Bonjour,

J'ai d'abord cherché une suite de nombres.
j'ai trouvé de façon empirique la suite 793,792,... qui répond à cette question.

Il y a une multitude de nombres dont la somme des chiffres est égale à 793.
Pour la suite il suffit de rester dans la même dizaine et de prendre le + petit :
3999999997, 3999999996 ,3999999995 , ......
@+

Partant d'une somme, on rajoute 1 ou, une fois une seule, on peut retirer 8, 17, 26 ... suivant le passage d'une dizaine, centaine...

13 +1 ou -8 n'est pas valable.
26 +1 ou -8 ou -17 non plus
39 +1 ou -8 ou non plus  39-17=22 mais 23 ne va plus
52 +1 ne marche pas 52 - 8 = 44 mais 45 coince.

La plus petite somme est 65 et donc 66 (-17) 49 50 51 52
On passe une centaine et pour minimiser le nombre, on passe même à 900.
On arrive à ...99898   et donc à 49999898

Bonjour,

Il y a une multitude de nombres dont la somme des 
chiffres est égale à 793.Pour la suite il suffit de 
rester dans la même dizaine et de prendre le + petit :
3999999997, 3999999996 ,3999999995 , ......

En effet  la somme des chiffres des nombres de la suite ne vaut pas 793.

(J'ai utilisé un tableur avec un pas de 13)

Quelle est la méthode ? J'ai pensé aux clés de division .....

@+

Bonsoir Nodgim,

Ma proposition de solution :

nbre -> somme des chiffres
49999898-> 65
49999899-> 66
49999900-> 49
49999901-> 50
49999902-> 51
49999903-> 52

Merci pour cette énigme qui permet de passer le temps en cette période particulière.

Cordialement.

La somme des chiffres de (n + 1) vaut la somme des chiffres de n auquel on ajoute 1 et auquel on soustrait neuf fois le nombre de neuf par lequel n se termine.

La somme des chiffres du 1er est un multiple de 13 :

Si 13
La somme des chiffres du deuxième peut valoir 14 - x.9 et doit être divisible par 11.
14 et 5 ne sont pas divisible par 11.

Si 26
La somme des chiffres du deuxième peut valoir 27 - x.9 et doit être divisible par 11.
Aucun n'est divisible par 11.

Si 39
La somme des chiffres du deuxième peut valoir 40 - x.9
On trouve 22 (en ayant x=2) qui est bien divisible par 11.
La somme des chiffres du deuxième doit valoir 23.
On ne peut pas rajouter le -x.9 car on vient de changer un 9 final en 0. On ne peut donc pas à nouveau être à 9.
23 n'est pas divisible par 7

Si 52
La somme des chiffres du deuxième peut valoir 53 - x.9
On trouve 44
Mais 45 n'est pas divisible par 7

Si 65
La somme des chiffres du deuxième peut valoir 66 - x.9
Cela fonctionne directement pour 66
La somme des chiffres du 3ème peut valoir 67 - x.9 et doit être divisible par 7.
On trouve 49 (avec x=2).
Ensuite 50 est bien divisible par 5, 51 par 3 et 52 par 2.

Puisque x=2, cela signifiait que le nombre n+1 se finissait par deux 9, pas plus.
La somme des autre chiffres valant 48, le nombre minimum est donc le 49.999.898.

Salut Nodgim

Bon je tente même si ce type de problème me met souvent dans le coin…

N le nb cherché. S(N) la somme de ses chiffres.
Si N se termine par 0, 1, 2, 3 ou 4, S(N+i)=S(N)+i jusqu’à S(N+5)
Donc S(N)=13a, S(N)+1=11b,…, S(N)+5=2f.
Je trouve S(N)min = 29237.
Mais N se termine peut-être par un chiffre supérieur à 5, cassant (avantageusement) le lien entre les S(N+i).
Par exemple si N se termine par 8, S(N)=13a, S(N)+1=11b, puis S(P)=7c, S(P+1)=5d… S(P) ne valant pas S(N+2). Et on devrait pouvoir faire mieux que dans le cas précédent.

Il existe toutefois une dépendance entre N et P. ici en l’occurrence N+1 se termine par 9, et P se termine par 0 (autant de 0 qu’il y a de 9 à la fin de N). Et S(P) < S(N)+1, grâce aux 0.
La contrainte s’écrit S(N+1) = S(P)+9k-1, k entier (k est le nombre exact de 9 à la fin de N+1).

Dans notre cas (avec n se terminant par 8, ce qui donne au final le meilleur résultat), je trouve S(N) = 65+143k1, et S(P)=49+210k2.
S(N)=65 et S(P)=49 conviennent, avec k=2, soit 2 ‘9’ (et seulement 2) à la fin de N+1.
Donc Nmin se termine par 898. S(N) valant 65, je trouve N=49999898.

Pour ton problème rallongé, avec 17 avant 13, 11,…
S(N)=17a puis S(N+1)=13b… le même raisonnement m’amène à un minimum pour N avec rupture entre N+2 et N+3 (N se termine par 7 donc)
On trouve S(N)=493+2431k1 et S(P)=49+210k2
Ce qui donne un S(N)min= 493, avec S(P)=469 et k=3.
Donc Nmin se termine par 8997, et N = 1(9…9)8997 avec 51 ‘9’.

Sauf si je me suis (à nouveau…) embourbé bien sûr.

Idem pour 17, on passe un millier pour la division par 7 avec une somme de 493 au départ :
un truc du genre     1999..99897 avec une bonne cinquantaine de 9

Bonjour Nodgim,

J’avais effectivement fumé la moquette dans mes calculs hier. Le confinement sans doute.

J’ai remis d’aplomb le premier post, avec comme résultat :
en partant de 13, N = 49999898
en partant de 17, N = 1(9…9)8997 avec 51 ‘9’.

J’espère avoir retrouvé mes esprits…

ps: toujours une démarche entièrement arithmétique...

Salut Nodgim,

La méthode fonctionne de la même façon, les calculs sont juste plus lourds effectivement. J’ai triché du coup, j’ai utilisé xls pour éviter de les faire à la main 😊

Par contre, les résultats du cas 13 sont intégralement réutilisables pour calculer mes S(P).
Par exemple, si N se termine par 9, S(N)=17a puis S(P)=11b,… Le S(P) vaut le S(N) du cas 13 sans rupture. Etc. Dans le cas 17, il faut donc ‘juste’ calculer le nouveau S(N).

Pour chaque cas on obtient un truc du genre S(N)=n+mK1 ; S(P)=p+qK2 ; S(N)+r-S(P)=9k-1, avec r le rang de rupture (N+r se termine par 9). Et il faut que S(N)+r>S(P), ce qui donne un K1 minimum =K'1. K1=K'1+K''1
(n+mK'1+p+r+1)+(mK''1-qK2) doit être divisible par 9. En cherchant la divibilité modulo 9, le plus petit K''1 est la réponse. Pas très subtil, mais pas très long non plus. Et quand on a le plus petit K1 qui marche, on a S(N) et le k correspondant au nb de 9 à la fin de S(N)+r. Donc on a N.

1er nombre de la plus petite série = 49999897...???