Je pense que oui
J'essaierai de formaliser si je trouve le temps. Je pense qu'on peut établir que la série est majorée et comme les termes sont positifs, elle devrait converger.

Une question avant d'y réfléchir: les zéros peuvent ils être placés n'importe où dans le nombre ? L'absence de zéro est elle admise ?

Notons S la série des inverses des entiers presque parfaits.

Posons [latex]C_n[/latex] le nombre d'entiers presque parfaits de n chiffres. Ils sont tous minorés par [latex]10^n[/latex] donc :
[TeX]S < \sum_{n=9}^\infty \frac{C_n}{10^n} [/TeX]
Or [latex]C_n = 9!\binom{n-1}{8} = 9(n-1)(n-2)...(n-7)(n-8) < 9n^8[/latex]

donc [latex]S < \sum_{n=9}^\infty \frac{9n^8}{10^n} [/latex]

Cette dernière série converge donc S converge.
Grâce à WolframAlpha, en minorant et en majorant les entiers presque parfait de n chiffres, j'encadre S entre 7,1e-5 et 7,2e-4

J'ai quelques minutes pour rédiger ma démo, je vais essayer de faire clair

Je pense que oui.
Une façon intuitive de comprendre d'où vient ma conjecture est la suivante:
La convergence (ou pas) des séries d'inverses d'entiers dépend de la "quantité d'entiers" que l'on prend dans la somme. Si on les prend tous, la série ne converge pas. Si on ne prend que les carrés ou les cubes, ... cela converge car il y en a beaucoup moins.
Il y a par contre encore trop de nombres premiers et la série des inverses des nombres premiers diverge (Théorème de raréfaction d'Euler).
En restreignant aux nombres premiers jumeaux la série est par contre convergente car il y en a beaucoup moins.
Bon, c'est vraiment la façon intuitive de le dire.

Dans notre cas, on considère des "tranches" de nombres et il me semble qu'ils sont assez peu nombreux pour permettre la convergence. Il ne reste qu'à le montrer.

Considérons un nombre presque parfait P et le nombre presque parfait Q formé des mêmes chiffres avec un zéro supplémentaire intercalé n'importe où.
On a Q >= 5P (pas très difficile à voir).
Je considère donc l'ensemble [latex]E_0[/latex]des nombres presque parfaits ne contenant aucun 0 dans leur écriture et je note la somme de leur inverse [latex]S_0[/latex].

Ensuite je considère l'ensemble [latex]E_1[/latex]des nombres presque parfaits contenant exactement 1 zéro dans leur écriture et je note la somme de leur inverse [latex]S_1[/latex]

Pour chaque nombre de [latex]E_0[/latex], il y a exactement 8 nombres de [latex]E_1[/latex]qui sont tous au moins 5 fois plus grands. Donc [latex]S_1\ge40S_0[/latex]

De même pour chaque nombre de [latex]E_1[/latex], il y a exactement 9 nombres de [latex]E_2[/latex] qui sont tous au moins 5 fois plus grands. Donc [latex]S_2\ge45S_1\ge40S_1\ge40^2S_0[/latex]

Posons [latex]T_n=\sum_{k=0}^nS_k[/latex].
La somme dont on cherche à prouver l'existence est la limite de [latex](T_n)[/latex] si elle existe.
[TeX]T_n\le S_0\sum_{k=0}^n\dfrac1{40^k} \le S_0.\dfrac{40}{39}[/TeX]
Et finalement les sommes partielles des inverses des nombres presque parfaits sont majorées par cette valeur.
La série est donc majorée et à termes positifs. Elle est donc convergente.

CQFD.
Merci pour ce résultat amusant.

Merci pour votre participation.