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 #1 - 08-08-2011 12:31:53

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Entiers ppresque parfaits

En m'inspirant de Nodgim, je définis un entier presque parfait comme un entier dont l'écriture en base décimal utilise une et une seule fois les chiffres de 1 à 9 et autant de 0 que l'on souhaite.

Je ne m'aventurerais pas dans les propriétés arithmétiques de ces nombres.wink
La question est : la série des inverses des entiers presque parfaits converge-t-elle?

Bon travail. smile



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#0 Pub

 #2 - 08-08-2011 12:51:41

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Entiers resque parfaits

Je pense que oui smile
J'essaierai de formaliser si je trouve le temps. Je pense qu'on peut établir que la série est majorée et comme les termes sont positifs, elle devrait converger.

 #3 - 08-08-2011 13:08:20

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

ntiers presque parfaits

Je pars du plus grand nombre de la série de départ : 98765443210=N

Il y a 10 manières d'y rajouter un 0
Il y a 100 manières d'y rajouter deux 0
Il y a 1000 manières d'y rajouter trois 0
....

En rangeant les termes dans l'ordre croissant,
98765432100 sera le dixième après N
987654321000 sera le 100ème et donc 90ème après 98765432100...

Chacun des termes précédent étant plus petit, leur somme sera inférieure à 90*100N. La somme des inverses sera supérieure à 0.9*1/N

De même à chaque rang.

La somme des inverses est donc supérieure à la somme des 0,9/N qui diverge

Je pense sans pouvoir le prouver que cette suite est équivalente à la suite harmonique.

Gwen.

 #4 - 08-08-2011 17:20:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2954

Entierrs presque parfaits

Une question avant d'y réfléchir: les zéros peuvent ils être placés n'importe où dans le nombre ? L'absence de zéro est elle admise ?

 #5 - 08-08-2011 19:06:09

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Entiers resque parfaits

Oui les zéros peuvent être placé n'importe où et l'absence totale est autorisée (cela ne change rien à la convergence).


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 #6 - 08-08-2011 22:34:09

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

entiers presque pardaits

Notons S la série des inverses des entiers presque parfaits.

Posons [latex]C_n[/latex] le nombre d'entiers presque parfaits de n chiffres. Ils sont tous minorés par [latex]10^n[/latex] donc :
[TeX]S < \sum_{n=9}^\infty \frac{C_n}{10^n} [/TeX]
Or [latex]C_n = 9!\binom{n-1}{8} = 9(n-1)(n-2)...(n-7)(n-8) < 9n^8[/latex]

donc [latex]S < \sum_{n=9}^\infty \frac{9n^8}{10^n} [/latex]

Cette dernière série converge donc S converge.
Grâce à WolframAlpha, en minorant et en majorant les entiers presque parfait de n chiffres, j'encadre S entre 7,1e-5 et 7,2e-4 cool

 #7 - 09-08-2011 10:49:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2954

Entiers resque parfaits

Pour moi ça converge;
les inverses sont tous <10^-8. Il y en a 9!
A un de ces nombres donnés ajoutons 1 seul zéro: 9 nombres de valeurs<10^-9
ajoutons 2 zéros: 9*10/2=45 nombres de valeur < 10^-10
ajoutons 3 zéros:  9*10*11/3! nombres de valeur <10^-11
ajoutons n zéros:  C(9+n, n) nombres de valeur <10^(-8-n)

Sommons tout ça:
9!*10^-8*(1+(9/10)+(9*10/200)+...C(9+n,n)/10^(-9-n)+.....)<
9!*10^-8*(1+(9/10)+(9/10)²+....)=9!*10^-8*10=9!*10^-7<0.04.

 #8 - 09-08-2011 15:56:10

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

entiers predque parfaits

J'ai quelques minutes pour rédiger ma démo, je vais essayer de faire clair smile

Je pense que oui.
Une façon intuitive de comprendre d'où vient ma conjecture est la suivante:
La convergence (ou pas) des séries d'inverses d'entiers dépend de la "quantité d'entiers" que l'on prend dans la somme. Si on les prend tous, la série ne converge pas. Si on ne prend que les carrés ou les cubes, ... cela converge car il y en a beaucoup moins.
Il y a par contre encore trop de nombres premiers et la série des inverses des nombres premiers diverge (Théorème de raréfaction d'Euler).
En restreignant aux nombres premiers jumeaux la série est par contre convergente car il y en a beaucoup moins.
Bon, c'est vraiment la façon intuitive de le dire.

Dans notre cas, on considère des "tranches" de nombres et il me semble qu'ils sont assez peu nombreux pour permettre la convergence. Il ne reste qu'à le montrer.

Considérons un nombre presque parfait P et le nombre presque parfait Q formé des mêmes chiffres avec un zéro supplémentaire intercalé n'importe où.
On a Q >= 5P (pas très difficile à voir).
Je considère donc l'ensemble [latex]E_0[/latex]des nombres presque parfaits ne contenant aucun 0 dans leur écriture et je note la somme de leur inverse [latex]S_0[/latex].

Ensuite je considère l'ensemble [latex]E_1[/latex]des nombres presque parfaits contenant exactement 1 zéro dans leur écriture et je note la somme de leur inverse [latex]S_1[/latex]

Pour chaque nombre de [latex]E_0[/latex], il y a exactement 8 nombres de [latex]E_1[/latex]qui sont tous au moins 5 fois plus grands. Donc [latex]S_1\ge40S_0[/latex]

De même pour chaque nombre de [latex]E_1[/latex], il y a exactement 9 nombres de [latex]E_2[/latex] qui sont tous au moins 5 fois plus grands. Donc [latex]S_2\ge45S_1\ge40S_1\ge40^2S_0[/latex]

Posons [latex]T_n=\sum_{k=0}^nS_k[/latex].
La somme dont on cherche à prouver l'existence est la limite de [latex](T_n)[/latex] si elle existe.
[TeX]T_n\le S_0\sum_{k=0}^n\dfrac1{40^k} \le S_0.\dfrac{40}{39}[/TeX]
Et finalement les sommes partielles des inverses des nombres presque parfaits sont majorées par cette valeur.
La série est donc majorée et à termes positifs. Elle est donc convergente.

CQFD.
Merci pour ce résultat amusant.

 #9 - 10-08-2011 14:30:22

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

Entierss presque parfaits

Préambule
- Soit [latex]A_p [/latex] l'ensemble des nombres presque parfaits comportant exactement p chiffres (p>8)
On trouve [latex]Card (A_p) = 9! \times \binom{p-1}{8} = 9 \frac{(p-1)!}{(p-9)!}[/latex]

Encadrement de la série

Soit [latex]p' \in A_p [/latex]

alors,   [latex]1 \times 10^{p'-1}<p'<9\times 10^{p'-1}[/latex]

donc,   [latex]\frac {1}{10^{p'-1}}>\frac {1}{p'}>\frac {1}{9 \times10^{p'-1}}{[/latex]

Ainsi, en multipliant chaque terme par [latex]Card (A_n)[/latex], on obtient
[TeX]\frac {(p'-1)!}{10^{p'-1}(p'-9)!}> \sum_{p'\in A_p}\frac {1}{p'} >\frac {9(p'-1)!}{10^{p'-1}(p'-9)!} [/TeX]
donc,   [latex]\sum_{p'=9}^n \frac {(p'-1)!}{10^{p'-1}(p'-9)!} > \text{serie de l'enigme} >\sum_{p'=9}^n \frac {9(p'-1)!}{10^{p'-1}(p'-9)!}[/latex]

Les séries encadrantes étant convergentes à termes positifs, et la série de l'enigme étant elle aussi à termes positifs, on en conclue que cette dernière converge.

Ainsi, la série des inverse des nombres presques parfaits converge.

 #10 - 12-08-2011 07:10:17

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Entiers prresque parfaits

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