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 #1 - 02-03-2015 22:44:17

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Avec es racines

Voilà un petit exercice que j'ai trouvé dans les olympiades des mathématiques et que j'ai aimé le partager avec vous.
Le but est de montrez que A est un entier naturel ...
http://www.prise2tete.fr/upload/Azdod-12.PNG



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 #2 - 03-03-2015 08:43:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

avec les eacines

Pas facile sans LaTeX smile

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Racinesde2.png

Vasimolo

 #3 - 03-03-2015 19:20:17

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Avec les racinse

9+4*racine(2)=(1+2*racine(2))^2
3+2*racine(2)=(1+racine(2))^2
13+30+30*racine(2)=25+18+2*5*3*racine(2)=(5+3*racine(2))^2

A=5+3*racine(2)-racine(18)=5+3*racine(2)-3*racine(2)=5 CQFD

 #4 - 03-03-2015 22:50:18

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 483
Lieu: Ardèche

Avc les racines

5

 #5 - 04-03-2015 08:05:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

avec les tacines

V(9+4v2)=2v2+1
V(2+2v2+1)=v(3+2v2)=v2+1
V(13+30(v2+1))=V(43+60v2)=3v2+5
3v2+5-v18=3v2+5-3v2=5

ça parait impossible au 1er regard qu'on puisse aboutir à un entier...

 #6 - 04-03-2015 09:20:47

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 202

avec les racineq

salut.
Toujours pas de latex . que c'est agréable sur un forum de math.

il faut démontrer que le premier terme de la soustraction est égal à : n + V18

Il faudra donc utiliser l'identité remarquable (a+b)²

a)  9 + 4V2 = (1 + 2V2)²  --->  n+V18 = SQRT [13 + 30.SQRT (3+2V2)]

b) mais 3 + 2V2 = (1+V2)²  ---> n + V18 = SQRT [13 + 30.(1+V2)]

c) n + V18 = SQRT [13 + 30.(1+V2)] = SQRT [43 + 30V2]

d)  43 + 30V2 = 25 + 30V2 + 18 = ( 5 + 3V2)² = (5 + V18)²

donc SQRT [ 43 + 30V2 ] = SQRT [ (5 + V18)² ] = 5 + V18

et A = 5 + V18 - V18 = 5      C.Q.F.D.

 #7 - 04-03-2015 13:53:06

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 111

Avec les rcaines

On a
√(9+4√2)=√(1+4√2+8)=√(1+2√2)²=1+2√2
√(2+2√2+1)=√(√2+1)²=√2+1
30(√2+1)=30√2+30
√(13+30√2+30)=√(25+30√2+18)=√(5+3√2)²=5+√18
A=5+√18−√18=5
A=5 donc c'est un entier
Bonne journée

 #8 - 04-03-2015 21:42:11

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 420

Avec les racies

Bonsoir,

Code:

B = sqrt(9+4*sqrt(2)) = sqrt((1+2*sqrt(2))**2)
  = 1+2*sqrt(2)
C = sqrt(2+B) = sqrt(2+1+2*sqrt(2)) = sqrt(3+2*sqrt(2))
  = sqrt((1+sqrt(2))**2) = 1+sqrt(2)
D = sqrt(13+30*C) = sqrt(13+30+30*sqrt(2))
  = sqrt(43+30*sqrt(2)) = sqrt((5+3*sqrt(2))**2)
  = 5+3*sqrt(2)
A = D - sqrt(18) = 5 + 3*sqrt(2) - 3*sqrt(2)
A = 5

 #9 - 04-03-2015 22:45:04

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1927
Lieu: UK

avzc les racines

Reponse 5
9+4rac2=(1+2rac2)^2
3+2rac2=(1+rac2)^2
43+30rac2=(5+rac18)^2
et sans papier


The proof of the pudding is in the eating.

 #10 - 05-03-2015 15:00:45

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2798
Lieu: Luxembourg

acec les racines

Bonjour pour écrire des équations sans latex. L’idée est de se débarrasser des racines carrées (en élevant au carré). A la fin, on a une expression du type: M+N.V2 = 0, ce qui implique: M = 0 et N = 0, puisque M et N sont des entiers. Allons-y:

A = V(13+30.V(2+V(9+4.V2)))-V18
=> A = V(13+30.V(2+V(9+4.V2)))- 3.V2
=> (A+3.V2)^2 = 13+30.V(2+V(9+4.V2))
=> A^2+6.A.V2+5 = 30.V(2+V(9+4.V2))
=> A^4+72.A^2+25+12.V2.A^3 +10.A^2+60.V2.A = 1800+900.V(9+4.V2)
=> A^4+12.V2.A^3 +82.A^2+60.V2.A -1775 = 900.V(9+4.V2)
=> A^8+24.V2.A^7+452.A^6+2088.V2.A^5+6054.A^4-32760.V2.A^3-283900.A^2
-213000.V2.A-4139375-3240000.V2 = 0
=> A^8+452.A^6+6054.A^4-283900.A^2-4139375 = 0
et: 24.A^7+2088.A^5-32760.A^3-213000.A-3240000 = 0
=> A=5 fait partie à la fois des solutions de la première équation et de celles de la seconde équation

Donc: A=5

 #11 - 05-03-2015 15:17:06

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

avec les racineq

Bonnes réponses !
Franky1103 a compliqué un petit peu la méthode de résolution smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #12 - 05-03-2015 20:44:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2798
Lieu: Luxembourg

Avec lees racines

J'ai bien une méthode plus simple ... avec la calculette, mais je crains qu'elle soit hors jeu. big_smile

 #13 - 15-03-2015 15:37:09

micplour
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

avec les racinrs

facile = 5

 

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