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 #1 - 02-03-2015 22:44:17

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Avce les racines

Voilà un petit exercice que j'ai trouvé dans les olympiades des mathématiques et que j'ai aimé le partager avec vous.
Le but est de montrez que A est un entier naturel ...
http://www.prise2tete.fr/upload/Azdod-12.PNG



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 #2 - 03-03-2015 08:43:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4907

avrc les racines

Pas facile sans LaTeX smile

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Racinesde2.png

Vasimolo

 #3 - 03-03-2015 19:20:17

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 303
Lieu: Montargis

vAec les racines

9+4*racine(2)=(1+2*racine(2))^2
3+2*racine(2)=(1+racine(2))^2
13+30+30*racine(2)=25+18+2*5*3*racine(2)=(5+3*racine(2))^2

A=5+3*racine(2)-racine(18)=5+3*racine(2)-3*racine(2)=5 CQFD

 #4 - 03-03-2015 22:50:18

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Ardèche

Avec les raines

5

 #5 - 04-03-2015 08:05:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Avec lse racines

V(9+4v2)=2v2+1
V(2+2v2+1)=v(3+2v2)=v2+1
V(13+30(v2+1))=V(43+60v2)=3v2+5
3v2+5-v18=3v2+5-3v2=5

ça parait impossible au 1er regard qu'on puisse aboutir à un entier...

 #6 - 04-03-2015 09:20:47

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 206

Avec es racines

salut.
Toujours pas de latex . que c'est agréable sur un forum de math.

il faut démontrer que le premier terme de la soustraction est égal à : n + V18

Il faudra donc utiliser l'identité remarquable (a+b)²

a)  9 + 4V2 = (1 + 2V2)²  --->  n+V18 = SQRT [13 + 30.SQRT (3+2V2)]

b) mais 3 + 2V2 = (1+V2)²  ---> n + V18 = SQRT [13 + 30.(1+V2)]

c) n + V18 = SQRT [13 + 30.(1+V2)] = SQRT [43 + 30V2]

d)  43 + 30V2 = 25 + 30V2 + 18 = ( 5 + 3V2)² = (5 + V18)²

donc SQRT [ 43 + 30V2 ] = SQRT [ (5 + V18)² ] = 5 + V18

et A = 5 + V18 - V18 = 5      C.Q.F.D.

 #7 - 04-03-2015 13:53:06

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 111

Avec les raciness

On a
√(9+4√2)=√(1+4√2+8)=√(1+2√2)²=1+2√2
√(2+2√2+1)=√(√2+1)²=√2+1
30(√2+1)=30√2+30
√(13+30√2+30)=√(25+30√2+18)=√(5+3√2)²=5+√18
A=5+√18−√18=5
A=5 donc c'est un entier
Bonne journée

 #8 - 04-03-2015 21:42:11

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 433

Ave cles racines

Bonsoir,

Code:

B = sqrt(9+4*sqrt(2)) = sqrt((1+2*sqrt(2))**2)
  = 1+2*sqrt(2)
C = sqrt(2+B) = sqrt(2+1+2*sqrt(2)) = sqrt(3+2*sqrt(2))
  = sqrt((1+sqrt(2))**2) = 1+sqrt(2)
D = sqrt(13+30*C) = sqrt(13+30+30*sqrt(2))
  = sqrt(43+30*sqrt(2)) = sqrt((5+3*sqrt(2))**2)
  = 5+3*sqrt(2)
A = D - sqrt(18) = 5 + 3*sqrt(2) - 3*sqrt(2)
A = 5

 #9 - 04-03-2015 22:45:04

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1931
Lieu: UK

Avec les raccines

Reponse 5
9+4rac2=(1+2rac2)^2
3+2rac2=(1+rac2)^2
43+30rac2=(5+rac18)^2
et sans papier


The proof of the pudding is in the eating.

 #10 - 05-03-2015 15:00:45

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2822
Lieu: Luxembourg

Avec less racines

Bonjour pour écrire des équations sans latex. L’idée est de se débarrasser des racines carrées (en élevant au carré). A la fin, on a une expression du type: M+N.V2 = 0, ce qui implique: M = 0 et N = 0, puisque M et N sont des entiers. Allons-y:

A = V(13+30.V(2+V(9+4.V2)))-V18
=> A = V(13+30.V(2+V(9+4.V2)))- 3.V2
=> (A+3.V2)^2 = 13+30.V(2+V(9+4.V2))
=> A^2+6.A.V2+5 = 30.V(2+V(9+4.V2))
=> A^4+72.A^2+25+12.V2.A^3 +10.A^2+60.V2.A = 1800+900.V(9+4.V2)
=> A^4+12.V2.A^3 +82.A^2+60.V2.A -1775 = 900.V(9+4.V2)
=> A^8+24.V2.A^7+452.A^6+2088.V2.A^5+6054.A^4-32760.V2.A^3-283900.A^2
-213000.V2.A-4139375-3240000.V2 = 0
=> A^8+452.A^6+6054.A^4-283900.A^2-4139375 = 0
et: 24.A^7+2088.A^5-32760.A^3-213000.A-3240000 = 0
=> A=5 fait partie à la fois des solutions de la première équation et de celles de la seconde équation

Donc: A=5

 #11 - 05-03-2015 15:17:06

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Avec les raicnes

Bonnes réponses !
Franky1103 a compliqué un petit peu la méthode de résolution smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #12 - 05-03-2015 20:44:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2822
Lieu: Luxembourg

Avc les racines

J'ai bien une méthode plus simple ... avec la calculette, mais je crains qu'elle soit hors jeu. big_smile

 #13 - 15-03-2015 15:37:09

micplour
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Avec les racies

facile = 5

 

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