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 #1 - 05-05-2008 02:44:19

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1550

Un suite étrange...

Mais qu'est-ce donc que cette drole de suite?
[TeX]U_0 = 112\\
U_{n+1}=(U_n % 10^{E(\frac{E(\frac{ln(U_n)}{ln(10)})}{3})+1+E(\frac{E(\frac{ln(U_n)}{ln(10)}+2)}{3})})\\
*10^{E(\frac{ln((E(\frac{U_n}{10^{E(\frac{E(\frac{ln(U_n)}{ln(10)})}{3}+1)}}) % 10^{E(\frac{E(\frac{ln(U_n)}{ln(10)}+2)}{3})})+(U_n % 10^{E(\frac{E(\frac{ln(U_n)}{ln(10)})}{3}+1)}))}{ln(10)}+1)}\\
+(E(\frac{U_n}{10^{E(\frac{E(\frac{ln(U_n)}{ln(10)})}{3}+1)}}) % 10^{E(\frac{E(\frac{ln(U_n)}{ln(10)}+2)}{3})})+(U_n % 10^{E(\frac{E(\frac{ln(U_n)}{ln(10)})}{3}+1)})
[/TeX]
Après avoir trouvé au feeling ce que représente cette suite, pourquoi ne pas essayer de le démontrer ?

Spoiler : Indice Le mieux est toujours de commencer à écrire quelques termes... et dans ce cas un tableur est plutot nécessaire ...
Spoiler : Indice sur l'indice
Comme je suis sympa, si vous utilisez un tableur en français, la formule qui écrit Un+1 si Un est dans la case A1 est:
=MOD(A1;PUISSANCE(10;ENT((ENT(LN(A1)/LN(10)))/3)+1+ENT((ENT(LN(A1)/LN(10))+2)/3)))*PUISSANCE(10;ENT(LN(MOD(ENT(A1/PUISSANCE(10;ENT((ENT(LN(A1)/LN(10)))/3+1))); PUISSANCE(10;ENT((ENT(LN(A1)/LN(10))+2)/3)))+MOD(A1;PUISSANCE(10;ENT((ENT(LN(A1)/LN(10)))/3+1))))/LN(10)+1))+MOD(ENT(A1/PUISSANCE(10;ENT((ENT(LN(A1)/LN(10)))/3+1))); PUISSANCE(10;ENT((ENT(LN(A1)/LN(10))+2)/3)))+MOD(A1;PUISSANCE(10;ENT((ENT(LN(A1)/LN(10)))/3+1)))

Pour un tableur en anglais:
=MOD(A1;POWER(10;INT((INT(LN(A1)/LN(10)))/3)+1+INT((INT(LN(A1)/LN(10))+2)/3)))*POWER(10;INT(LN(MOD(INT(A1/POWER(10;INT((INT(LN(A1)/LN(10)))/3+1))); POWER(10;INT((INT(LN(A1)/LN(10))+2)/3)))+MOD(A1;POWER(10;INT((INT(LN(A1)/LN(10)))/3+1))))/LN(10)+1))+MOD(INT(A1/POWER(10;INT((INT(LN(A1)/LN(10)))/3+1))); POWER(10;INT((INT(LN(A1)/LN(10))+2)/3)))+MOD(A1;POWER(10;INT((INT(LN(A1)/LN(10)))/3+1)))

Bonne chance !



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 #2 - 05-05-2008 11:47:08

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

une duite étrange...

Gros malin wink

Spoiler : [Afficher le message] Je me disais bien que je connaissais sa belle soeur.
Cette suite génère les triplets successifs de la suite de Fibonacci (Fibo pour les intimes)


Spoiler : [Afficher le message] Soient [latex]a_{i}[/latex] les membres de la suite de Fibonacci.
[TeX]U_{n}=a_{n} a_{n+1} a_{n+2}[/TeX]
C'est impropre, car il manque les puissances de 10 de [latex]a_{n}[/latex]
et [latex]a_{n+1}[/latex]. Mais cela permet de se figurer le résultat.

Pour passer à [latex]U_{n+1}[/latex], on doit aboutir à [latex]a_{n+1} a_{n+2} (a_{n+1}+a_{n+2})[/latex]
En ayant encore neutralisé la question des puissances de 10.

Quelques questions relatives à [latex]a_{n+1}[/latex] et [latex]a_{n+2}[/latex] se posent: ont-ils le même nombre de chiffres et combien de chiffres a leur somme.

Les cas de figures sont p,p,p; p,p,p+1; p,p+1,p+1. 

p,p+1,p+2 peut être éliminé car le premier chiffre du nombre à p+1 chiffres est nécessairement 1 si à l'étape précédente on était de la forme q,q,q.
[TeX]U_{n}[/latex] est donc une puissance de 10 exposant 3p, (3p+1) ou (3p+2).

Et là scarta dégaine son log en base 10 modulo 3.


Cas n°1

[latex]1+E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})= p [/TeX]
[TeX]E(\frac{E(log_{10}(U_{n})+2}{3}) = p [/TeX]
[TeX]E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})+1) = p [/TeX]
Cas n°2
[TeX]1+E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})= p+1 [/TeX]
[TeX]E(\frac{E(log_{10}(U_{n})+2}{3}) = p [/TeX]
[TeX]E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})+1) = p [/TeX]
Cas n°3
[TeX]1+E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})= p+1 [/TeX]
[TeX]E(\frac{E(log_{10}(U_{n})+2}{3}) = p+1[/TeX]
[TeX]E(E(\frac{log_{10}(U_{n})}{3})+1) = p [/TeX]
Les trois formules permettent donc d'isoler le nombre exact de chiffres de [latex]a_{n+2}, a_{n+1}, et a_{n} [/latex]

A partir de là, il n'y a plus, si j'ose dire qu'à dérouler:

Le premier membre de la somme extrait de [latex]U_n[/latex] les chiffres consécutifs [latex]a_{n+1}a_{n+2}[/latex] et les multiplie par la puissance égale à la somme des nombres de ces deux chiffres, ce qui donne le début du triplet suivant, suivi du nombre de zéros égal à la somme de ces deux nombres.

Le deuxième membre de la somme divise par une puissance de 10 égale au nombre de chiffres de [latex]a_{n+2} [/latex]  et récupère [latex]a_{n+1} [/latex] par modulo sur le nombre de chiffres de ce dernier.

Le dernier membre de la somme récupère [latex]a_{n+2} [/latex] par modulo sur le nombre de chiffres de ce dernier.

Pour [latex]U_{0}[/latex] c'est OK, ce qui permet d'amorcer la démonstration par récurrence.


Un peu impressionnant au début, mais passionnant ensuite!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #3 - 05-05-2008 17:46:18

Bert3
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 206

Une suite étrannge...

Moi comme ça au feeling et sans tableur, je dirais que les Un mis les uns à côté des autres donnent la suite de Fibonacci... Mais bon, ce n'est que du feeling d'après le U0 big_smile

 

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