Enigme Avec les racines @ Prise2Tete

Azdod · #1

Voilà un petit exercice que j'ai trouvé dans les olympiades des mathématiques et que j'ai aimé le partager avec vous.
Le but est de montrez que A est un entier naturel ...

Vasimolo · #2

Pas facile sans LaTeX

Vasimolo

kossi_tg · #3

9+4*racine(2)=(1+2*racine(2))^2
3+2*racine(2)=(1+racine(2))^2
13+30+30*racine(2)=25+18+2*5*3*racine(2)=(5+3*racine(2))^2

A=5+3*racine(2)-racine(18)=5+3*racine(2)-3*racine(2)=5 CQFD

halloduda · #4

5

nodgim · #5

V(9+4v2)=2v2+1
V(2+2v2+1)=v(3+2v2)=v2+1
V(13+30(v2+1))=V(43+60v2)=3v2+5
3v2+5-v18=3v2+5-3v2=5

ça parait impossible au 1er regard qu'on puisse aboutir à un entier...

unecoudée · #6

salut.
Toujours pas de latex . que c'est agréable sur un forum de math.

il faut démontrer que le premier terme de la soustraction est égal à : n + V18

Il faudra donc utiliser l'identité remarquable (a+b)²

a) 9 + 4V2 = (1 + 2V2)² ---> n+V18 = SQRT [13 + 30.SQRT (3+2V2)]

b) mais 3 + 2V2 = (1+V2)² ---> n + V18 = SQRT [13 + 30.(1+V2)]

c) n + V18 = SQRT [13 + 30.(1+V2)] = SQRT [43 + 30V2]

d) 43 + 30V2 = 25 + 30V2 + 18 = ( 5 + 3V2)² = (5 + V18)²

donc SQRT [ 43 + 30V2 ] = SQRT [ (5 + V18)² ] = 5 + V18

et A = 5 + V18 - V18 = 5 C.Q.F.D.

dbab3000 · #7

On a
√(9+4√2)=√(1+4√2+8)=√(1+2√2)²=1+2√2
√(2+2√2+1)=√(√2+1)²=√2+1
30(√2+1)=30√2+30
√(13+30√2+30)=√(25+30√2+18)=√(5+3√2)²=5+√18
A=5+√18−√18=5
A=5 donc c'est un entier
Bonne journée

enigmatus · #8

Bonsoir,

Code:

B = sqrt(9+4*sqrt(2)) = sqrt((1+2*sqrt(2))**2)
  = 1+2*sqrt(2)
C = sqrt(2+B) = sqrt(2+1+2*sqrt(2)) = sqrt(3+2*sqrt(2))
  = sqrt((1+sqrt(2))**2) = 1+sqrt(2)
D = sqrt(13+30*C) = sqrt(13+30+30*sqrt(2))
  = sqrt(43+30*sqrt(2)) = sqrt((5+3*sqrt(2))**2)
  = 5+3*sqrt(2)
A = D - sqrt(18) = 5 + 3*sqrt(2) - 3*sqrt(2)
A = 5

franck9525 · #9

Reponse 5
9+4rac2=(1+2rac2)^2
3+2rac2=(1+rac2)^2
43+30rac2=(5+rac18)^2
et sans papier

Franky1103 · #10

Bonjour pour écrire des équations sans latex. L’idée est de se débarrasser des racines carrées (en élevant au carré). A la fin, on a une expression du type: M+N.V2 = 0, ce qui implique: M = 0 et N = 0, puisque M et N sont des entiers. Allons-y:

A = V(13+30.V(2+V(9+4.V2)))-V18
=> A = V(13+30.V(2+V(9+4.V2)))- 3.V2
=> (A+3.V2)^2 = 13+30.V(2+V(9+4.V2))
=> A^2+6.A.V2+5 = 30.V(2+V(9+4.V2))
=> A^4+72.A^2+25+12.V2.A^3 +10.A^2+60.V2.A = 1800+900.V(9+4.V2)
=> A^4+12.V2.A^3 +82.A^2+60.V2.A -1775 = 900.V(9+4.V2)
=> A^8+24.V2.A^7+452.A^6+2088.V2.A^5+6054.A^4-32760.V2.A^3-283900.A^2
-213000.V2.A-4139375-3240000.V2 = 0
=> A^8+452.A^6+6054.A^4-283900.A^2-4139375 = 0
et: 24.A^7+2088.A^5-32760.A^3-213000.A-3240000 = 0
=> A=5 fait partie à la fois des solutions de la première équation et de celles de la seconde équation

Donc: A=5

Azdod · #11

Bonnes réponses !
Franky1103 a compliqué un petit peu la méthode de résolution

Franky1103 · #12

J'ai bien une méthode plus simple ... avec la calculette, mais je crains qu'elle soit hors jeu.

micplour · #13

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