Bonsoir

Le rayon du grand cercle ne serait pas plutôt [latex]\sqrt{3}[/latex] ?


[TeX]A=\frac{\sqrt{3}}2[/TeX]
[TeX]A+B=\frac{\pi}{3}[/TeX]
[TeX]B+C=\frac{\pi}{4}[/TeX]
[TeX]A+B+C+D=\frac{2\pi}{3}[/TeX]
[TeX]B+C+D+E=\frac{3\pi}{4}[/TeX][TeX]C+E= (B+C+D+E)-(A+B+C+D)+(B+C)-(A+B)+2A[/TeX]
[TeX]C+E= \frac{3\pi}{4}-\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}+\sqrt{3}=\sqrt{3}[/TeX]
L'aire cherchée est [latex]4\sqrt{3}[/latex]

Toujours plaisant de voir disparaître [latex]\pi[/latex]

Vasimolo

PS : Si le rayon du petit cercle devient 1/2 l'aire en bleue est divisée par 4 donc le résultat : [latex]\sqrt{3}[/latex]

J'essaie [latex]9\pi/4-sqrt3[/latex] sans avoir le courage de vérifier mes calculs.

Bonjour,



On a

OA = 1/2
OB = √3 /2
AC = AB = AD = 1

Calculons l'aire de la lunule jaune :

S1 : Surface d'un secteur circulaire de rayon AC et d'ouverture 120°
S1 = π/3

S2 : surface du triangle isocèle ABD
S2 = OA x OB
S2 = √3 / 4

La lunule jaune a une aire valant S1-S2 soit :  π/3 - √3 / 4

Donc les deux "grandes" lunules bleues (extérieur gauche et droite) sur le dessin de l'énoncé ont une surface égale à π x (√3/2)² - [π/3 - √3 / 4 ] x 2
soit    π/12 + √3 /2



on a :
OA = 1/2
OD = √3 /2
AC = 1
AD = 1


Calculons l'aire de la lunule mauve :

S1' : Surface d'un secteur circulaire de rayon AC et d'ouverture 60°
S1' = π/6

S2' : surface du triangle isocèle ADC
S2' = OA x OD
S2' = √3 / 4


La lunule mauve a une aire valant S1'-S2' soit :  π/6 - √3 / 4


Donc les deux "petites" lunules (intérieur haut et bas) sur le dessin initial on une surface égale à
π x (1/2)² - [π/6 - √3 / 4 ] x 2
soit √3 /2 - π/12

Donc l'aire totale des lunules bleues est :
π/12 + √3 /2 + √3 /2 - π/12 soit √3


(il y avait certainement + simple pour en arriver là, en tous cas cette aire calculée est bien inférieure à la surface du disque externe complet qui est de 3π/4 et en représente en gros 73,5%)

Joli problème! Pas évident d'y reconnaître les lunules d'Hippocrate.

Du coup je me suis perdu dans mes additions et soustractions d'aires