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 #1 - 11-09-2014 21:11:16

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Les facteurs ud bonheur !

Un nombre du bonheur est un entier dont le cube admet k fois plus de diviseurs que lui, avec k entier. Le facteur k correspondant est alors appelé facteur du bonheur.

Question : Quels sont les facteurs du bonheur ?

PS : je n'ai pas la réponse !

PS2 : je conjecture que les facteurs du bonheur sont les entiers qui ne sont pas des multiples de 3.

Même si vous n'avez pas de réponse définitive, toutes vos réflexions sont les bienvenues !



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 #2 - 11-09-2014 21:42:41

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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Les faceurs du bonheur !

Voici quelques pistes pour débuter :

Notons d(x) le nombre de diviseurs d'un entier x, et q(x) = d(x^3)/d(x).

Pour p premier, d(p^n) = n+1 et donc q(p^n) = (3n+1)/(n+1)   

Si x et y sont premiers entre eux, alors d(xy) = d(x)d(y) et donc q(xy) = q(x)q(y)

*Les multiples de 3 ne sont pas des facteurs du bonheur.

*Si k et k' sont deux facteurs du bonheur, alors kk' aussi.

*Il suffit de montrer la conjecture sur les nombres premiers

 #3 - 11-09-2014 22:36:33

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Les fateurs du bonheur !

Voici la liste de quelques nombres premiers qui sont facteurs du bonheur, (avec les exposants dans la décomposition en produit de facteurs premiers d'un exemple de nombre du bonheur correspondant)

2{1} // 5{3,1} // 7{9,3} // 11{7,1,1} // 13{4,3,1} // 17{28,19,1} // 19{9,6,3}
23{15,1,1,1} // 29{19,3,1,1} // 31{10,7,1,1} // 37{12,4,3,1} // 41{27,9,3,1}
43{57,19,3,1} // 47{31,1,1,1,1}

et last but not least pour toi Nodgim : 53{148,99,88,1}

Je n'ai pas cherché plus loin pour l'instant.

 #4 - 12-09-2014 19:45:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
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les facteurs su bonheur !

C'est assez surprenant pour ce 53, ce n'était pas la réponse que j'attendais:
53:(141,189,63,1,1,1)
Voila déja au moins un facteur qu'on trouve avec 2 solutions différentes !

Sinon, pour des solutions toutes faites:
si 5 est facteur, alors en faisant 5*(13/5) 13 est solution. Et puis aussi 13*(37/13)=37 est solution. Et puis aussi 37*(109/37)=109 est solution. Etc...

Pour l'instant, je crois qu'on peut trouver des candidats potentiels non résolvables, même si les premiers nb premiers ont une solution. La recherche d'une solution peut être longue, et va s'allonger avec la taille du nb testé....

 #5 - 13-09-2014 12:17:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Le facteurs du bonheur !

J'ai testé jusqu'au nombre premier 283 et ça marche bien. En dépit de ce que  j'ai pu dire auparavant, je pense maintenant qu'il y a tjs au moins une solution pour chaque nombre premier autre que 3....

 #6 - 13-09-2014 12:42:43

Vasimolo
Le pâtissier
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lrs facteurs du bonheur !

Le problème c'est l'infinité des nombres premiers .

Il va falloir investiguer de plus en plus loin dans l'espoir d'exhiber un contre-exemple ou trouver un moyen de justifier l'existence d'une solution pour chaque nombre premier .

Je n'y crois pas trop , mais pourquoi pas smile

Vasimolo

 #7 - 13-09-2014 20:33:24

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

les facyeurs du bonheur !

Oui, on peut partir sur une piste que le nombre premier n n'est pas facteur de tous les premiers inférieurs, par récussrence avec 4n+1 et 4n+3 ça doit le faire, non?


Un promath- actif dans un forum actif

 #8 - 14-09-2014 00:10:29

titoufred
Elite de Prise2Tete
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les facteurs du vonheur !

Je vous livre le début d'une démonstration par récurrence, que je n'ai pu achever, peut-être que ça en inspirera certains :

Notons f(n)=q(p^n)=(3n+1)/(n+1)

Soit k un entier naturel non multiple de 3. On suppose que l'on a prouvé que les entiers naturels non multiples de 3 qui sont strictement inférieurs à k sont des facteurs du bonheur.

1er cas : k = 9n+1
Si k = 1 alors q(1) = 1 et donc k est un facteur du bonheur
Si k > 1, alors k = f(3n)*(3n+1)
3n+1 est un entier naturel non multiple de 3 strictement inférieur à k, donc par hypothèse de récurrence, c'est un facteur du bonheur : 3n+1 = q(x).
Pour un nombre premier p qui est premier avec x, alors :
q(p^3n * x) = q(p^3n)q(x) = f(3n)*(3n+1) = k
Ce qui prouve que k est un nombre du bonheur.

2ème cas : k = 9n+2
Alors k = f(6n+1)*(3n+1) et l'on conclut comme au-dessus.

3ème cas : k = 9n+4
Alors k = f(3n+1)*(3n+2) et l'on conclut comme au-dessus.

4ème cas : k = 9n+5
Alors k = f(6n+3)*(3n+2) et l'on conclut comme au-dessus.


Malheureusement, je n'ai pas pu conclure sur les deux derniers cas :

5ème cas : k = 9n+7
Alors k = f(12n+9)*f(4n+3)*(n+1) mais cela ne permet pas de conclure dans le cas où n+1 est un multiple de 3. On peut alors essayer de continuer à explorer, en posant n = 3m+2 et donc k = 27m+25 mais je n'ai obtenu que
k = f(63m+58)*f(42m+39)*f(14m+13)*(m+1), ce qui ne permet pas de conclure encore une fois dans le cas où m+1 est un multiple de 3, et il faudrait donc continuer...

6ème cas : k = 9n+8
Alors k = f(15n+13)*f(10n+9)*(n+1) mais cela ne permet pas de conclure dans le cas où n+1 est un multiple de 3...

 #9 - 14-09-2014 09:18:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
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les facteurs su bonheur !

Il suffit d'avoir trouvé que c'est vrai pour les premiers nb impairs, et ensuite récurrence.
Soit N nb impair. On doit lui trouver un D tel que N/D soit de la forme (3D-2)/D, et D non mulitple de 3.
Il suffit que D soit plus petit que N, et si D premier ou décomposable, c'est fini, car on peut l'accrocher à un facteur de bonheur existant.
(notons au passage que 2 étant facteur de bonheur, seuls les nombres impairs sont à vérifier)
Cependant, N n'est pas forcément de la forme 3D-2, et de plus D peut se révéler multiple de 3.
Pour obtenir D, on est obligé parfois de le mutiplier par 2, 4 ou 5, et ce sont ces multiplicateurs qui posent probl
ème. 

On est alors amené à distinguer 2 formes pour les nbs impairs:
(1) 2n*3^k-1, avec n non multiple de 3.
(2) (2n+1)*3^k-2, avec 2n+1 non mulitple de 3.
Chacune de ces 2 formes exprimant le caractère impair et non divisible par 3.

Pour (1), on est obligé de multipier par 5 au moins pour trouver D si k>1, et ce jusqu'à élimination des 3^k.
(5(2n*3¨k-1)+2)/3=5*2n*3^(k-1)-1 de la forme (1) et donc on recommence pour arriver à:
5^(k-1)*2n*3-1. Comme il ne reste qu'un seul 3, on peut multiplier par 2:
(2*(5^(k-1)*2n*3-1)+2)/3=4n*5^(k-1)=D
Le N de départ 2n*3^k-1 a été multiplié par 2*5^(k-1) pour obtenir D
(N fois ses multiples)/D=( 2n*3^k-1)*2*5^(k-1)/4n*5^(k-1)=( 2n*3^k-1)/2n
2n étant plus petit que 2n*3^k-1 de départ, on a fini.

Pour (2), on est obligé de multiplier par 4 si k>1.
(4( (2n+1)*3^k-2)+2)/3=2((4n+2)*3^(k-1)-1)
Le (4n+2)*3^(k-1)-1 étant de la forme (1), on aboutira à 4n+2, comme développé dans la 1ére partie.
Le N de départ  (2n+1)*3^k-2 a été mulitplié par 4. Le D est de la forme 2(4n+2)
4*( (2n+1)*3^k-2)/2*(4n+2)=(2n+1)*3^k-2)/(2n+1)
le 2n+1est plus petit que le N de départ c'est fini.

 #10 - 15-09-2014 08:57:12

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Les facters du bonheur !

Je n'ai pas tout compris nodgim. C'est une preuve complète ?

Peux-tu développer un ou deux exemples pour ta méthode avec n=53 et n=97 (par exemple) ?

 #11 - 15-09-2014 19:42:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
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lrs facteurs du bonheur !

Oui Titoufred, sauf erreur, c'est une preuve complète.
Pour 53 par exemple: de la forme (1) soit (2*1)*3^3-1.
On arrive à 53/2 en 3 opérations (prédictible selon la méthode que j'ai décrite):
Je vais faire (53*5+2)/3, pour le résultat obtenu je fais pareil, et enfin pour le dernier résultat je fais (..*2+2)/3.

(53*5+2)/3=89
(89*5+2)/3=149
(2*149+2)/3=100
Au final, au numérateur: (53*5)(89*5)(149*2)
Au dénominateur: 89*149*100.
Reste 53/2.

97=11*3²-2
Là je multiplie par 4, puis ne restera qu'un seul 3, je termine en 1 seule opération en multipliant par 2 (prédictible selon méthode décrite)
(4*(11*3²-2)+2)/3= 4*11*3-2=2(2*11*3-1)
(2(2*11*3-1)+2)/3=4*11

Reste 97/11.

Là, si je veux continuer avec 11 (bien que je sache que 11 est facteur du bonheur par récurrence)
11=4*3-1
en une seule opération:
(2*11+2)/3=8
Reste 11/4

 #12 - 15-09-2014 19:43:43

Vasimolo
Le pâtissier
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les facteurs di bonheur !

C'est un peu le gros défaut de Nodgim , il ne précise pas ses prémices , il laisse traîner des points de suspension dans tous les coins  en croyant qu'on peut lire dans sa tête big_smilebig_smilebig_smile

J'ai craqué dès les premières lignes  smile

En plus sans Latex , c'est un peu lourd .

Tout ça n'est bien sûr qu'une amicale critique wink

Vasimolo

 #13 - 15-09-2014 20:08:27

nodgim
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les facteurs du vonheur !

Bon, il faut que je recommence ma rédaction, c'était surtout pour Titoufred qui était déja bien rentré dans le sujet, je pensais qu'il pouvait dépêtrer mon charabia, force est de reconnaitre que ce n'est pas le cas.

Je vais reprendre tout ça dès que j'ai un peu de temps.

 #14 - 15-09-2014 21:16:06

titoufred
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Less facteurs du bonheur !

Ok je vois mieux sur les exemples ! Alors ce qui est marrant, c'est que pour 53, tu trouves la même solution que moi pour les puissances : 88, 148, 99 et 1, et non pas la solution que tu avais trouvée en premier. Ce qu'il faut prouver, c'est que ça finit par tomber sur ce qu'on veut au bout d'un moment avec cette méthode, ce qui ne me semble pas évident du tout non ?

 #15 - 16-09-2014 19:11:57

nodgim
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Les faceurs du bonheur !

Si c'est évident, il faut juste regarder plus attentivement ce que j'ai écrit:
.....
Pour (1), on est obligé de multipier par 5 au moins pour trouver D si k>1, et ce jusqu'à élimination des 3^k.
(5(2n*3¨k-1)+2)/3=5*2n*3^(k-1)-1 de la forme (1) et donc on recommence...

Je donne la formule résultante, je n'ai pas donné les calculs intermédiaires, mais tu peux essayer, ça se fait facilement.

 #16 - 17-09-2014 18:50:00

Vasimolo
Le pâtissier
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les facteurs du bobheur !

nodgim a écrit:

Je vais reprendre tout ça dès que j'ai un peu de temps.

Tu es sans doute branché sur le même transformateur que Titoufred mais je ne comprends absolument rien à ta construction . En plus je ne vois pas pourquoi la dernière valeur obtenue serait inférieure à la valeur initiale : l'exposant de la puissance de 3 décroit mais ce n'est clairement pas suffisant .

Si tu pouvais donner précisément ton algorithme je pourrais donner un avis , pour le moment je ne comprends vraiment rien ( je suis un peu étriqué du cerveau ) .

Vasimolo

 #17 - 17-09-2014 18:59:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Les facteurs du bnoheur !

La seconde mouture. J'espère qu'elle sera mieux comprise.
Bonne lecture.


On note N/D le rapport entre le nombre de diviseurs du cube N d'un entier et le nb de diviseurs D de cet entier.
On cherche à savoir si on peut trouver de tels rapports entiers et lesquels (appelés aussi facteur de bonheur).

Ce rapport est le produit des (3ni+1)/(ni+1), chaque ni étant la puissance affectée à chaque nb premier de la décomposition d'un nombre donné.
Immédiatement, on voit que au numérateur, on ne peut avoir que des nombres non divisibles par 3.
S'il existe un facteur 3 au dénominateur, on ne peut obtenir de facteur de bonheur.

Les facteurs de bonheur  qu'on peut trouver ne sont jamais des multiples de 3.

Montrons qu'on peut trouver une solution pour tous les autres nombres entiers.
Pour plus de commodité, remplaçons la forme  (3ni+1)/(ni+1) par (3m-2)/m plus pratique à l'usage.

Le N/D se réécrit (3D-2)/D si un seul facteur (correspond à un nombre premier élevé à la puissance D-1).
Pour D=2 N/D=4/2=2.
Exemple: p premier (sous entendu puissance 1) D=2 et N=4.
Conséquence de ce facteur de bonheur 2 : pour un rapport b*2^j, seule une solution pour b impair est suffisante.
En effet, pour un nombre C compatible avec un facteur de bonheur F impair, il suffit de le multiplier par autant de nb premiers distincts
C---->F
C*p1*p2*....----->F*2*2....

il ne reste plus qu'à trouver une solution pour les nb impairs non divisibles par 3.

Soit N1 le nb impair pour lequel on cherche un nombre dont le rapport N/D donnera N1, facteur de bonheur.
Si N1 vaut -2 modulo 3, alors on peut tout de suite lui trouver un D1.
Exemple N1=17 N1=3D1-2 donc D1=(N1+2)/3=5
N1/D1=17/5 n'est pas facteur de bonheur. Comme N1 et D1 sont tjs premiers entre eux pour tout N1 impair, on ne peut trouver de solution directe, sauf 2.

Pour espérer trouver un facteur de bonheur, il faut passer par un produit, forcément de la forme:
(N1/D1)*(N2/D2)*(N3/D3)...dont les Di représentent les puissances +1 affectées à la décomposition en facteurs premiers d'un nombre donné.
Tous les Ni doivent être -2 modulo 3, mais ce n'est pas tjs le cas.
Si un Ni est -1[3], il faut le mulitplier par 2, mais si le Di correspondant est multiple de 3, résultat incompatible avec le but recherché, il faudra multiplier N1 par 5.
Si un Ni est -2 [3] mais que le Di correspondant est multiple de 3, résultat incompatible avec le but recherché, il faudra multiplier N1 par 4.
Exemple:
N1=11, c'est un -1 [3], on le multiplie par 2, ça fait 22, et D1 vaut: (22+2)/3=8 OK
N1=17, c'est un -1 [3], on le multiplie par 2, ça fait 34, et D1 vaut (34+2)/3=12, ne convient pas car 12 multiple de 3. On prend alors 5N1=85 et D1 vaut (25+2)/3=29.
29 convient.

La méthode pour parvenir au facteur du bonheur N1 en partant du nombre impair N1 est celle ci:
N2=a2*D1
N3=a3*D2
...
Ainsi le produit (N1/D1)*(N2/D2)*(N3/D3)...devient (a1*N1/D1) (a2*D1/D2)(a3*D2/D3)...qui donne:
N1*a1*a2*a3*.../Df  si Df est le dernier D.
On montre facilement (voir ci dessous) que Df est tjs multiple de a1*a2*a3...
Ne restera alors que N1/df, df=Df/(a1*a2*a3..) plus petit que N1.
Par récurrence, on arrivera à un df final minimal (une puissance de 2) qui sera compensée par le facteur de bonheur 2 multiplié autant de fois que nécessaire.
(N1/2^n)*2*2*2*2... n fois 2.


Démonstration de la divisibilité de Df par a1*a2*a3...

On est amené à distinguer 2 formes pour les nbs impairs:
(1) N1= 2n*3^k-1
(2) N1=(2n+1)*3^k-2
Chacune de ces 2 formes exprimant le caractère impair et non divisible par 3.

Pour (1), on est obligé de multipier N1 par 5 pour trouver D1 si k>1, et ce jusqu'à élimination des 3^k.
(5(2n*3¨k-1)+2)/3=5*2n*3^(k-1)-1=D1 de la forme (1) et donc on recommence pour arriver à:
5^(k-1)*2n*3-1. Comme il ne reste qu'un seul 3, on peut multiplier par 2:
(2*(5^(k-1)*2n*3-1)+2)/3=4n*5^(k-1)=Df
L'ensemble des a1*a2*a3... multiplicateurs de N1, D1, D2.... vaut 2*5^(k-1)
N1*a1*a2*a3.../D=( 2n*3^k-1)*2*5^(k-1)/4n*5^(k-1)=( 2n*3^k-1)/2n
2n étant plus petit que 2n*3^k-1 de départ, on a fini.

Pour (2), on est obligé de multiplier N1 par 4 si k>1.
D1=(4N1+2)/3=(4( (2n+1)*3^k-2)+2)/3=2((4n+2)*3^(k-1)-1)
Le (4n+2)*3^(k-1)-1 étant de la forme (1), on aboutira à 4n+2, comme développé dans la 1ére partie.
Le N1 de départ  (2n+1)*3^k-2 a été multiplié par 4. Le Df est de la forme 2(4n+2).
4*( (2n+1)*3^k-2)/2*(4n+2)=(2n+1)*3^k-2)/(2n+1)
le Df=2n+1est plus petit que le N1 de départ c'est fini.

 #18 - 20-09-2014 18:53:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

les facteurd du bonheur !

La méthode de Nodgim marche bien et prouve que tous les entiers naturels non multiples de trois sont facteurs du bonheur .

La méthode est plutôt simple mais il vaut mieux se munir de plusieurs cachets d'aspirine et se trouver un endroit très très calme pour suivre les explications de Nodgim .

En bref , Nodgim a fait le travail de recherche , une idée simple doit pouvoir se justifier simplement , avis aux amateurs ...

Vasimolo

 #19 - 27-09-2014 09:17:50

Vasimolo
Le pâtissier
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led facteurs du bonheur !

J'ai essayé de résumer la construction de Nodgim : c'est moins descriptif mais ça me semble plus clair .

Je joins une image car le Latex du site est à nouveau défaillant smile

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Nombreschanceux.png

Sinon la question de "l'unicité" de la décomposition reste ouverte . On peut aussi regarder ce qui se passe si on remplace l'exposant 3 de la définition par un autre .

Vasimolo

 #20 - 27-09-2014 23:53:57

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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Les fatceurs du bonheur !

Merci Nodgim pour l'idée et merci Vasimolo pour la rédaction limpide !

 

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