a , b et c ne sont pas nuls et n >=a+b+c

Vasimolo

Pourquoi a, b et c nuls ?

a+b-c=0 donc c=a+b (je n'avais pas écrit a+b+c=0)

En gros, toute fonction qui s'écrit : f(x)=1/(ax-1)+1/(bx-1)-1/(ax+bx-1) fonctionnerait, mais je continue de penser que ma première interprétation de l'énoncé est erronée.

Pourtant l'expression de la dérivée n ième  n'est pas trop compliqué :

on a de manière général pour tout k :

dérivée n-ième de 1/(kx-1) = (-1)^n * n! * k^n / (kx-1)^(n+1).

Posons g(k,x)= (-1)^n * n! * k^n / (kx-1)^(n+1).

Donc les dérivées n-ième de la fonction f sont de la forme :

g(a,x) + g(b,x) - g(c,x).

On veut donc que    g(a,0) + g(b,0) - g(c,0) = 0
Or g(k,0) = -n! * k^n.
Donc l'expression ci-dessus devient -n! * a^n -n! * b^n + n! * c^n = 0
Ce qui donne n! (-a^n -b^n + c^n) = 0
(Ahhhh, j'avais oublié les puissance de n !!!)

On veut donc que a^n + b^n = c^n et comme n >= a + b + c >= 3
d'après le théorème de Flew-Marties cette équation n'a pas de solutions.

Donc il n'existe pas de fonction de Flew-Marties avec une tangente horizontale en 0.

1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ... pour |x|<1

donc 1/(ax-1) = -1 -ax - (ax)^2 - ... pour |x|<1/a

Formule de Taylor :  f(x) = somme ( f^(k)(0)/k! x^k) pour |x|<1

On en déduit que f^(n)(0) = n! (c^n - a^n - b^n)

Puisque n>=3, d'après le théorème de Fermat, on peut en conclure que  f^(n)(0) n'est pas nul.

Bonne réponse de Titoufred

@Shadock : il n'y a pas d'erreur dans ce que j'ai dit .

Vasimolo

PS : Flew Marties est bien sûr une anagramme .

f(x)=1/(ax-1)+1/(bx-1)-1/(cx-1)=(ax-1)^(-1)+(bx-1)^(-1)-(cx-1)^(-1)
Je sais bien que tu as dit de ne pas dériver, mais je n’ai aucun autre angle d’attaque
Soit fn(x) la dérivée n-ième de f(x):
fn(x)=(-1)^n. n!.[(a^n).(ax-1)^(-n-1)+(b^n).(bx-1)^(-n-1)-(c^n).(cx-1)^(-n-1)]
=(-1)^n.n!.{(1/a)/[(x-1/a)^(n+1)]+(1/b)/[(x-1/b)^(n+1)]+(1/c)/[(x-1/c)^(n+1)]}
d’où: fn(0)=-n!.(a^n+b^n-c^n)
qui s’annule pour: c = racine_n-ième_de(a^n+b^n)
Et je suis coincé. J’ai bien essayé en repartant de la définition de la dérivée:
f’(x)=lim[f(x)+1]/x, sans plus de succés.
       x->0
Moi voilà condamné à attendre au mieux un indice et au pire la solution

Euh ... c'est quoi, des DL ?

Merci pour le tuyau des DL.

Fonction de départ:
f(x)=1/(ax-1)+1/(bx-1)-1/(cx-1)
Dérivées n-ièmes (calculées précédemment):
fn(x)=(-1)^n.n!.{(1/a)/[(x-1/a)^(n+1)]+(1/b)/[(x-1/b)^(n+1)]-(1/c)/[(x-1/c)^
(n+1)]}

Développement limité au voisinage de 0:
DL[f(x)]=f(0)+f’(0).x+[f’’(0)/2!].x²+[f’’’(0)/3!].x³+…+[fn(0)/n!].x^n+R(x^n)

Or comme on a: fn(0)=-n!.(a^n+b^n-c^n), on en déduit:
DL[f(x)]=-1-(a+b-c).x-(a²+b²-c²).x²-(a³+b³-c³).x³-…-(a^n+b^n-c^n).x^n+
R(x^n)
donc: DL[f’(x)]=-(a+b-c)-2.(a²+b²-c²).x-3.(a³+b³-c³).x²-…-n.(a^(n-1)+b^
(n-1)-c^(n-1)).x^(n-1)+R(x^(n-1))
et: DL[f’’(x)]=-2.(a²+b²-c²)-3.2.(a³+b³-c³).x-…-n(n-1).(a^(n-1)+b^(n-1)-c^
(n-1)).x^(n-2)+R(x^(n-2))
et: DL[f’’’(x)]=-3.2.(a³+b³-c³)-…-n(n-1)(n-2).(a^(n-1)+b^(n-1)-c^(n-1)).x^
(n-3)+R(x^(n-3))
et: DL[fn(x)]=-n!.(a^n+b^n-c^n)-(n+1)!.(a^(n+1)+b^(n+1)-c^(n+1)).x+R(x)

Finalement on aura:
f(0)=-1 ; f’(0)=-(a+b-c) ; f’’(0)=-2.(a²+b²-c²) ; f’’’(0)=-3.2.(a³+b³-c³) ; … ;
f(n-1)(0)=-(n-1)!.(a^(n-1)+b^(n-1)-c^(n-1)) ; fn(0)=-n!.(a^n+b^n-c^n)

La pente de la tangente de f(n-1)(x) en 0 est: fn(0)=-n!.(a^n+b^n-c^n), qui
n’est jamais nulle, sauf si a^n+b^n=c^n, mais j’ai dû me planter quelquepart.
Je n'ai compris non plus pourquoi on doit avoir n>=a+b+c

PS: J'ai d'abord pensé qu'il y avait une coquille sur le nom (x remplacé par w):
Flew Marties => Flex Marties => Silex Fermat => Pierre (de) Fermat

Edit: Finalement ma première réponse (sans DL) était correcte aussi, mais je cherchais "bêtement" la valeur de x (en fonction de n) annulant fn(x), sans aucune condition sur a, b et c.

La réponse était relativement simple en utilisant la série géométrique :

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+... donc f(x)=-3+(c-a-b)x+(c²-a²-bx²)x²+....

Alors f(0)=-3 , f'(0)=c-a-b , f"(0)=2(c²-a²-b²) , ... , f^(n)(0)=n!(c^n-a^n-b^n) et le théorème de Wiles-Fermat pour conclure .

Je n'ai pas voulu donner l'indication n>=3 qui me semblait un peu trop connotée "grand théorème de Fermat" .

Merci aux participants

Vasimolo