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 #1 - 24-08-2011 20:23:24

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

le bonheur est dans le pté !

Un paysan veut partager pour son héritage son champ ABCD en huit parcelles de même aire. Il a l'idée suivante: partager [AB] et [CD] en huit segments égaux chacun. Mais... en mesurant, il trouve 243 m² pour la quatrième parcelle et 305 m² pour la huitième.
Coïncidence, l'aire totale du champ est l'année de sa mort. Quelle est-elle ?



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 #2 - 25-08-2011 14:44:25

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

Le bonheur estt dans le pré !

J'ai deux précisions à demander quant à l'ennoncé :

- Les "côtés" AD et BC doivent ils être considérés comme étant des segments de droite ? (je pense que oui)

- Il n'y a des précisions sur les aires que des parcelles n° 4 et 8. Doit on en conclure que toutes les autres répondent à la volonté première de l'agriculteur, à savoir un partage équitable en surface ? (Autrement dit, les autres parcelles ont-elle tous une aire identique ?)

Merci !

 #3 - 25-08-2011 15:03:10

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

le bonhzur est dans le pré !

AD et BC sont les largeurs du champ.
Évidemment, non, les parcelles ont toute une aire différente. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 25-08-2011 17:18:45

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

le bonheur rst dans le pré !

Je ne comprends pas bien la question.
Le champ n'est certainement pas rectangulaire.
De plus après avoir partagé les segments, comment partage-t-il le champ lui-même?

 #5 - 25-08-2011 18:19:14

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Le bnheur est dans le pré !

Ah oui... je vois le problème. Avec une illustration, ce sera mieux. J'ai oublié de préciser qu'il reliait les points de AB et de CD.

http://nsa28.casimages.com/img/2011/08/25/110825062629249672.jpg


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #6 - 25-08-2011 22:19:27

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

le bonhzur est dans le pré !

Merci pour la clarification.
Je risque de ne pas avoir le temps mais je vais essayer...

 #7 - 26-08-2011 09:49:32

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

le bongeur est dans le pré !

Sans l'image, je n'aurais rien compris...

Je dirais que le pauvre est mort en 2006, parce que les aires des parcelles doivent logiquement suivre une progression arithmétique.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 26-08-2011 11:32:44

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Le bonheur est dans le pé !

Bonjour,

Je pense qu'il est mort en 2006.

Les aires des différentes parcelles constituent une progression arithmétique dont la raison vaut
(305-243)/4=15,5

Le premier terme est donc 243-3*15,5=196,5

La somme des 8 termes est
8*(196,5+305)/2=4*501,5=2006

 #9 - 26-08-2011 12:12:08

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Le bonheur est danss le pré !

C'est une histoire recente, il est mort en 2006..


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #10 - 26-08-2011 15:39:02

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Le bonheur est dan le pré !

Les 3 réponses sont bonnes.

Je détaillerai lundi. Absent jusqu'à lundi. Bon week-end !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #11 - 27-08-2011 11:56:53

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2715
Lieu: Luxembourg

Le bonheur est danss le pré !

Bonjour,
Les surfaces de parcelles croissent en progression arithmétrique.
Elles sont donc de: 196,5; 212; 227,5; 243; 258,5; 274; 289,5 et 305 m².
L'aire totale est donc de: 2006 m².
Bonne journée.
Frank

 #12 - 27-08-2011 17:45:00

luludu28
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 6

Le bohneur est dans le pré !

2006

 #13 - 29-08-2011 14:12:19

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Le bonheur est dan le pré !

Je trouve la même chose.
Par contre j'ai du mal à "démontrer" que les parcelles sont en progression arithmétiques. Je vois bien pourquoi et je vois comment le démontrer géométriquement (voir ci-dessous) mais je me demande s'il y a une meilleure démonstration.

On trace des parallèles à (AB) passant par chacun des points de découpe de (DC).
On obtient à chaque fois le même petit triangle et par rapport au point précédent, un parallélogramme toujours identique (qui forme donc la raison de la suite des aires).

 #14 - 29-08-2011 22:54:05

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Le bonheur est ans le pré !

C'est très bien, comme démonstration, je trouve.

Sinon, peut-être une dérivation de Thalès, mais ça serait tellement horrible au niveau de la mise en place...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 30-08-2011 18:52:17

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

le bonhzur est dans le pré !

SOLUTION: les aires des 8 parcelles sont respectivement en m²: 196,5; 212; 227,5; 243; 258,5; 274; 289,5 et 305. L'aire totale du terrain est la somme de ces nombres, soit 2006.

Si vous voulez ma solution, dites-le moi. wink

rivas, ton second paragraphe est très intéressant.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #16 - 30-08-2011 20:16:48

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

le bonheur est dans ke pré !

Saint-Pierre te fais pas prier.lol
Moi j'ai tenté l'interprétation de l'aire par un déterminant mais bon je sais pas si c'est ce que Rivas attend.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #17 - 31-08-2011 10:29:58

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

LLe bonheur est dans le pré !

@Yanyan: Tu as piqué ma curiosité à vif
@Saint-Pierre: Ta démonstration inclut-elle le fait que la suite des aires est arithmétique (d'unt autre façon que mon paragraphe:))? Si oui elle m'intéresse.

 #18 - 31-08-2011 13:22:21

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

le binheur est dans le pré !

J'interprète juste l'aire d'un triangle comme la moitié du déterminant des deux vecteurs "côtés" bien orienté. Comme la découpe en parts égales donnent des vecteurs qui se répètent, je pensais arriver à quelque chose par linéairité...


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #19 - 31-08-2011 14:46:08

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

le bpnheur est dans le pré !

http://nsa28.casimages.com/img/2011/08/31/110831024329596585.jpg

http://nsa28.casimages.com/img/2011/08/31/110831024453728676.jpg

Chaque parcelle du terrain peut être découpée en 2 triangles (voir ci-dessus).

Les T1 ont la même base x et des hauteurs du type k, k+a, k+2a... (voir 1ère image). Leurs aires respectives forment donc une progression arithmétique de raison ax/2.
Les T2 ont la même base y et des hauteurs du type h, h+b, h+2b... La raison sera cette fois de by/2.

Les aires des 8 parcelles forment une progression arithmétique, i.d. que chacune se déduit de la précédente par l'addition d'un nombre r.

A : aire de la 1ère parcelle, les aires respectives des 7 autres sont donc:
A+r, A+2r...., A+7r.

Hop un petit système: A+3r = 243
                                 A+7r = 305

r= 15,5 et A = 196,5


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #20 - 31-08-2011 14:54:36

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Le bonheur est ddans le pré !

Merci. Ca ressemble beaucoup à ce que j'avais en tête sans l'avoir aussi bien exprimé smile

 

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