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 #1 - 08-03-2014 18:12:01

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Cohix aléatoire

Bonjour, voici un bout de conversation que j'ai surprise entre deux protagonistes :

-Comment tu fais pour trouver ce nombre ?
-C'est simple cogitu, tu fais plouf plouf pour tirer le premier chiffre aux hasard, et tu fais ça avec chaque chiffre, ça te fais une chance sur 10 puissance le nombre de chiffre de le trouver !
-Dans ce cas il vaut mieux faire ça en base 2, comme ça on a une chance sur 2 pour chaque chiffre au lieu de 1 chance sur 10 !

A votre avis, cogitu a-t-il raison de penser cela ?
Et vous, si vous deviez trouver en choisissant chaque chiffre aux hasard, un nombre entier plus petit qu'une borne N connue, quel base choisiriez vous ?

Normalement, elle est très facile celle-là.

Bonne amusement.
cogito.



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Il y a sûrement plus simple.
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 #2 - 08-03-2014 18:17:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Chooix aléatoire

Je prendrais la base N ce qui élimine tout risque de nombre plus grand.

 #3 - 08-03-2014 18:44:35

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Choix alééatoire

Moi, si j'étais cogitu, je choisirais la base N. Comme cela, tous les nombres inférieurs ont un seul chiffre.

 #4 - 08-03-2014 20:27:35

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

Choix aléatorie

En base 2 on a effectivement moins de chiffres qu'en base 10, mais le nombre final s'écrit aussi avec plus de chiffres. A mon avis, la base ne change rien.
Maintenant si on veut un nombre plus petit qu'une borne N, on a intérêt à ce que cette borne soit immédiatement inférieure ou égale à: B^n - 1 (par exemple 99999 en base 10) et je choisirai la base B en conséquence.

 #5 - 09-03-2014 00:18:32

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

choix aléaroire

Je pense que Cogitu ne s'est pas rendu compte qu'en base 2 les nombres comportaient exponentiellement plus de chiffres qu'en base 10 ! big_smile


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #6 - 09-03-2014 07:44:46

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

choix zléatoire

La base (=l'écriture) d'un nombre n'a pas d'influence sur sa probabilité d'apparition.

Donc tirer chiffre par chiffre un nombre compris entre 0 et 15 en base 2, en base 4 ou en base 16 se fait toujours avec une probabilité d'un chance sur 16.
En base 2 : 4 chiffres à 1 chance sur 2
En base 4 : 2 chiffres à 1 chance sur 4
En base 16 : 1 chiffres à 1 chance sur 16.

Cependant, la méthode de tirage proposée par Cogito n'est équiprobable entre 0 et N que si N+1 est une puissance de la base (c'est-à-dire N+1 s'écrit 100...00).
Autrement, tous les tirages ne sont pas possibles et donc la méthode (et donc la base) a une influence

Tirer en base 10 en nombre entre 0 et 24 peut par exemple conduire à des probas différentes suivant la méthode :
+ Si on tire le chiffre des dizaines en premier (entre 0 et 2) puis le chiffre des unités (dans l'intervalle possible), la probabilité d'apparition de 0 à 19 est de 1/30 celle de 20 à 24 est de 1/15
+ Si on tire le chiffre des unités en premier (entre 0 et 9) puis le chiffre des dizaines (entre 0 et 2) en recommençant les dizaines si le nombre est supérieur à 24, alors la probabilité de 0 à 4, 10 à 14 et 20 à 24 est de 1/30  et la probabilité de 5 à 9 ou 15 à 19 est de 1/15.
+ La seule méthode équiprobable est de recommencer intégralement le tirage si on tombe sur un nombre supérieur à N. Mais cette méthode à l'inconvénient de devoir faire en moyenne jusqu'à B tirages pour en avoir un valide en base B.

 #7 - 09-03-2014 09:14:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Choix aléatoiire

Si N est tel que 10^A<=N<=2^B, B étant tel 2^B écrit en base 10 s'écrit avec A+1 chiffres et que 2^(B+1) s'écrit en base 10 avec un chiffre de plus, alors choisir la base 2.
Si, pour ce même B,  2^B<N<10^(A+1) alors choisir la base 10.

La base 2 sera choisie plus souvent.

 #8 - 09-03-2014 09:57:37

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

choix zléatoire

Si c'est le même nombre n dans un intervalle d'entiers [0;N] exprimé en base 10 ou en base x, la probabilité de le retrouver reste en base 10: [latex]\frac{1}{N+1}[/latex]. Il n'y a pas de miracle. Ou alors j'ai mal compris l'énoncé.

 #9 - 09-03-2014 10:57:17

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

choix zléatoire

@gwen27 et SabanSuresh : Bravo !

@Franky1103 et dylasse : c'est plus simple que ça.

@fix33 : ce n'est pas aussi simple que ça.

@nodgim : ma question est plus générale, elle ne porte pas seulement sur le choix entre la base deux ou dix.

@Nombrilist : On effectue les tirages chiffre par chiffre. En gros l'idée c'est que par exemple, si la base est B, alors on a 1/B pour chaque chiffre.


Il y a sûrement plus simple.

 #10 - 09-03-2014 12:06:28

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

xhoix aléatoire

Si on veut un nombre plus petit qu'une borne N, alors la base N est optimale.

 #11 - 09-03-2014 13:44:18

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

choix aléatpire

Pas aussi simple ?
Le truc c'est que je ne suis pas sûr de comprendre l'énoncé : on connaït le nombre de chiffre de notre nombre inconnu en base 10 ? Eh bien la seule différence touche la puissance la plus haute pour laquelle on a une chance sur 2 versus 1 chance sur 10. Il y a donc un rapport 5 (b/a avec a<b dans le cas général).
Et si on le connaít le nombre de chiffres dans toutes les bases ? Eh bien on connaít le nombre alors (il présente 1 chiffre dans des bases inférieures jusqu'à atteindre sa base propre pour laquelle il vaut 10.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #12 - 09-03-2014 14:45:53

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

choix aléatiire

@Franky1103 : Oui, bravo !

@fix33 (et tous) : Je vais essayer de reformuler mon énoncé autrement :
   Vous participez à un nouveau jeu dans un casino. On vous annonce que vous devrez trouvez un nombre entier plus petit que N.
   Pour trouver ce nombre on va vous demander de choisir une base B.
   Ensuite on vous présentera un sac contenant tous les chiffres de la base B.
   Pour chaque chiffre de l'écriture du nombre à trouver en base B on vous demendera de piocher un chiffre dans le sac. Si vous avez eu la chance à chaque fois de tirer le bon chiffre, vous avez gagnez. Sinon vous avez perdu.
  Quelle base avez vous intérêt à choisir pour optimiser vos chances de gains ?
  cogitu pense que la réponse est la base 2.

D'ailleurs cela me fais penser que j'ai oublié de préciser quelque chose mad :
Vous n'avez pas le droit de choisir la base 1 wink
Sinon ce serait trop facile, le jeu n'aurait aucun intérêt (pour le casino du moins lol)


Il y a sûrement plus simple.

 #13 - 09-03-2014 15:40:16

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

Choix aléaoire

Salut!
Si j'ai bien compris je choisis la base N.

 #14 - 09-03-2014 15:50:13

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Choix alléatoire

Oui, PRINCELEROI smile


Il y a sûrement plus simple.

 #15 - 09-03-2014 18:53:54

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

xhoix aléatoire

Si on choisit un nombre de 0 à n, je pense que la meilleure façon d'avoir une chance de gagner est de jouer en base n+1.

 #16 - 09-03-2014 19:20:32

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

CChoix aléatoire

En fait n'importe quelle base fait l'affaire, il suffit de choisir un nombre inférieur ou égal à N, et vous aurez tjs 1/(N+1) chance de gagner.

 #17 - 09-03-2014 21:01:25

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Choix alaétoire

@Nombrilist :  oui, bravo !

@nodgim : Je ne comprend pas ce que tu veux dire, le nombre à trouver est forcément plus petit que N. La seule chose que l'on "choisit(=décide)" c'est la base, après les chiffres sont tirés au sort.


Il y a sûrement plus simple.

 #18 - 10-03-2014 16:12:06

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Chooix aléatoire

Je choisis la base 2, bien sûr big_smile !
Et l'avantage est d'autant plus important que le premier chiffre de l'écriture en base 10 est faible.
Par exemple, pour le nombre de 4 chiffres 1000 écrit en base 10, j'ai une chance sur 10000 de le trouver, alors que j'ai une chance sur 1024 en base 2.

 #19 - 10-03-2014 18:54:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

choux aléatoire

OK, c'est plus petit que N. Ce qui me semble curieux, et vain, ce serait de choisir un chiffre au hasard supérieur à N. Par exemple si N=5268, alors en base 10 ce serait stupide de choisir le 1er chiffre entre 6 et 9, qui sont perdants d'entrée. Alors si cette contrainte est réelle, alors il suffit de choisir la base N, et les chances de gagner sont 1/N. Je ne vois pas trop où on pourrait faire mieux que 1/N.

 #20 - 10-03-2014 19:13:58

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

CChoix aléatoire

Oui nodgim, c'est ça smile

@Jackv : On peut faire un peu mieux smile


Il y a sûrement plus simple.

 #21 - 11-03-2014 12:11:55

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

choic aléatoire

Exact ! on peut faire un peu mieux.
Je n'avais pas aperçu ton nouvel énoncé du post 12, et je pensais qu'il fallait choisir entre 2 et 10. (peut-être aurait-il fallut le faire figurer dans la post 1 ? hmm )

Je choisis donc maintenant la base N, avec 1 chance sur N de gagner.
Dans mon exemple précédent avec N = 1000, j'ai donc 1 chance sur 1000 au lieu de 1 sur 1024 en base 2 big_smile .

 #22 - 11-03-2014 16:35:03

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Choix alaétoire

Après la reformulation de la question, je reformule la réponse !

Soit C le nombre de chiffres de l'écriture de N en base B, mes chances de tomber sur le bon nombre sont de 1/(B^C). (je considère que le nombre à tirer est entre 0 et N, bornes comprises).
Je dois donc choisir une base qui minimise B^C, où C=Ent(log(N)/log(B))+1.
Dit autrement, je dois choisir une base qui limite au minimum la quantité de tirages supérieurs à N pour lesquels je suis sur d'avoir perdu.

Je vais donc choisir la base N+1 (qui me donne C=1), pour laquelle mes chances de gains sont de 1/(N+1). Je ne peux pas faire mieux puisse que j'ai N+1 valeurs de tirage possibles.
Je peux avoir le même résultat, avec une base dont N+1 est une puissance entière (l'intérêt étant seulement de diminuer la taille du sac à boules !), mais ça dépend de N, évidemment.

Exemple :
N=5 - B=6
N=6 - B=7
N=7 - B=2 ou B=8
N=8 - B=3 ou B=9
etc...

 #23 - 11-03-2014 18:20:18

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Choix aléattoire

Pour la deuxième question, le choisi la base N
J'aurais une chance sur N de tomber sur le chiffre !

Pour la premier question, ça dépens de N.
Pour un N donné, on regarde pour chaque base combien de chiffre sont nécessaire et quel est le nombre maximum possible. On choisi le plus petit des deux.

Ex : pour N = 764
En base 10, il faudra 3 chiffres, donc une chance sur 10^3 (1000)
En base 2, il faudra 10 chiffres, donc une chance sur 2^10 (1024)
Mieux vaut prendre la base 10

Pour N = 411
En base 10, il faudra 3 chiffres, donc une chance sur 10^3 (1000)
En base 2, il faudra 10 chiffres, donc une chance sur 2^9 (512)
Mieux vaut prendre la base 2

 #24 - 11-03-2014 19:15:05

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Choix aélatoire

Jackv, dylasse et godisdead : Oui, bravo !


Il y a sûrement plus simple.

 #25 - 11-03-2014 20:14:39

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Choiix aléatoire

Comme je ne serais pas là quand le temps sera fini, je "lève le voile " un peu plus tôt.

Le mieux et de choisir la base N (ou N+1 suivant que l'on interprète "plus petit que N" par  "< N" ou "<= N".). Car dans ce cas la le nombre à trouvé n'est qu'un seul chiffres parmi N (ou N+1) ce qui revient à choisir un nombre entier au hasard plus petit que N (et donc le faire chiffre par chiffre dans une base où le nombre a plus de chiffres ne peut en aucun cas améliorer nos chances).

Encore une fois mon énoncé n'était pas très clair hmm , mais vous avez tous trouvé la bonne réponse. Bravo à tous, et merci de votre participation.

cogito.


Il y a sûrement plus simple.

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