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 #1 - 27-03-2010 10:53:48

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

uLnules Bis

Quelle est l'aire totale des lunules bleues :

http://www.prise2tete.fr/upload/schaff60-lunule1.jpg

Une regrettable erreur d'imprimerie a été relevée , il fallait lire :

Pour être précis, le petit cercle a un diamètre de 1 unité et le grand par construction de [latex] \sqrt{3}[/latex], étant égal à 2 fois la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 1



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Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme
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 #2 - 27-03-2010 11:56:56

DexterMorgan
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 6
Messages : 4

lunulrs bis

1,5 :d

 #3 - 27-03-2010 18:00:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Luunules Bis

Bonsoir smile

Le rayon du grand cercle ne serait pas plutôt [latex]\sqrt{3}[/latex] ?

http://img714.imageshack.us/img714/574/lunule2.jpg
[TeX]A=\frac{\sqrt{3}}2[/TeX]
[TeX]A+B=\frac{\pi}{3}[/TeX]
[TeX]B+C=\frac{\pi}{4}[/TeX]
[TeX]A+B+C+D=\frac{2\pi}{3}[/TeX]
[TeX]B+C+D+E=\frac{3\pi}{4}[/TeX][TeX]C+E= (B+C+D+E)-(A+B+C+D)+(B+C)-(A+B)+2A[/TeX]
[TeX]C+E= \frac{3\pi}{4}-\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}+\sqrt{3}=\sqrt{3}[/TeX]
L'aire cherchée est [latex]4\sqrt{3}[/latex]

Toujours plaisant de voir disparaître [latex]\pi[/latex] big_smile

Vasimolo

PS : Si le rayon du petit cercle devient 1/2 l'aire en bleue est divisée par 4 donc le résultat : [latex]\sqrt{3}[/latex] smile

 #4 - 28-03-2010 01:49:28

Galaad
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 6

Luunles Bis

Salut,

je trouve une aire égale à [latex]2\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}[/latex].

A l'intérieur : [latex]\frac{\sqrt{3}}2-\frac{\pi}{12}[/latex] et
à l'extérieur : [latex]\frac{3\sqrt{3}}2-\frac{\pi}4[/latex].

 #5 - 28-03-2010 21:54:49

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

lunulzs bis

J'essaie [latex]9\pi/4-sqrt3[/latex] sans avoir le courage de vérifier mes calculs.

 #6 - 29-03-2010 20:06:50

ganimah
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 94

Lnules Bis

Salut tongue

Je commence par calculer l'aire d'une petite lunule:
[TeX]\pi \left (\frac{1}{2}\right )^2 - \left [ \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right ][/TeX]
Le tout fois deux pour les deux petites lunules

Passons aux grandes lunules

pour une grande lunule :
[TeX]\pi (\sqrt{3})^2 - \left [ \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right ][/TeX]
le tout fois deux pour les deux grandes lunules

en additionnant l'aire de toutes les lunules  et en simplifiant j'arrive à une aire totale de [latex]\frac{9\pi}{4} - \sqrt{3}[/latex]

big_smile Merci lol

 #7 - 30-03-2010 11:55:57

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1747

Lunules BBis

Bonjour,

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-Lunulebis_1.jpg

On a

OA = 1/2
OB = √3 /2
AC = AB = AD = 1

Calculons l'aire de la lunule jaune :

S1 : Surface d'un secteur circulaire de rayon AC et d'ouverture 120°
S1 = π/3

S2 : surface du triangle isocèle ABD
S2 = OA x OB
S2 = √3 / 4

La lunule jaune a une aire valant S1-S2 soit :  π/3 - √3 / 4

Donc les deux "grandes" lunules bleues (extérieur gauche et droite) sur le dessin de l'énoncé ont une surface égale à π x (√3/2)² - [π/3 - √3 / 4 ] x 2
soit    π/12 + √3 /2


http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-Lunulebis_2.jpg
on a :
OA = 1/2
OD = √3 /2
AC = 1
AD = 1


Calculons l'aire de la lunule mauve :

S1' : Surface d'un secteur circulaire de rayon AC et d'ouverture 60°
S1' = π/6

S2' : surface du triangle isocèle ADC
S2' = OA x OD
S2' = √3 / 4


La lunule mauve a une aire valant S1'-S2' soit :  π/6 - √3 / 4


Donc les deux "petites" lunules (intérieur haut et bas) sur le dessin initial on une surface égale à
π x (1/2)² - [π/6 - √3 / 4 ] x 2
soit √3 /2 - π/12

Donc l'aire totale des lunules bleues est :
π/12 + √3 /2 + √3 /2 - π/12 soit √3



(il y avait certainement + simple pour en arriver là, en tous cas cette aire calculée est bien inférieure à la surface du disque externe complet qui est de 3π/4 et en représente en gros 73,5%)


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #8 - 30-03-2010 12:47:52

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

Luunles Bis

Bravo à Vasimolo et NickoGecko et merci aux autres d'avoir cherché.

Il y avait effectivement beaucoup plus simple pour trouver la solution .........à condition de connaître un théorème vieux de 2500 ans, le théorème des 2 lunules, qui se résume ainsi : l'aire des 2 lunules bleues est égale à l'aire du triangle rectangle vert inscrit dans le cercle :
http://www.prise2tete.fr/upload/schaff60-lunule2.jpg

La démonstration en est très simple et peut se trouver sur Wikipédia :

lunules

Vasimolo a repris en fait en partie la démonstration du théorème.

Pour le problème posé, j'avais modifié l'emplacement des lunules et la solution revient à dire que l'aire des lunules est égale à l'aire du rectangle de côté 1 inscrit dans un cercle de rayon 1 : [latex] \sqrt{3}[/latex]

Et comme il est dit il est très surprenant de voir disparaître Pi de ce résultat


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #9 - 30-03-2010 16:35:53

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

lunulzs bis

Joli problème! Pas évident d'y reconnaître les lunules d'Hippocrate.

Du coup je me suis perdu dans mes additions et soustractions d'aires roll

 #10 - 30-03-2010 19:29:21

ganimah
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 94

lunulrs bis

j'y avais même pas pensé à ce théorème mad

 

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