Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 29-03-2014 18:50:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Flew Martiess

Bonjour à tous smile

Le problème de Flew Marties a longtemps empoisonné les mathématiciens , il a aujourd'hui une solution simple . Je vous le propose en exercice , je vous aiderai au besoin mais je ne pense pas que ce sera utile .

Sans LaTeX la lecture est un peu pénible mad

Les fonctions de Flew Marties sont définies sur R*+ comme les dérivées nièmes ( n>=a+b+c) de f(x)=1/(ax-1)+1/(bx-1)-1/(cx-1) où a , b et c sont trois entiers naturels non nuls .

Quelles sont les fonctions de Flew Marties admettant une tangente horizontale en 0 ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 29-03-2014 19:12:10

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

glew marties

f'(x)=-a/(ax-1)²-b/(bx-1)²+c/(cx-1)²
f'(0)=-a-b+c=0 si la tangente est horizontale

Il suffit donc que a+b-c=0

Pas sûr d'avoir bien compris l'énoncé moi...

A moins que la première fonction de Flew Marties soit f'"(x) et non f(x) ? Auquel cas les trouver toutes est infiniment plus complexe... hmm

 #3 - 29-03-2014 19:15:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Flew Mrties

a , b et c ne sont pas nuls et n >=a+b+c smile

Vasimolo

 #4 - 29-03-2014 23:59:57

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

flew mzrties

Sont-ce ceux pour lesquelles c = a + b ?

Du moins c'est ce que je trouve après quelques calculs rapides, seulement dans mes calculs, je ne vois pas pourquoi on aurait besoins de la condition n >= a + b + c ?

En gros pour faire court, à un moment j'arrive à avoir la condition

n! * (-a -b + c) = 0   ==> c = a + b.


Il y a sûrement plus simple.

 #5 - 30-03-2014 08:23:15

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Flew aMrties

Pourquoi a, b et c nuls ?

a+b-c=0 donc c=a+b (je n'avais pas écrit a+b+c=0)

En gros, toute fonction qui s'écrit : f(x)=1/(ax-1)+1/(bx-1)-1/(ax+bx-1) fonctionnerait, mais je continue de penser que ma première interprétation de l'énoncé est erronée.

 #6 - 30-03-2014 09:41:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

lew Marties

Quelques précisions et une petite aide smile

1°) Les fonctions de Flew Marties ne sont pas les fonctions f du premier message mais leurs dérivées nième avec n au moins égal à a+b+c . En fait elles sont définies pour tout n strictement supérieur à 2 mais je ne l'ai pas dit tout de suite pour cacher un peu la farce .

2°) Ne pas essayer de dériver f , il y a un moyen très rapide de récupérer toutes les dérivées en 0 .

Vasimolo

 #7 - 30-03-2014 10:34:36

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

flew maryies

Pourtant l'expression de la dérivée n ième  n'est pas trop compliqué :

on a de manière général pour tout k :

dérivée n-ième de 1/(kx-1) = (-1)^n * n! * k^n / (kx-1)^(n+1).

Posons g(k,x)= (-1)^n * n! * k^n / (kx-1)^(n+1).

Donc les dérivées n-ième de la fonction f sont de la forme :

g(a,x) + g(b,x) - g(c,x).

On veut donc que    g(a,0) + g(b,0) - g(c,0) = 0
Or g(k,0) = -n! * k^n.
Donc l'expression ci-dessus devient -n! * a^n -n! * b^n + n! * c^n = 0
Ce qui donne n! (-a^n -b^n + c^n) = 0
(Ahhhh, j'avais oublié les puissance de n !!!)

On veut donc que a^n + b^n = c^n et comme n >= a + b + c >= 3
d'après le théorème de Flew-Marties wink cette équation n'a pas de solutions.

Donc il n'existe pas de fonction de Flew-Marties avec une tangente horizontale en 0.


Il y a sûrement plus simple.

 #8 - 30-03-2014 12:08:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

flew martied

Oui Cogito smile

Pour les autres , il y a une grosse blague de matheux ( forcément un peu lourde ) sous le problème .

En essayant on voit assez vite où est la supercherie lollollol

Vasimolo

 #9 - 30-03-2014 12:16:24

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Flw Marties

1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ... pour |x|<1

donc 1/(ax-1) = -1 -ax - (ax)^2 - ... pour |x|<1/a

Formule de Taylor :  f(x) = somme ( f^(k)(0)/k! x^k) pour |x|<1

On en déduit que f^(n)(0) = n! (c^n - a^n - b^n)

Puisque n>=3, d'après le théorème de Fermat, on peut en conclure que  f^(n)(0) n'est pas nul.

 #10 - 30-03-2014 19:13:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3308

Few Marties

Juste comme ça les développements limités sont inutiles, il y a plus simple?
J'ai pas vraiment le temps de me plongé dans le problème, révisions oblige hmm

NB : Une petite erreur dans ton propos, si a b et c sont non nuls, on dérive au minimum trois fois et pas deux wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 31-03-2014 15:45:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

flew matties

Bonne réponse de Titoufred smile

@Shadock : il n'y a pas d'erreur dans ce que j'ai dit .

Vasimolo

PS : Flew Marties est bien sûr une anagramme .

 #12 - 31-03-2014 17:05:02

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Flew Mraties

Ah d'accord, anagramme de Fermat-Wiles !

 #13 - 31-03-2014 17:49:28

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Fleew Marties

f(x)=1/(ax-1)+1/(bx-1)-1/(cx-1)=(ax-1)^(-1)+(bx-1)^(-1)-(cx-1)^(-1)
Je sais bien que tu as dit de ne pas dériver, mais je n’ai aucun autre angle d’attaque
Soit fn(x) la dérivée n-ième de f(x):
fn(x)=(-1)^n. n!.[(a^n).(ax-1)^(-n-1)+(b^n).(bx-1)^(-n-1)-(c^n).(cx-1)^(-n-1)]
=(-1)^n.n!.{(1/a)/[(x-1/a)^(n+1)]+(1/b)/[(x-1/b)^(n+1)]+(1/c)/[(x-1/c)^(n+1)]}
d’où: fn(0)=-n!.(a^n+b^n-c^n)
qui s’annule pour: c = racine_n-ième_de(a^n+b^n)
Et je suis coincé. J’ai bien essayé en repartant de la définition de la dérivée:
f’(x)=lim[f(x)+1]/x, sans plus de succés. sad
       x->0
Moi voilà condamné à attendre au mieux un indice smile et au pire la solution big_smile

 #14 - 31-03-2014 18:09:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

flew larties

@Franky : Essaie les DL smile

Vasimolo

 #15 - 31-03-2014 21:10:28

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Flew Martise

Euh ... c'est quoi, des DL ?

 #16 - 31-03-2014 21:25:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

flew martizs

Développements limités smile

Vasimolo

 #17 - 31-03-2014 23:27:25

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Fle Marties

Merci pour le tuyau des DL.

Fonction de départ:
f(x)=1/(ax-1)+1/(bx-1)-1/(cx-1)
Dérivées n-ièmes (calculées précédemment):
fn(x)=(-1)^n.n!.{(1/a)/[(x-1/a)^(n+1)]+(1/b)/[(x-1/b)^(n+1)]-(1/c)/[(x-1/c)^
(n+1)]}

Développement limité au voisinage de 0:
DL[f(x)]=f(0)+f’(0).x+[f’’(0)/2!].x²+[f’’’(0)/3!].x³+…+[fn(0)/n!].x^n+R(x^n)

Or comme on a: fn(0)=-n!.(a^n+b^n-c^n), on en déduit:
DL[f(x)]=-1-(a+b-c).x-(a²+b²-c²).x²-(a³+b³-c³).x³-…-(a^n+b^n-c^n).x^n+
R(x^n)
donc: DL[f’(x)]=-(a+b-c)-2.(a²+b²-c²).x-3.(a³+b³-c³).x²-…-n.(a^(n-1)+b^
(n-1)-c^(n-1)).x^(n-1)+R(x^(n-1))
et: DL[f’’(x)]=-2.(a²+b²-c²)-3.2.(a³+b³-c³).x-…-n(n-1).(a^(n-1)+b^(n-1)-c^
(n-1)).x^(n-2)+R(x^(n-2))
et: DL[f’’’(x)]=-3.2.(a³+b³-c³)-…-n(n-1)(n-2).(a^(n-1)+b^(n-1)-c^(n-1)).x^
(n-3)+R(x^(n-3))
et: DL[fn(x)]=-n!.(a^n+b^n-c^n)-(n+1)!.(a^(n+1)+b^(n+1)-c^(n+1)).x+R(x)

Finalement on aura:
f(0)=-1 ; f’(0)=-(a+b-c) ; f’’(0)=-2.(a²+b²-c²) ; f’’’(0)=-3.2.(a³+b³-c³) ; … ;
f(n-1)(0)=-(n-1)!.(a^(n-1)+b^(n-1)-c^(n-1)) ; fn(0)=-n!.(a^n+b^n-c^n)

La pente de la tangente de f(n-1)(x) en 0 est: fn(0)=-n!.(a^n+b^n-c^n), qui
n’est jamais nulle, sauf si a^n+b^n=c^n, mais j’ai dû me planter quelquepart.
Je n'ai compris non plus pourquoi on doit avoir n>=a+b+c

PS: J'ai d'abord pensé qu'il y avait une coquille sur le nom (x remplacé par w):
Flew Marties => Flex Marties => Silex Fermat => Pierre (de) Fermat lol

Edit: Finalement ma première réponse (sans DL) était correcte aussi, mais je cherchais "bêtement" la valeur de x (en fonction de n) annulant fn(x), sans aucune condition sur a, b et c.

 #18 - 01-04-2014 17:48:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Flew Maarties

@Franky : c'est ça mais on peut faire plus simple .

Pour l’anagramme n'oublie pas que pour les théorèmes on associe souvent le nom de celui qui a posé le problème à celui qui l'a résolu wink

Vasimolo

 #19 - 02-04-2014 17:22:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Flw Marties

La réponse était relativement simple en utilisant la série géométrique :

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+... donc f(x)=-3+(c-a-b)x+(c²-a²-bx²)x²+....

Alors f(0)=-3 , f'(0)=c-a-b , f"(0)=2(c²-a²-b²) , ... , f^(n)(0)=n!(c^n-a^n-b^n) et le théorème de Wiles-Fermat pour conclure .

Je n'ai pas voulu donner l'indication n>=3 qui me semblait un peu trop connotée "grand théorème de Fermat" .

Merci aux participants smile

Vasimolo

 #20 - 02-04-2014 17:25:53

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

flew martied

Je n'avais pas vu que a, b et c étaient entiers. Cela m'aurait mis la puce à l'oreille. Mais ça m'apprendra à ne pas lire correctement les énoncés.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Pere=(fils x 3) par gaara2a
25-05-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
Retour de plage par papiauche
11-03-2008 Enigmes Mathématiques
P2T
03-02-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
Losanges par bilbo123
30-08-2016 Enigmes Mathématiques
P2T
La ronde des fourmis par Vasimolo
16-10-2009 Enigmes Mathématiques
01-01-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Somme égale à 23 par gabrielduflot
14-05-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
08-08-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
Puissances de 3 par dhrm77
26-06-2009 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete