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 #1 - 21-05-2020 22:52:06

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

Une urne et des boules, comme c'est orriginal...

Bonjour à tous,

voici un petit problème de probabilités qui m'a été soufflé par mon amie Éris.

Une urne opaque contient des boules indiscernables au toucher, de sorte que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.

On sait qu'il y a 3 boules noires, et aussi des boules blanches, mais on ne sait pas s'il y a 2 boules blanches ou s'il y en a 3.

Afin d'estimer le nombre de boules blanches, on effectue 149 tirages avec remise. Au total, on a obtenu 67 boules blanches, et 82 boules noires.

Quel est le nombre de boules blanches dans l'urne le plus probable ?



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 #2 - 22-05-2020 08:51:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Une une et des boules, comme c'est original...

Bonjour Ebichu

On est amené à comparer [latex]5^{149}[/latex] et [latex]2^{116}\times 3^{82}[/latex] ce qui est immédiat en passant par les logs . La différence est assez petite mais [latex]5^{149}>2^{116}\times 3^{82}[/latex] c'est à dire qu'il y a plus de chance d'avoir trois boules blanches que deux .

Vasimolo

 #3 - 22-05-2020 11:03:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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une urne et des boules, comme c'est priginal...

67/149 est légèrement plus près de 2/5 que de 3/6, donc plutôt 2 blanches, mais il y a peut être un piège....

 #4 - 22-05-2020 11:43:01

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Une urne et des boulees, comme c'est original...

Si on regarde maintenant P2/P3 ( proba 2 boules blanches / proba 3 boules blanches) on se rend compte que c'est < 1 ( 0,99974....) ce qui tendrait à donner un léger avantage à 3 boules blanches plutôt que 2.

Mais il faut relativiser: la proba d'obtenir cette configuration ( tirage de 67 blanches parmi 149 ) est à peine plus que 3 %. La première fois qu'on arrive à obtenir un tel événement, il y a pratiquement autant de chances qu'il y a dans le sac 2 ou 3 blanches. Aussi, on peut dire que cet événement est improbable : sur 149 tirages, on obtiendra normalement un rapport B/N bien plus significatif, soit plus près de 1/2 si 3 boules blanches et plus près de 2/5 si 2 boules blanches.

 #5 - 23-05-2020 11:31:09

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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une urne et des boules, comme v'est original...

@Vasimolo : en effet. Mais un raisonnement bien plus simple amène à la conclusion inverse, le vois-tu ?

@nodgim : bien vu pour les deux interprétations, c'est en effet cela, la question posée. Quelle est la bonne ? En ce qui concerne ta conclusion, d'une part, 3% ce n'est pas si rare, et de toute façon, raisonnons en mathématiciens : si c'est différent de zéro, alors ça n'est pas impossible. Et dans ce cas, quel est le choix qui donne une meilleure chance de réussite ?

 #6 - 23-05-2020 12:04:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Une urne et des boule, comme c'est original...

Je l'ai dit : 3 blanches, mais de peu.....

 #7 - 23-05-2020 12:04:19

Vasimolo
Le pâtissier
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Une urne et des boules, comme c'est orignal...

Il y a sûrement plusieurs interprétations , mais la question n'est pas vraiment claire smile

"Quel le nombre de boules blanches dans l'urne le plus probable ?"

Vasimolo

 #8 - 23-05-2020 13:08:08

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Une urne et des bolues, comme c'est original...

@Vasimolo : et si je te posais la question ainsi ?

On te donne 1000 € si tu trouves le contenu de l'urne. Que vaut-il mieux que tu joues, 2 boules blanches ou 3 boules blanches ?

 #9 - 23-05-2020 13:15:44

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Une urne et des boule,s comme c'est original...

@nodgim : au début, je pensais comme toi. Mais voici un argument qui me fait douter.

Spoiler : [Afficher le message] Imaginons que l'urne ait été préalablement remplie par un robot qui, 2 fois sur 3, met 2 boules blanches, et 1 fois sur 3, met 3 boules blanches. Alors, si tu refais le calcul, tu obtiens qu'il est plus probable, sachant qu'on a obtenu 67 boules blanches, d'être dans le cas où il y a 2 boules blanches.

Ton deuxième calcul repose implicitement sur l'hypothèse que le cas où l'urne contient 2 boules blanches, et celui où elle contient 3 boules blanches sont équiprobables. Sauf qu'on ne connaît pas leurs probabilités réelles. Dire que c'est 1/2, n'est-ce pas comme dire qu'on a une chance sur deux de mourir de la chute d'une météorite, et une chance sur deux de mourir d'autre chose ?

Et dans ces conditions, ton premier calcul ne serait-il pas finalement plus raisonnable ?

 #10 - 23-05-2020 16:40:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
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unz urne et des boules, comme c'est original...

Quand j'ai écrit P2/P3 < 1, C'est que j'ai fait le calcul:

P2 = C (149,67) * (2/5) ^ 87 * (3/5)^82

P3 = C(149,67) * (1/2) ^149

Pourquoi chercher autre chose ?

 #11 - 23-05-2020 17:22:33

Vasimolo
Le pâtissier
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unr urne et des boules, comme c'est original...

Bon d'accord , on est dans le Monthy-Hall ou le M et Mme ont deux enfants , un garçon ouvre la porte ...

C'est évidemment sans réponse .

Il ne manquait pas un verbe à ta question ?

Vasimolo

 #12 - 23-05-2020 22:49:09

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Messages : 886

Une urne et des boulees, comme c'est original...

@nodgim : j'avais compris que c'était cela, ton calcul. Mais je le mets en doute pour la raison que j'ai mise en spoiler. Tu fais une hypothèse implicite, et je ne vois pas ce qui justifie cette hypothèse.

@Vasimolo : en effet, j'avais oublié le verbe... Dans Monty-Hall, pour moi, le paradoxe se lève sans souci. Les autres choses auxquelles tu fais référence, je ne vois pas ce que c'est.

Ici, tu dis que «c'est évidemment sans réponse», et cela m'inquiète. On fait ce que dans le programme actuel de lycée, on appelle de l'estimation : comme dans un sondage de sortie des urnes, ou quand on fait une étude médicale, on essaie d'estimer une proportion à partir d'un échantillon. Je veux bien accepter que c'est sans réponse, mais il faut me le justifier, car cela impliquerait que l'estimation n'a pas de bases solides ?

 #13 - 24-05-2020 12:07:04

Vasimolo
Le pâtissier
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une urne et des boules, comme v'est original...

Non , j'ai cherché des choses compliquées en me disant que chercher la probabilité du tirage dans l'urne 3N+3B ne pouvait être comparée à celle de l'urne 3N+2B . En fait ça marche très bien . Je me suis laissé déstabiliser par ta remarque avec un résultat inverse mais je vois l'idée maintenant ( je n'y avais pas pensé une seconde ) . Dans une des urnes on a plus de chance de tirer une majorité de boules noires alors que dans l'autre les chances sont égales . Comme on a tiré plus de boules noires , il y a de grandes chances pour que l'on n'ait que deux boules blanches .

Je marche toujours sur des œufs dans ces problèmes de proba , tellement les résultats sont souvent contre-intuitifs .

Vasimolo

 #14 - 24-05-2020 12:35:32

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
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Une urne et des bouules, comme c'est original...

Salut Ebichu,

Ça sent un peu le piège. Et sur les probas quand il y a un piège, en général je tombe dedans…

Premier raisonnement, catégorie ‘stupide’.
Le pic de proba pour 2 blanches devrait être à 59,6 (149*2/3), et à 74,5 pour 3 blanches (149*1/2).  Avec 67 blanches, on est (très légèrement) plus proche de 59,6. On pourrait imaginer que la proba est légèrement en faveur de 2 blanches.

Second raisonnement, catégorie ‘moins stupide’ ?
Si 2 blanches, proba d’obtenir 67 blanches sur 149 = [(2/5)^67]*[(3/5)^82]*149!/(67!*82!)
Si 3 blanches = [(1/2)^149]*149!/(67!*82!)
Ratio p(2b)/p(3b) = [(24/25)^67]*[(6/5)^15] = 0,99975. Donc proba (très légèrement) supérieure d’obtenir ce tirage avec 3 boules blanches. Mais je n’y joue pas ma chemise.

Et qu’en est-il si, au cours du tirage de 149, on note un point de passage intermédiaire, par exemple 23 blanches au bout de 50 tirages ?

 #15 - 25-05-2020 00:37:36

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

Une urne et des boules, comme c'est oiginal...

@tous : je pense que tout le monde a plus ou moins vu le côté paradoxal de la situation. D'un côté, la fréquence de boules blanches est f = 67/149 ≈ 0,4497, soit légèrement plus proche du cas à deux boules blanches (p = 0,4) que du cas à trois boules blanches (p = 0,5).

De l'autre, si on considère une urne contenant deux boules blanches, quand on effectue 149 tirages, la probabilité d'obtenir 67 boules blanches vaut ≈ 0,030779 ; si  on considère une urne contenant trois boules blanches, quand on effectue 149 tirages, la probabilité d'obtenir 67 boules blanches vaut ≈ 0,030786. Cette fois-ci, c'est le cas à trois boules blanches qui paraît le plus probable.

Pour beaucoup d'entre nous, le deuxième raisonnement paraît plus sérieux. Pourtant, il recèle une faiblesse. Imaginons que l'urne ait été préalablement remplie par un robot qui, 2 fois sur 3, met 2 boules blanches, et 1 fois sur 3, met 3 boules blanches. Alors, si on refait le calcul, on obtient qu'il est plus probable, sachant qu'on a obtenu 67 boules blanches, d'être dans le cas où l'urne contient 2 boules blanches (la probabilité est très légèrement inférieure à 2/3).

Vous me rétorquerez : oui, mais pourquoi 2/3 et 1/3 ? Ce à quoi je répondrai : oui, mais pourquoi 1/2 et 1/2 ? Car dans notre deuxième raisonnement, on fait comme si les cas «l'urne contient 2 boules blanches» et «l'urne contient 3 boules blanches» étaient équiprobables. Or, on n'en sait rien.

Voilà où j'en suis dans mon raisonnement, je n'arrive pas plus loin. J'ai l'impression qu'on a beau tirer autant de boules que l'on veut, on ne sera jamais capable de dire quel est le contenu le plus probable ; et que même en obtenant plus de boules blanches que de noires, on ne peut pas conclure que le cas 3-3 est le plus probable, faute de connaître les probabilités des cas 2-3 et 3-3.

Si quelqu'un a quelque chose de sensé à opposer à ce salmigondis, ce sera accueilli avec plaisir smile

 #16 - 25-05-2020 10:15:26

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
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Une urne et des boules,, comme c'est original...

Le problème, dans sa formulation, laisse penser qu’on a tous les paramètres, mais il en manque en effet un, décisif, qui rend tout calcul illusoire. L’hypothèse ‘50/50’ est une façon (réductrice) de résoudre un problème insoluble en le ramenant aux seuls paramètres connus.

On peut par exemple imaginer une distribution très fortement favorable à l’un des deux cas (ex : 2 blanches sauf si par hasard toutes les planètes du système solaire étaient alignées quand l’urne a été remplie).
Connaissant cette loi à priori, le résultat d’un tirage de 149 boules n’a plus aucune valeur. Qu’on obtienne 0 blanches ou 149 blanches, le cas le plus probable sera toujours « 2 blanches ». On peut l’affirmer sans attendre le tirage…

 #17 - 25-05-2020 14:24:39

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Une urne te des boules, comme c'est original...

@TOUFAU : c'est ce qu'il me semble aussi. Mais ça me pose un problème de conscience.

Est-ce que par extension, tout problème d'estimation est infaisable ? Par exemple, quand on lance 10000 aiguilles de Buffon pour estimer π, peut-on en déduire un résultat du genre «il y a 90 % de chances que π soit dans l'intervalle [a;b]», ou ne peut-on rien déduire du tout ?

 #18 - 25-05-2020 17:23:24

Vasimolo
Le pâtissier
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Une urne et des obules, comme c'est original...

C’est difficile d’argumenter quand on a seulement les réponses aux réponses smile

En fait , la seule question qui se pose : Pourquoi l’urne ayant la fréquence en boules blanches la plus proche de celle de l’expérience est-elle la plus probable ? Si on a la réponse , c’est fini .

Après s’il n’y a pas équiprobabilité dans le choix des urnes , ça ne change pas grand-chose en général mais quand on se met à la limite du fil ( comme dans l'exemple ) , on peut facilement basculer de l'autre côté .

Vasimolo

 #19 - 25-05-2020 19:24:09

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
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Une urne et des bules, comme c'est original...

En fait n’est-ce pas un sujet lié à la connaissance – ou l’absence de connaissance – des conditions de l'expérience ?
Dans le cas des aiguilles de Buffon, le raisonnement marche parce qu’on considère que ces conditions sont bien maîtrisées. Si on utilise un robot qui les jette toutes de la même façon, ou avec un biais, le résultat ne fera sans doute pas apparaître un truc en rapport avec Pi.

Dans ton exemple, on sait qu’il y a 3 boules noires à l’origine. Mais si tu me dis qu’il y en a possiblement 4, je vais trouver une probabilité non nulle que ce soit vrai, faute de connaissance des conditions initiales (ou trompé par l’ennemi dans ce cas 😊). 

Et dans le mien (2 boules blanches sauf si toutes les planètes sont alignées), je ne doute pas qu’un physicien connaissant la probabilité de l’évènement, allié avec un mathématicien féru de proba, sauraient définir combien de tirages sont nécessaires pour rendre l’observation des tirages pertinente (sans doute un très grand nombre)
Pour résoudre le problème, ne peut-on pas considérer que celui qui tire les boules dans l’urne va vite sentir au toucher s’il y a 5 ou 6 boules (ça fait partie des conditions de l'expérience après tout...), et ainsi nous simplifier la vie ?

Pas mieux.

 #20 - 27-05-2020 10:14:01

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Une urne et des boules, comme c'ets original...

Merci à tous pour vos réponses. C'est un peu plus clair pour moi maintenant mais il y a encore du travail roll

 

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