Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 22-01-2014 22:14:10

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Bases et entiers (à faire de têête)

Combien d'entiers s'écrivent de la même façon en base p et en base q, avec p différent de q ?

Spoiler : Note d'intention J'ai retrouvé par hasard cette petite énigmette, que je m'étais notée dans un coin. Elle est à résoudre de tête, et je pense que la bonne réponse ne vient pas spontanément, du premier coup. Perso, je crois l'avoir trouvée après 2 erreurs successives dans mes comptes.



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 #2 - 22-01-2014 22:35:20

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,802E+3

bases et rntiers (à faire de tête)

P si p<q ou q sinon ?

EDIT : p+1 ou q+1 en réfléchissant 30 sec de plus.

Re EDIT p ou q en réfléchissant 10mn de plus... lol

 #3 - 22-01-2014 22:48:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,157E+3

Bases et entiers (à aire de tête)

J'en ai trouvé une infinité  mais je n'ai pas recompté deux fois ( je n'ai pas le courage de Chuck Norris ) lollollollol

Vasimolo

 #4 - 22-01-2014 22:49:14

elpafio
Expert de Prise2Tete
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Messages : 868

bades et entiers (à faire de tête)

Bonjour MthS-MlndN smile

D'après une première intuition, je dirais:
[TeX]\min(p,q)[/TeX]
Mais je peux me fourvoyer allègrement car les maths ne me réussissent pas trop en soirée...


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #5 - 23-01-2014 00:05:28

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 665

Base et entiers (à faire de tête)

1 / 0 / -1 ?

 #6 - 23-01-2014 00:53:50

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

bases et enyiers (à faire de tête)

Je dirais min(q,p) hmm

 #7 - 23-01-2014 08:53:29

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 494
Lieu: Ardèche

Bases et entiers (à faire ed tête)

Nombre="ab", a=chaîne, b=chiffre <p et <q.
On peut écrire : ap+b=aq+b
a(p-q)=0 avec p et q distincts, donc a=0
il reste b<min(p, q)
Il y a min(p, q) nombres qui répondent à la question.

 #8 - 23-01-2014 10:24:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

bases et enriers (à faire de tête)

Je dirais min(p;q)-1 nombres entiers.
Edit: Je suis un âne car j'ai oublié zéro donc
c'est min(p;q) nombres entiers (sans -1).

 #9 - 23-01-2014 18:35:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Bases te entiers (à faire de tête)

Tous les entiers compris entre 0 et la plus petite des bases -1, donc pour le nombre d'entiers c'est le min de p ou q, si on compte le zéro.

 #10 - 23-01-2014 18:49:53

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1773

bases et entuers (à faire de tête)

Bonjour

Min(p,q) entiers ?

neutral


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #11 - 23-01-2014 20:41:07

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Bases et entiers (à faier de tête)

Si c'était pour chaque couple (p;q), ce serait dur.
Alors je pose la question : quels nombres s'écrivent de la même façon dans toutes les bases ?
Je réponse 0 et 1.

Voilà

P.S : La réponse que j'ai faite étant trop facile, je suppose que j'ai mal compris l'énoncé ...

 #12 - 23-01-2014 23:14:59

cogito
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Bases et entierss (à faire de tête)

Bonsoir smile

je dirais que si p < q alors il y a p nombre qui s'écrivent de la même façon en base p et en base q, et ce sont les chiffres de 0 à p-1.

En effet, supposons que n soit un nombre qui ait la même écriture dans les deux bases, alors il s'écrit avec les mêmes chiffres dans les deux bases.

Soit [latex]a_ka_{k-1}\ldots a_1a_0[/latex] l'écriture de n dans ces deux bases, (donc les [latex]a_i[/latex] sont les chiffres de n).

Posons le polynôme suivant : 
[TeX]c(X) =  a_kX^k+a_{k-1}X^{k-1}+\cdots+a_1X+a_0[/latex].

Dire que n à la même écriture dans les deux bases cela signifie que :

[latex]c(p) = c(q)[/TeX]
Le polynôme [latex]c[/latex] est à coefficients strictement positifs, cela signifie
que si [latex]c[/latex] est un polynôme non-constant, alors la fonction polynomiale [latex]c(x)[/latex] est strictement croissante, et donc [latex]c(p)[/latex] serait différent de [latex]c(q)[/latex]. Donc [latex]c[/latex] est un polynôme constant.

Le fait que [latex]c[/latex] soit un polynôme constant signifie que les seuls nombres qui s'écrivent de la même manière en base p et q sont des nombres à un seul chiffre. Et si p < q alors les seuls nombres a un seul chiffre que les deux bases ont en commun sont les chiffres de 0 à p-1. Qed.


Il y a sûrement plus simple.

 #13 - 25-01-2014 10:42:20

fix33
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Bases et entiers (à faire de têe)

Pour tout entier naturel n strictement inférieur à p et q, c'est le cas.
Sans démonstration, il me paraît clair que :
an^p + bn^(p-1) + ... + yn + z = an^q + bn^(q-1) + ... + yq + z
n'a pas d'autre solutions (a, b, ..., y, z entiers naturels strictement inférieurs à p et q).


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #14 - 25-01-2014 12:08:40

masab
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Bases et entiers (à faire de ête)

Parmi les entiers naturels, [latex]\min(p,q)[/latex] entiers s'écrivent de la même façon.
Si [latex]p<q[/latex], ce sont [latex]0,1,2,...,p-1[/latex].

 #15 - 26-01-2014 12:41:41

Vasimolo
Le pâtissier
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basrs et entiers (à faire de tête)

MthS-MlndN a écrit:

Combien d'entiers s'écrivent de la même façon en base p et en base q, avec p différent de q ?

On prend un entier quelconque , l'écriture de ce nombre dans toute base supérieure à cet entier sera identique donc tout entier s'écrit de la même façon en base p et q avec p différent de q smile

Qui a dit que p et q étaient fixés d'emblée lol

Soit O un cercle de centre C ...

Serions nous tous programmés à l'insu de notre plein gré ?

Vasimolo

 #16 - 27-01-2014 19:44:58

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Bases et eniers (à faire de tête)

Me voici qui revient nécroposter, mais bon, je souffre d'un important décalage horaire et d'une connexion à Internet quelque peu défaillante hmm

Ma réponse a fini par être [latex]2 min(p,q) - 1[/latex], réponse que personne ne semble m'avoir proposée... Quand on dit "entier" sans rien préciser, on parle d'un entier relatif, non ? Donc on aurait les entiers de [latex]-min(p,q)[/latex] à [latex]min(p,q)[/latex].

Merci pour votre participation smile


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 #17 - 27-01-2014 19:51:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3490

Bases et etiers (à faire de tête)

Arrrhhhffff....!!!!

 #18 - 27-01-2014 21:58:58

Vasimolo
Le pâtissier
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Bases et entires (à faire de tête)

Une nouvelle solution lollollollol

Quand le cadre du problème n'est pas clairement défini , on l'interprète comme on veut .

Je persiste à croire que ma solution est la seule qui colle vraiment avec le problème sinon , il faut me prouver le contraire smile

Vasimolo

 #19 - 27-01-2014 22:40:53

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1949
Lieu: Paris

Bases et entiers (à faie de tête)

C'est bluffant !!!
J'ai donné un exercice à plusieurs de mes amis en changeant "Soit C, un cercle de centre O ..." par "Soit O, un cercle de centre C ...".
La question 1 : Faire la figure.
Les 6 personnes ont dit "facile, ça !" et puis ils ont dessiné un cercle C de centre O et se sont trouvés coincés après. lol

Ça fait réfléchir ...

 #20 - 27-01-2014 23:08:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Bases ett entiers (à faire de tête)

Les amis de SabanSuresh sont, eux aussi, formatés dans le dos de leur insu lol

 #21 - 27-01-2014 23:21:22

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Bases et entiers (à faire de ttêe)

Soit [latex]\lambda[/latex] un [latex]\Gamma -ev[/latex] de dimension [latex]a[/latex] et [latex](b,c) \in \Gamma[/latex]. Soit [latex]p \in \mathfrak{L}[/latex][latex](\Gamma)[/latex] et [latex]u[/latex] un projecteur...

Allé je vous laisse lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 27-01-2014 23:23:00

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Bases et entiers ( àfaire de tête)

[prendre l'accent québecois] Comme l'impression de m'être fait baser lol


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #23 - 28-01-2014 17:42:37

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 765

Bases et entiers (à faire d etête)

Souvent dans les énigmes entier est mis pour entier naturel.
Mais comme en math, entier est mis pour entier relatif, j'avais bien précisé dans ma réponse :
Parmi les entiers naturels,...

 

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