Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 02-03-2015 22:44:17

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Avec lles racines

Voilà un petit exercice que j'ai trouvé dans les olympiades des mathématiques et que j'ai aimé le partager avec vous.
Le but est de montrez que A est un entier naturel ...
http://www.prise2tete.fr/upload/Azdod-12.PNG


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 03-03-2015 08:43:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,270E+3

Avec les racins

Pas facile sans LaTeX smile

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Racinesde2.png

Vasimolo

 #3 - 03-03-2015 19:20:17

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 307
Lieu: Montargis

Avce les racines

9+4*racine(2)=(1+2*racine(2))^2
3+2*racine(2)=(1+racine(2))^2
13+30+30*racine(2)=25+18+2*5*3*racine(2)=(5+3*racine(2))^2

A=5+3*racine(2)-racine(18)=5+3*racine(2)-3*racine(2)=5 CQFD

 #4 - 03-03-2015 22:50:18

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 495
Lieu: Ardèche

Avec les raacines

5

 #5 - 04-03-2015 08:05:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3801

Avec les racnes

V(9+4v2)=2v2+1
V(2+2v2+1)=v(3+2v2)=v2+1
V(13+30(v2+1))=V(43+60v2)=3v2+5
3v2+5-v18=3v2+5-3v2=5

ça parait impossible au 1er regard qu'on puisse aboutir à un entier...

 #6 - 04-03-2015 09:20:47

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 315

Avec les racine

salut.
Toujours pas de latex . que c'est agréable sur un forum de math.

il faut démontrer que le premier terme de la soustraction est égal à : n + V18

Il faudra donc utiliser l'identité remarquable (a+b)²

a)  9 + 4V2 = (1 + 2V2)²  --->  n+V18 = SQRT [13 + 30.SQRT (3+2V2)]

b) mais 3 + 2V2 = (1+V2)²  ---> n + V18 = SQRT [13 + 30.(1+V2)]

c) n + V18 = SQRT [13 + 30.(1+V2)] = SQRT [43 + 30V2]

d)  43 + 30V2 = 25 + 30V2 + 18 = ( 5 + 3V2)² = (5 + V18)²

donc SQRT [ 43 + 30V2 ] = SQRT [ (5 + V18)² ] = 5 + V18

et A = 5 + V18 - V18 = 5      C.Q.F.D.

 #7 - 04-03-2015 13:53:06

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 111

Avec les racies

On a
√(9+4√2)=√(1+4√2+8)=√(1+2√2)²=1+2√2
√(2+2√2+1)=√(√2+1)²=√2+1
30(√2+1)=30√2+30
√(13+30√2+30)=√(25+30√2+18)=√(5+3√2)²=5+√18
A=5+√18−√18=5
A=5 donc c'est un entier
Bonne journée

 #8 - 04-03-2015 21:42:11

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 561

Avec lles racines

Bonsoir,

Code:

B = sqrt(9+4*sqrt(2)) = sqrt((1+2*sqrt(2))**2)
  = 1+2*sqrt(2)
C = sqrt(2+B) = sqrt(2+1+2*sqrt(2)) = sqrt(3+2*sqrt(2))
  = sqrt((1+sqrt(2))**2) = 1+sqrt(2)
D = sqrt(13+30*C) = sqrt(13+30+30*sqrt(2))
  = sqrt(43+30*sqrt(2)) = sqrt((5+3*sqrt(2))**2)
  = 5+3*sqrt(2)
A = D - sqrt(18) = 5 + 3*sqrt(2) - 3*sqrt(2)
A = 5

 #9 - 04-03-2015 22:45:04

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1935
Lieu: 86310

Avec els racines

Reponse 5
9+4rac2=(1+2rac2)^2
3+2rac2=(1+rac2)^2
43+30rac2=(5+rac18)^2
et sans papier


The proof of the pudding is in the eating.

 #10 - 05-03-2015 15:00:45

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3146
Lieu: Luxembourg

Avec les racinees

Bonjour pour écrire des équations sans latex. L’idée est de se débarrasser des racines carrées (en élevant au carré). A la fin, on a une expression du type: M+N.V2 = 0, ce qui implique: M = 0 et N = 0, puisque M et N sont des entiers. Allons-y:

A = V(13+30.V(2+V(9+4.V2)))-V18
=> A = V(13+30.V(2+V(9+4.V2)))- 3.V2
=> (A+3.V2)^2 = 13+30.V(2+V(9+4.V2))
=> A^2+6.A.V2+5 = 30.V(2+V(9+4.V2))
=> A^4+72.A^2+25+12.V2.A^3 +10.A^2+60.V2.A = 1800+900.V(9+4.V2)
=> A^4+12.V2.A^3 +82.A^2+60.V2.A -1775 = 900.V(9+4.V2)
=> A^8+24.V2.A^7+452.A^6+2088.V2.A^5+6054.A^4-32760.V2.A^3-283900.A^2
-213000.V2.A-4139375-3240000.V2 = 0
=> A^8+452.A^6+6054.A^4-283900.A^2-4139375 = 0
et: 24.A^7+2088.A^5-32760.A^3-213000.A-3240000 = 0
=> A=5 fait partie à la fois des solutions de la première équation et de celles de la seconde équation

Donc: A=5

 #11 - 05-03-2015 15:17:06

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Avec les rcines

Bonnes réponses !
Franky1103 a compliqué un petit peu la méthode de résolution smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #12 - 05-03-2015 20:44:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3146
Lieu: Luxembourg

avec les racinrs

J'ai bien une méthode plus simple ... avec la calculette, mais je crains qu'elle soit hors jeu. big_smile

 #13 - 15-03-2015 15:37:09

micplour
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

avec mes racines

facile = 5

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Dans une course, vous doublez le 19ème, en quelle position êtes-vous ?

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete