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 #1 - 20-07-2009 20:49:15

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Spiralee de nombres entiers - généralisation

En vous inspirant du problème précédent représentant la suite des nombres entiers en spirale. Répondez à un ou deux de ces problèmes :

- Déterminez une méthode pour connaitre quel nombre se trouve à la position (x,y).
- Trouvez une méthode qui permet de donner les coordonnées (x,y) d'un nombre donné.

Rappel : la spirale des 16 premiers nombres

Code:

10  9  8  7
11  2  1  6
12  3  4  5
13 14 15 16

Les coordonnées (x,y) cartésiennes sont par exemple : (0,0), puis 2 (-1,0), 3 (-1,-1), 4 (0,-1), 5 (1,-1) etc.

--

Après le succès de papiauche au MMM#35, de MthS-MldN au MMM#36, qui va leur succéder dans ce nouvel exercice mathématique de WildAboutMaths avec 3 prix de $10 à la clé.

Modalité du concours : http://wildaboutmath.com/2009/07/20/mmm … piral-fun/

PS : papiauche et MthS-MldN vous pouvez participer.



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 #2 - 21-07-2009 15:49:55

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Spirale de nombres enntiers - généralisation

Tout d'abord, on a vu dans l'énigme précédente que le lieu des carrés d'entier pair était la demi diagonale [latex](2x)^2 \maps (x-1, -x) , x>1[/latex].

De plus on ces carrés d'entier pairs formaient les coins inférieurs de formes carrées de coté l'entier pair et centre sur le centre de la spirale (pas sur 1 mais sur le centre du carré 1-2-3-4).
Les coordonnées des autres coins du carré correspondant a l'entier [latex](2x)^2[/latex] sont [latex](-x, -x), (-x, x-1), (x-1, x-1)[/latex]
Enfin tous les entiers compris entre 2 carrés d'entier pairs se trouvent sur les cotés de ces fameuses formes carrés.

Je vais donc m'en aider pour positionner un entier quelconque [latex]n[/latex].
Je calcule d'abord le plus grand entier pair [latex]p[/latex] dont le carré est inférieur ou égal à [latex]n[/latex].
[TeX](2p)^2\le n \le (2p+2)^2[/latex]. C'est un calcul facile je prends le plancher de la racine carrée de n. Et j'enleve 1 si c'est impair.

Une fois la forme carrée identifiée je vais chercher le coté où se trouve mon entier et a ce moment la il sera trivial de donner ses coordonnées.

Si [latex]n - (2p)^2 < 2p[/latex] alors je suis sur le coté inférieur décalé de  [latex](2p)^2 - n[/latex] a gauche du coin inférieur droit. Les cordonnées de de n sont donc : [latex](p-1 - (n - (2p)^2) , -p)[/TeX]
Sinon si [latex]2p \le n - (2p)^2 < 4p[/latex] alors je suis donc décalé en haut du coin inférieur gauche[latex] (-p, -p)[/latex].
Les coordonnées sont donc : [latex](-p, -p + (n - (2p)^2 - 2p))[/latex]

Sinon si [latex]4p \le n - (2p)^2 < 6p[/latex] je suis sur le coté supérieur.
Je me positionne donc a droite du coin supérieur gauche [latex](-p, p-1)[/latex]
Les coordonnées sont : [latex](-p + (n - (2p)^2 - 4p), p-1)[/latex]

Sinon [latex]6p \le n - (2p)^2 < 8p[/latex] je suis sur le coté droit.
Je me positionne donc sous le coin supérieur droit [latex](p-1, p-1)[/latex]
Les coordonnées sont : [latex](p-1, p-1 - (n - (2p)^2 - 6p) )[/latex]

 #3 - 26-07-2009 16:09:48

naturel
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 13

Spiralle de nombres entiers - généralisation

Trouver (x,y) à partir d'un nombre N donné.

A) Trouver le plus grand carré (n*n) strictement inférieur à N.
B) Calculer m = n(n+1) + 1

2 cas possibles :

1) n*n est PAIR

Si N est inférieur ou égal à m, alors (x,y) = (n/2  ,  N - 0,5(2*n*n + n + 2))
Si N est supérieur à m, alors (x,y) = (0,5(2*n*n + 3*n + 2) - N  ,  n/2)

2) n*n est IMPAIR

Si N est inférieur ou égal à m, alors (x,y) = ((-n - 1)/2 , 0,5(2*n*n + n + 1) - N)
Si N est supérieur à m, alors (x,y) = (N - 0,5(2*n*n + 3*n +3)  ,  (-n - 1)/2)


Trouver N à partir de ses coordonnées (x,y)

Si |x| est inférieure ou égale à |y| alors N = 4*y*y + 2*y + 1 + |x - y|
Si |x| est supérieure à |y| alors N = 4*x*x + 2*x + 1 - |x - y|

 #4 - 01-08-2009 22:27:25

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Spirale de nombres entierss - généralisation

J'ai déjà proposé ma réponse pour un des deux algorithmes, celui qui donne (x,y) à partir de N ; dans le principe, je décomposais N en [(2k)^2 + 4 x j + i] et exprimais directement les coordonnées du point en fonction de i et k, en séparant le cas j=0, le cas j=1, le cas j=2 et le cas j=3. Je n'ai plus l'algo exact sous la main, mais je faisais intervenir des arrondis à l'entier inférieur, si je retrouve ma solution (qu'en toute modestie je trouvais très élégante) je la posterai par ici.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 03-08-2009 18:31:26

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Spirale de nombres entiers - généralisaton

Les résultats du concours se font un peu attendre, mais sachez qu'il n'y a eu que 8 solutions proposées, si vous en faites partie, ça augmente vos chances smile

 #6 - 09-08-2009 21:39:15

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Spirale de nombres entiiers - généralisation

les p2tiens ont faiblis wink


http://enigmusique.blogspot.com/
 

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