inégales

Bamby2 si j'ai bien compris, tu considères qu'une fonction de 3 variables qui à un minimum en chacune des 3 directions admet un minimum partout.
Je crois que c'est faux, si tu veux j'ai un exemple à 2 variables où toutes les fonctions directionnelles admettent un minimum en 0 mais pas la fonction globale.

Si je t'ai mal compris, dis moi le.wink


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 #12 - 04-06-2011 15:39:38

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

deux inégalités inégzles

x^2 + y^2 -2xy à son minimum quand x=y (ce qui va bien avec la symétrie de la fonction) soit 0 donc x^2+y^2 >= 2xy

Bon, pour faire moins court, x^2 - 2xy - y^2 , c'est aussi (x-y)^2 racines 0 et -0

x^3 + y^3 + z^3- 3xyz... je réfléchis un peu, une minute Cette fonction n'as pas de valeur constante, donc s'il doit y avoir un minimum, il est pour x=y=

 #13 - 04-06-2011 16:47:46

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

deux inégalités inéfales

J'ai les deux démonstrations. La première est jolie (je pense que tout le monde l'aura trouvée) et la deuxième, très très moche (je suis persuadé qu'il y a une démonstration arithmétique astucieuse, mais je ne l'ai pas vraiment cherchée tongue).

1) Pour tous réels [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] :
[TeX](x-y)^2 \ge 0[/TeX]
[TeX]x^2 - 2xy + y^2 \ge 0[/TeX]
[TeX]x^2 + y^2 \ge 2xy[/TeX]
2) Pour tous réels [latex]x[/latex], [latex]y[/latex] et [latex]z[/latex] positifs.
On pose [latex]f(x) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz[/latex], de dérivée [latex]f'(x) = 3x^2 - 3yz[/latex].
L'étude du signe de la dérivée montre que la fonction [latex]f[/latex] admet un minimum, atteint pour [latex]x = \sqrt{yz}[/latex].
[TeX]f(\sqrt{xy}) = y^3 + z^3 - 2yz\sqrt{yz}[/latex].
Pas sûr de pouvoir déduire directement quelque chose de ça (enfin si, ça doit être possible, mais bon big_smile) ... Alors on pose [latex]g(y) = y^3 + z^3 - 2yz\sqrt{yz}[/latex].
[latex]g[/latex] a pour dérivée [latex]g'(y) = 3y^2-z\sqrt{yz}[/latex]. Après étude de la dérivée, [latex]g'(y)[/latex] est positive, d'où [latex]g[/latex] est croissante sur l'intervalle des réels positifs. [latex]g(0) = 0[/latex] d'où notre fonction [latex]g[/latex] est positive pour tout [latex]y[/latex] positif, d'où [latex]f(\sqrt{yz})[/latex] est positif lui aussi. Le minimum de la fonction [latex]f[/latex] est positif, d'où la fonction [latex]f[/latex] est positive pour tout réel [latex]x[/latex] positif.
Ainsi pour tous réels [latex]x[/latex], [latex]y[/latex] et [latex]z[/latex] positifs : [latex]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \ge 0[/TeX]
Donc : [latex]x^3 + y^3 + z^3 \ge 3xyz[/latex] (tout simplement !)

Alexein41. smile

 #14 - 05-06-2011 09:47:08

papiauche
Sa Sainteté
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Messages : 2126

deux inégaliyés inégales

Factorisons d'abord le polynôme.

Par symétrie, posons [latex]A=x+y+z[/latex]
[TeX]A^3+A^3+A^3=3 A^3[/TeX][TeX]x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)[/TeX][TeX]x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz =
1/2((x^2+y^2-2xy)+(x^2+z^2-2xz)+(y^2+z^2-2yz))=
1/2((x-y)^2+(z-x)^2+(y-z)^2)[/TeX]
Donc pour trois réels positifs, il vient:
[TeX]x+y+z >=0
1/2((x-y)^2+(z-x)^2+(y-z)^2) >=0[/TeX]
Et hop!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #15 - 06-06-2011 17:00:54

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

drux inégalités inégales

Le premier n'est pas bien dur : quels que soient x et y, [latex](x-y)^2 \ge 0[/latex] soit [latex]x^2+y^2-2xy \ge 0[/latex], et hop.

Je ne vois pas d'où partir pour le deuxième.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 06-06-2011 21:00:11

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Deux innégalités inégales

Je tiens à dire que cette inégalité est un cas particulier de l'inégalité de la moyenne.
Cette dernière permet, entre autre, de généraliser à n ce que nous avons fait pour 2 et 3.
Mais pour ces cas particulier c'est la démarche totalement algébrique ou le réordonnement  qui me semblent être les plus élégants.
Merci pour votre participation.
smile


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