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 #1 - 03-06-2011 20:25:49

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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Lieu: Lille si j'y suis

Deux inégalités ingéales

Montrer pour vous échauffez que :
x2+y22xy pour deux réels quelconques.

Montrer ensuite que :
x3+y3+z33xyz pour trois réels positifs.

Bon courage.


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 #2 - 03-06-2011 21:52:54

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 3523
Lieu: 94110

seux inégalités inégales

Pour la première inégalité, cela me parait évident :
x2+y22xy0[/latex]soit[latex](xy)20
Pour la deuxième, cela mérite un peu plus de réflexion ... hmm

 #3 - 03-06-2011 22:16:59

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 446

Deux inégalités inégals

x²+y² >= 2xy
<=>
x²-2xy+y² >= 0
<=>
(x-y)² >= 0
<=>
|x-y| >= 0

Je vais prendre une feuille pour l'autre.

 #4 - 03-06-2011 22:30:42

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Deux inégalité sinégales

montronsx3+y3+z33xyz0
x3+y3+z33xyz=(x+y+z)(x2xyxz+y2yz+z2)
x+y+z est trivialement >0.
regardons la 2nde equation.
calculons la derivé de la seconde equation par rapport a z:
dz=2z-x-y
la fonction est decroissante pour z<(x+y)/2 puis croissant, son minimum est donc en z=x+y/2.
or en z=x+y/2 elle vaut:
x2xyxx+y2+y2yx+y2+(x+y2)2=12(x2+y2xy)+(x+y2)20
ceci est aussi vrai pour y et x.
cqfd

 #5 - 04-06-2011 00:00:24

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

Deux inégalités niégales

Pour le 1)
(x-y)^2[/latex] est toujours positif. Pour le 2) On peut supposer sans réduire la généralité que [latex]a\ge b\ge c
On a alors a^2 \ge b^2 \ge c^2 (1) et ab\ge ac\ge bc (2) (car a, b, et c sont positifs)
a^3+b^3+c^3=a^2.a+b^2.b+c^2.c
On applique l'inégalité de réordonnement en utilisant (1):
a^2.a+b^2.b+c^2.c \ge a^2.b+b^2.c+c^2.a
Donc: a^3+b^3+c^3 \ge a(ab)+c(ac)+b(bc)
On applique l'inégalité de réordonnement une deuxième fois en utilisant (2):
Donc: a(ab)+c(ac)+b(bc) \ge c(ab)+b(ac)+a(bc) (minimum atteint pour l'ordre inverse d'ordonnement).
Et donc finalement:
a^3+b^3+c^3 \ge 3abc

 #6 - 04-06-2011 07:48:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3828

Deux inégaalités inégales

1)L'identité remarquable (x-y)² est tjs positive.

2)
On pose y=x+a et z=x+b en supposant x<=y<=z.
3x(x+a)(x+b)=3x^3+3x²(a+b)+3xab

x^3+(x+a)^3+(x+b)^3=3x^3+3x²(a+b)+3x(a²+b²)+a^3+b^3.

reste donc à comparer
3xab <? 3x(a²+b²)+a^3+b^3
Or seul a²+b²>ab car (a-b)² positif donc a²+b²>2ab>ab.


Egalité si x=y=z (car a=b=0).

 #7 - 04-06-2011 11:35:05

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 4053
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

drux inégalités inégales

Bonjour,

La première est hyper-facile :
on part de (x-y)^2 >= 0,
on développe et on trouve x^2 + y^2 >= 2xy


La deuxième est nettement moins trivial :
on part de (x+y+z)^3 = (x+y+z)(x+y+z)^2,
on développe :
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z) (x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z) [(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2]/2
on s'intéresse alors au membre de droite, qui est positif ou nul.
Donc x^3 + y^3 + z^3 >= 3xyz

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #8 - 04-06-2011 12:06:14

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Deeux inégalités inégales

Félicitations à Klimrod pour ses talents algébriques!
Et bravo aux autres.


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 #9 - 04-06-2011 12:45:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3334

Deux inégalités innégales

Pour le premier :
\text{Si }x^2+y^2 \ge 2xy \Leftrightarrow x^2+y^2-2xy \ge 0
On reconnait l'identité remarquable (x-y)^2=x^2+y^2-2xy.
Par changement de variable, soit X=(x-y) alors \forall X \in \mathbb{R}, X^2 \ge 0
Donc : \fbox{\forall (x;y) \in \mathbb{R}, \text{ }x^2+y^2 \ge 2xy}



Pour le deuxième :

Soit f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz si f(x,y,z) \ge 0 alors c'est prouvé!
\frac{d}{dx} f(x,y,z) = 3x^2[/latex] or [latex]3x^2=0 \Leftrightarrow x=0
\frac{d}{dy} f(x,y,z) = 3y^2[/latex] or [latex]3y^2=0 \Leftrightarrow y=0
\frac{d}{dz} f(x,y,z) = 3z^2[/latex] or [latex]3z^2=0 \Leftrightarrow z=0
La fonction f(x,y,z) s'annule si et seulement si x=y=z=0 donc \forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, \text{ }f(x,y,z) \ge 0

Donc : \fbox{\forall (x,y,z) \in \mathbb{R}^3, \text{ }x^3+y^3+z^3 \ge 3xyz}

NB : Pour les dérivées partielles j'ai regardé sur wikipédia, donc je ne sais pas si ce que j'écris est correct néanmoins je pense que c'est bon big_smile

La deuxième partie j'espère que vous avez fermé les yeux lol c'est tout faux ou presque!


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 04-06-2011 13:05:19

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 495
Lieu: Ardèche

deux onégalités inégales

1. x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\,\ge 0 pour x, y réels quelconques

2. x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = [x + y + z] [x^2 + y^2 + z^2 - xy -yz - zx]

=\frac {(x+y+z)[(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2]} 2\,\ge 0 pour x, y, z réels positifs

 #11 - 04-06-2011 15:23:28

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Deux inégaltés inégales

Bamby2 si j'ai bien compris, tu considères qu'une fonction de 3 variables qui à un minimum en chacune des 3 directions admet un minimum partout.
Je crois que c'est faux, si tu veux j'ai un exemple à 2 variables où toutes les fonctions directionnelles admettent un minimum en 0 mais pas la fonction globale.

Si je t'ai mal compris, dis moi le.wink


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 #12 - 04-06-2011 15:39:38

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 6,066E+3

Deux inégalités inégaless

x^2 + y^2 -2xy à son minimum quand x=y (ce qui va bien avec la symétrie de la fonction) soit 0 donc x^2+y^2 >= 2xy

Bon, pour faire moins court, x^2 - 2xy - y^2 , c'est aussi (x-y)^2 racines 0 et -0

x^3 + y^3 + z^3- 3xyz... je réfléchis un peu, une minute Cette fonction n'as pas de valeur constante, donc s'il doit y avoir un minimum, il est pour x=y=

 #13 - 04-06-2011 16:47:46

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

Deuxx inégalités inégales

J'ai les deux démonstrations. La première est jolie (je pense que tout le monde l'aura trouvée) et la deuxième, très très moche (je suis persuadé qu'il y a une démonstration arithmétique astucieuse, mais je ne l'ai pas vraiment cherchée tongue).

1) Pour tous réels x et y :
(x-y)^2 \ge 0
x^2 - 2xy + y^2 \ge 0
x^2 + y^2 \ge 2xy
2) Pour tous réels x, y et z positifs.
On pose f(x) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz, de dérivée f'(x) = 3x^2 - 3yz.
L'étude du signe de la dérivée montre que la fonction f admet un minimum, atteint pour x = \sqrt{yz}.
[TeX]f(\sqrt{xy}) = y^3 + z^3 - 2yz\sqrt{yz}[/latex].
Pas sûr de pouvoir déduire directement quelque chose de ça (enfin si, ça doit être possible, mais bon big_smile) ... Alors on pose g(y) = y^3 + z^3 - 2yz\sqrt{yz}.
g a pour dérivée g'(y) = 3y^2-z\sqrt{yz}. Après étude de la dérivée, g'(y) est positive, d'où g est croissante sur l'intervalle des réels positifs. g(0) = 0 d'où notre fonction g est positive pour tout y positif, d'où f(\sqrt{yz}) est positif lui aussi. Le minimum de la fonction f est positif, d'où la fonction f est positive pour tout réel x positif.
Ainsi pour tous réels x, y et z positifs : x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \ge 0[/TeX] Donc : [latex]x^3 + y^3 + z^3 \ge 3xyz (tout simplement !)

Alexein41. smile

 #14 - 05-06-2011 09:47:08

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

deux inégaliyés inégales

Factorisons d'abord le polynôme.

Par symétrie, posons A=x+y+z
A^3+A^3+A^3=3 A^3x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz = 1/2((x^2+y^2-2xy)+(x^2+z^2-2xz)+(y^2+z^2-2yz))= 1/2((x-y)^2+(z-x)^2+(y-z)^2)
Donc pour trois réels positifs, il vient:
x+y+z >=0 1/2((x-y)^2+(z-x)^2+(y-z)^2) >=0
Et hop!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #15 - 06-06-2011 17:00:54

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Deux inégalités inégaes

Le premier n'est pas bien dur : quels que soient x et y, (x-y)^2 \ge 0 soit x^2+y^2-2xy \ge 0, et hop.

Je ne vois pas d'où partir pour le deuxième.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 06-06-2011 21:00:11

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Deux inégalités inégals

Je tiens à dire que cette inégalité est un cas particulier de l'inégalité de la moyenne.
Cette dernière permet, entre autre, de généraliser à n ce que nous avons fait pour 2 et 3.
Mais pour ces cas particulier c'est la démarche totalement algébrique ou le réordonnement  qui me semblent être les plus élégants.
Merci pour votre participation.
smile


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