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 #1 - 28-03-2020 18:03:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

6 nolbres consécutifs

Bonjour @ tous.

Il s'agit ici de trouver la plus petite série de 6 nombres consécutifs (le 1er n'est pas nul) dont :

- la somme des chiffres du 1er est divisible par 13.
- la somme des chiffres du 2ème est divisible par 11.
- la somme des chiffres du 3ème est divisible par 7.
- la somme des chiffres du 4ème est divisible par 5.
- la somme des chiffres du 5ème est divisible par 3.
- la somme des chiffres du 6ème est divisible par 2.

A la main, cela va de soi.

Bon amusement.



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 #2 - 28-03-2020 23:37:08

JePasse
Visiteur

nombres consécutifs

49999898  ???  hmm

 #3 - 29-03-2020 13:24:31

Bastidol
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 136

6 nombres consécutiifs

Bonjour,

J'ai d'abord cherché une suite de nombres.
j'ai trouvé de façon empirique la suite 793,792,... qui répond à cette question.

Il y a une multitude de nombres dont la somme des chiffres est égale à 793.
Pour la suite il suffit de rester dans la même dizaine et de prendre le + petit :
3999999997, 3999999996 ,3999999995 , ......
@+

 #4 - 29-03-2020 16:14:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

6 noombres consécutifs

@ Bastidol :

Une somme de chiffres de 793 pour le plus petit des 6 nombres convient, mais ce n'est pas la plus petite série. D'ailleurs, pour arriver à ce nombre à la main, il y a trop de travail.

 #5 - 29-03-2020 17:52:09

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

6 nombers consécutifs

Partant d'une somme, on rajoute 1 ou, une fois une seule, on peut retirer 8, 17, 26 ... suivant le passage d'une dizaine, centaine...

13 +1 ou -8 n'est pas valable.
26 +1 ou -8 ou -17 non plus
39 +1 ou -8 ou non plus  39-17=22 mais 23 ne va plus
52 +1 ne marche pas 52 - 8 = 44 mais 45 coince.

La plus petite somme est 65 et donc 66 (-17) 49 50 51 52
On passe une centaine et pour minimiser le nombre, on passe même à 900.
On arrive à ...99898   et donc à 49999898

 #6 - 29-03-2020 19:16:31

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

6 nombrrs consécutifs

Salut nodgim,

je trouve une somme des chiffres de 65 avec 49999898 pour le plus petit nombre.

On cherche une suite de 6 nombres dont les sommes valent s ; s+1 ; s+2 ; s+3 ; s+4 ; s+5, et, éventuellement, à partir d'un certain rang, on enlève 9*k. Et ces 6 valeurs doivent être respectivement divisibles par 13 ; 11 ; 7 ; 5 ; 3 ; 2.

De s = 0 (13) et s+1 = 0 (11) on trouve s = 65 ; puis on remarque que 65 ; 66 ; 67-18 ; 68-18 ; 69-18 ; 70-18 convient. Il reste peu de cas à tester pour voir qu'on ne peut pas mieux faire.

 #7 - 30-03-2020 10:41:23

Bastidol
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 136

6 nombres cnsécutifs

Bonjour,



Code:

Il y a une multitude de nombres dont la somme des 
chiffres est égale à 793.Pour la suite il suffit de 
rester dans la même dizaine et de prendre le + petit :
3999999997, 3999999996 ,3999999995 , ......

En effet  la somme des chiffres des nombres de la suite ne vaut pas 793.

(J'ai utilisé un tableur avec un pas de 13)

Quelle est la méthode ? J'ai pensé aux clés de division .....

@+

 #8 - 30-03-2020 16:13:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

6 nombres consécutfis

@ Gwen et Ebichu: c'est la bonne réponse, bravo à vous deux !

@ Bastidol : il n'y a rien d'autre à faire que quelques essais pour arriver au résultat. Penser tout de même que si la somme des chiffres d'un nombre est n, la somme des chiffres du suivant n'est pas forcément n + 1 .

 #9 - 30-03-2020 21:18:07

JP5970
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 20

6 nombres conssécutifs

Bonsoir Nodgim,

Ma proposition de solution :

nbre -> somme des chiffres
49999898-> 65
49999899-> 66
49999900-> 49
49999901-> 50
49999902-> 51
49999903-> 52

Merci pour cette énigme qui permet de passer le temps en cette période particulière.

Cordialement.

 #10 - 31-03-2020 07:47:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

6 nombres cobsécutifs

C'est bien la solution la plus petite JP5970. Bravo !

 #11 - 01-04-2020 13:14:28

lobs89
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

6 nombres cosécutifs

La somme des chiffres de (n + 1) vaut la somme des chiffres de n auquel on ajoute 1 et auquel on soustrait neuf fois le nombre de neuf par lequel n se termine.

La somme des chiffres du 1er est un multiple de 13 :

Si 13
La somme des chiffres du deuxième peut valoir 14 - x.9 et doit être divisible par 11.
14 et 5 ne sont pas divisible par 11.

Si 26
La somme des chiffres du deuxième peut valoir 27 - x.9 et doit être divisible par 11.
Aucun n'est divisible par 11.

Si 39
La somme des chiffres du deuxième peut valoir 40 - x.9
On trouve 22 (en ayant x=2) qui est bien divisible par 11.
La somme des chiffres du deuxième doit valoir 23.
On ne peut pas rajouter le -x.9 car on vient de changer un 9 final en 0. On ne peut donc pas à nouveau être à 9.
23 n'est pas divisible par 7

Si 52
La somme des chiffres du deuxième peut valoir 53 - x.9
On trouve 44
Mais 45 n'est pas divisible par 7

Si 65
La somme des chiffres du deuxième peut valoir 66 - x.9
Cela fonctionne directement pour 66
La somme des chiffres du 3ème peut valoir 67 - x.9 et doit être divisible par 7.
On trouve 49 (avec x=2).
Ensuite 50 est bien divisible par 5, 51 par 3 et 52 par 2.

Puisque x=2, cela signifiait que le nombre n+1 se finissait par deux 9, pas plus.
La somme des autre chiffres valant 48, le nombre minimum est donc le 49.999.898.

 #12 - 01-04-2020 17:23:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

6 nombres consécitifs

Bonne analyse, lobs89.

@ tous : vous pouvez tenter la même approche avec 7 nombres consécutifs, le supplémentaire ( le plus petit des 7 ) étant divisible par 17.

 #13 - 02-04-2020 00:15:39

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 90

6 nombres conséutifs

Salut Nodgim

Bon je tente même si ce type de problème me met souvent dans le coin…

N le nb cherché. S(N) la somme de ses chiffres.
Si N se termine par 0, 1, 2, 3 ou 4, S(N+i)=S(N)+i jusqu’à S(N+5)
Donc S(N)=13a, S(N)+1=11b,…, S(N)+5=2f.
Je trouve S(N)min = 29237.
Mais N se termine peut-être par un chiffre supérieur à 5, cassant (avantageusement) le lien entre les S(N+i).
Par exemple si N se termine par 8, S(N)=13a, S(N)+1=11b, puis S(P)=7c, S(P+1)=5d… S(P) ne valant pas S(N+2). Et on devrait pouvoir faire mieux que dans le cas précédent.

Il existe toutefois une dépendance entre N et P. ici en l’occurrence N+1 se termine par 9, et P se termine par 0 (autant de 0 qu’il y a de 9 à la fin de N). Et S(P) < S(N)+1, grâce aux 0.
La contrainte s’écrit S(N+1) = S(P)+9k-1, k entier (k est le nombre exact de 9 à la fin de N+1).

Dans notre cas (avec n se terminant par 8, ce qui donne au final le meilleur résultat), je trouve S(N) = 65+143k1, et S(P)=49+210k2.
S(N)=65 et S(P)=49 conviennent, avec k=2, soit 2 ‘9’ (et seulement 2) à la fin de N+1.
Donc Nmin se termine par 898. S(N) valant 65, je trouve N=49999898.

Pour ton problème rallongé, avec 17 avant 13, 11,…
S(N)=17a puis S(N+1)=13b… le même raisonnement m’amène à un minimum pour N avec rupture entre N+2 et N+3 (N se termine par 7 donc)
On trouve S(N)=493+2431k1 et S(P)=49+210k2
Ce qui donne un S(N)min= 493, avec S(P)=469 et k=3.
Donc Nmin se termine par 8997, et N = 1(9…9)8997 avec 51 ‘9’.

Sauf si je me suis (à nouveau…) embourbé bien sûr.

 #14 - 02-04-2020 10:36:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

6 nombres cnosécutifs

@ Toufau : la démarche est correcte, mais peut-être un peu compliquée. Revois, tu as manqué le min. Il n'est pas possible d'obtenir la réponse exacte avec une démarche entièrement arithmétique.

 #15 - 02-04-2020 12:51:52

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

6 nombtes consécutifs

Idem pour 17, on passe un millier pour la division par 7 avec une somme de 493 au départ :
un truc du genre     1999..99897 avec une bonne cinquantaine de 9

 #16 - 02-04-2020 16:26:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

6 nombres consécutofs

@ Gwen : j'ai aussi cette valeur, mais sans certitude sur sa qualité de minimum. En réalité, je n'ai fait qu'un calcul sur les 6 à faire.

 #17 - 02-04-2020 19:36:10

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 90

6 nombres cinsécutifs

Bonjour Nodgim,

J’avais effectivement fumé la moquette dans mes calculs hier. Le confinement sans doute.

J’ai remis d’aplomb le premier post, avec comme résultat :
en partant de 13, N = 49999898
en partant de 17, N = 1(9…9)8997 avec 51 ‘9’.

J’espère avoir retrouvé mes esprits…

ps: toujours une démarche entièrement arithmétique...

 #18 - 03-04-2020 07:41:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

nombres consécutifs

@ Toufau : c'est bon, bravo à toi !

Comment as tu mené ta démarche " entièrement arithmétique " pour 17 ?
Pour 13, c'est abordable, pour 17, ça l'est nettement moins....

 #19 - 03-04-2020 11:55:58

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 90

6 nolbres consécutifs

Salut Nodgim,

La méthode fonctionne de la même façon, les calculs sont juste plus lourds effectivement. J’ai triché du coup, j’ai utilisé xls pour éviter de les faire à la main 😊

Par contre, les résultats du cas 13 sont intégralement réutilisables pour calculer mes S(P).
Par exemple, si N se termine par 9, S(N)=17a puis S(P)=11b,… Le S(P) vaut le S(N) du cas 13 sans rupture. Etc. Dans le cas 17, il faut donc ‘juste’ calculer le nouveau S(N).

Pour chaque cas on obtient un truc du genre S(N)=n+mK1 ; S(P)=p+qK2 ; S(N)+r-S(P)=9k-1, avec r le rang de rupture (N+r se termine par 9). Et il faut que S(N)+r>S(P), ce qui donne un K1 minimum =K'1. K1=K'1+K''1
(n+mK'1+p+r+1)+(mK''1-qK2) doit être divisible par 9. En cherchant la divibilité modulo 9, le plus petit K''1 est la réponse. Pas très subtil, mais pas très long non plus. Et quand on a le plus petit K1 qui marche, on a S(N) et le k correspondant au nb de 9 à la fin de S(N)+r. Donc on a N.

 #20 - 03-04-2020 16:09:34

nodgim
Elite de Prise2Tete
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6 nombres consécutufs

OK, vu Toufau.

 #21 - 04-04-2020 16:37:38

MarceloDudu
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 1

6 nolbres consécutifs

1er nombre de la plus petite série = 49999897...???

 #22 - 04-04-2020 18:41:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

6 nomrbes consécutifs

Pas grand chose à ajouter. Avec 13, un essai linéaire conduit rapidement à la solution.

Avec 17 en plus, c'est préférable de calculer 2 groupements qui partent de chaque extrémité : 17 - 13 - ...d'une part , 2 - 3 - 5 -.... d'autre part, puis calculer  le résultat pour avoir un raccord modulo de 9.

Jusqu'à  n <=10 nombres consécutifs, il y a normalement n-1 calculs à comparer, car n-1 endroits où se trouve le raccord modulo 9.

 

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