x²+y² >= 2xy
<=>
x²-2xy+y² >= 0
<=>
(x-y)² >= 0
<=>
|x-y| >= 0

Je vais prendre une feuille pour l'autre.

Pour le 1)
[TeX](x-y)^2[/latex] est toujours positif.

Pour le 2)
On peut supposer sans réduire la généralité que [latex]a\ge b\ge c[/TeX]
On a alors [latex]a^2 \ge b^2 \ge c^2[/latex] (1) et [latex]ab\ge ac\ge bc[/latex] (2) (car a, b, et c sont positifs)
[TeX]a^3+b^3+c^3=a^2.a+b^2.b+c^2.c[/TeX]
On applique l'inégalité de réordonnement en utilisant (1):
[TeX]a^2.a+b^2.b+c^2.c \ge a^2.b+b^2.c+c^2.a[/TeX]
Donc: [latex]a^3+b^3+c^3 \ge a(ab)+c(ac)+b(bc)[/latex]
On applique l'inégalité de réordonnement une deuxième fois en utilisant (2):
Donc: [latex]a(ab)+c(ac)+b(bc) \ge c(ab)+b(ac)+a(bc)[/latex] (minimum atteint pour l'ordre inverse d'ordonnement).
Et donc finalement:
[TeX]a^3+b^3+c^3 \ge 3abc[/TeX]

Bonjour,

La première est hyper-facile :
on part de [latex](x-y)^2 >= 0[/latex],
on développe et on trouve [latex]x^2 + y^2 >= 2xy[/latex]


La deuxième est nettement moins trivial :
on part de [latex](x+y+z)^3 = (x+y+z)(x+y+z)^2[/latex],
on développe :
[TeX]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z) (x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)[/TeX]
[TeX]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z) [(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2]/2[/TeX]
on s'intéresse alors au membre de droite, qui est positif ou nul.
Donc [latex]x^3 + y^3 + z^3 >= 3xyz[/latex]

Klim.

Pour le premier :
[TeX]\text{Si }x^2+y^2 \ge 2xy \Leftrightarrow x^2+y^2-2xy \ge 0[/TeX]
On reconnait l'identité remarquable [latex](x-y)^2=x^2+y^2-2xy[/latex].
Par changement de variable, soit [latex]X=(x-y)[/latex] alors [latex]\forall X \in \mathbb{R}, X^2 \ge 0[/latex]
Donc : [latex]\fbox{\forall (x;y) \in \mathbb{R}, \text{ }x^2+y^2 \ge 2xy}[/latex]



Pour le deuxième :

Soit [latex]f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz[/latex] si [latex]f(x,y,z) \ge 0[/latex] alors c'est prouvé!
[TeX]\frac{d}{dx} f(x,y,z) = 3x^2[/latex] or [latex]3x^2=0 \Leftrightarrow x=0[/TeX]
[TeX]\frac{d}{dy} f(x,y,z) = 3y^2[/latex] or [latex]3y^2=0 \Leftrightarrow y=0[/TeX]
[TeX]\frac{d}{dz} f(x,y,z) = 3z^2[/latex] or [latex]3z^2=0 \Leftrightarrow z=0[/TeX]
La fonction [latex]f(x,y,z)[/latex] s'annule si et seulement si [latex]x=y=z=0[/latex] donc [latex]\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, \text{ }f(x,y,z) \ge 0[/latex]

Donc : [latex]\fbox{\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, \text{ }x^3+y^3+z^3 \ge 3xyz}[/latex]

NB : Pour les dérivées partielles j'ai regardé sur wikipédia, donc je ne sais pas si ce que j'écris est correct néanmoins je pense que c'est bon

La deuxième partie j'espère que vous avez fermé les yeux c'est tout faux ou presque!

Bamby2 si j'ai bien compris, tu considères qu'une fonction de 3 variables qui à un minimum en chacune des 3 directions admet un minimum partout.
Je crois que c'est faux, si tu veux j'ai un exemple à 2 variables où toutes les fonctions directionnelles admettent un minimum en 0 mais pas la fonction globale.

Si je t'ai mal compris, dis moi le.

J'ai les deux démonstrations. La première est jolie (je pense que tout le monde l'aura trouvée) et la deuxième, très très moche (je suis persuadé qu'il y a une démonstration arithmétique astucieuse, mais je ne l'ai pas vraiment cherchée ).

1) Pour tous réels [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] :
[TeX](x-y)^2 \ge 0[/TeX]
[TeX]x^2 - 2xy + y^2 \ge 0[/TeX]
[TeX]x^2 + y^2 \ge 2xy[/TeX]
2) Pour tous réels [latex]x[/latex], [latex]y[/latex] et [latex]z[/latex] positifs.
On pose [latex]f(x) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz[/latex], de dérivée [latex]f'(x) = 3x^2 - 3yz[/latex].
L'étude du signe de la dérivée montre que la fonction [latex]f[/latex] admet un minimum, atteint pour [latex]x = \sqrt{yz}[/latex].
[TeX]f(\sqrt{xy}) = y^3 + z^3 - 2yz\sqrt{yz}[/latex].
Pas sûr de pouvoir déduire directement quelque chose de ça (enfin si, ça doit être possible, mais bon ) ... Alors on pose [latex]g(y) = y^3 + z^3 - 2yz\sqrt{yz}[/latex].
[latex]g[/latex] a pour dérivée [latex]g'(y) = 3y^2-z\sqrt{yz}[/latex]. Après étude de la dérivée, [latex]g'(y)[/latex] est positive, d'où [latex]g[/latex] est croissante sur l'intervalle des réels positifs. [latex]g(0) = 0[/latex] d'où notre fonction [latex]g[/latex] est positive pour tout [latex]y[/latex] positif, d'où [latex]f(\sqrt{yz})[/latex] est positif lui aussi. Le minimum de la fonction [latex]f[/latex] est positif, d'où la fonction [latex]f[/latex] est positive pour tout réel [latex]x[/latex] positif.
Ainsi pour tous réels [latex]x[/latex], [latex]y[/latex] et [latex]z[/latex] positifs : [latex]x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \ge 0[/TeX]
Donc : [latex]x^3 + y^3 + z^3 \ge 3xyz[/latex] (tout simplement !)

Alexein41.

Le premier n'est pas bien dur : quels que soient x et y, [latex](x-y)^2 \ge 0[/latex] soit [latex]x^2+y^2-2xy \ge 0[/latex], et hop.

Je ne vois pas d'où partir pour le deuxième.