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 #1 - 29-12-2014 12:49:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Un si long chemin ??

Bonjour à tous.

2 droites sécantes, un point A situé à une unité du point de croisement. Le point A se déplace jusqu'à l'autre droite par le trajet le plus court, puis revient sur la droite origine également par le trajet le plus court et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on atteigne le point de croisement. Il a été dit que la distance totale parcourue mesure 1 milliard d'unités. Est ce possible et si oui dans quelle condition ?

Bonne recherche.



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 #2 - 29-12-2014 13:04:08

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

un so long chemin ???

Les droites se situent sur un plan incurvé? Du genre non euclidien?


Un promath- actif dans un forum actif

 #3 - 29-12-2014 13:33:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Un s ilong chemin ???

On est dans le plan euclidien classique.

 #4 - 29-12-2014 15:14:23

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Un si long hemin ???

C'est une situation limite, le point ne sera jamais atteint géométriquement parlant. Et pourtant, si on lui donne une vitesse constante, il finira par parcourir 10^9 unités.

Je ne cherche plus à comprendre ce genre de paradoxe. roll

En théorie par proportion du chemin parcouru sur la première droite, ça marche pour un angle suffisamment petit :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-1000000000.png
cos(a) +1 = 10^9 sin(a)

Cos(a) = cos(a/2 +a/2) = cos^2(a/2) – sin^2(a/2)
cos(a) = 2cos^2(a/2)-1

On a donc 2 cos^2 (a/2) = 10^9 sin(a)

Sin(a) = sin (a/2 + a/2) = 2 sin(a/2) cos(a/2)

Donc on a :  2 cos^2 (a/2) = 10^9 . 2 sin(a/2) cos(a/2)

On simplifie par 2 cos(a/2) :

cos (a/2) / sin (a/2) = 10^9

Tan (a/2) = 1/10^9
a/2 = atan(1/10^9)

a= 2 atan (1/10^9)
Je dirais que l'angle est donc à peu de chose près de 2.10^-9 rad

Vérification, en développant les triangles :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-1000000000bis.png

 #5 - 29-12-2014 17:11:40

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

U nsi long chemin ???

Première idée, rapide, sans trop réfléchir :
l'Arctg entre les deux droites ne serait-il pas loin de valoir 10^-9 hmm ?

 #6 - 29-12-2014 17:26:06

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1747

un so long chemin ???

Bonjour,

Si j'ai bien compris, le trajet d'une droite à une autre est le suivant
alpha étant l'angle formé par les deux droites sécantes.

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-longchemin1.jpg

On passe à la limite pour la somme des cos^n

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-longchemin2.jpg


Du coup, il y a une asymptote verticale à la fonction qui définit la longueur du chemin en fonction de alpha en alpha = 0
Il y a donc bien une valeur proche de 0 qui peut donner un chemin aussi grand que l'on veut, donc pourquoi pas 1E9 !

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-longchemin3.jpg

Avec les approximations aux petits angles

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-longchemin4.jpg


A suivre ....
EDIT

2/α    =    1,00E+09
α    =    2,00E-09



A+smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #7 - 29-12-2014 17:30:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Un si long chemn ???

@Gwen: ce paradoxe, réel, est bien souvent éludé par les mathématiciens, en fait. Je partage ta perplexité, mais je ne rentre pas dans une longue théorie qui ferait polémique.
@JackV et Gwen: vous ne voulez pas calculer la longueur du trajet réel ?
Sinon, c'est à peu près ça, sauf pour JackV qui a un problème de simple au double, ce qui n'est tout de même pas mal.

 #8 - 29-12-2014 17:37:34

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

un qi long chemin ???

On note [latex]A_1[/latex] et [latex]A_2[/latex] les deux premiers points de touche après A. On obtient finalement une suite de segments dont la longueur décroît toujours du même facteur k. On obtient ainsi la somme des termes d'une suite géométrique.

Cherchons a. On note alpha l'angle aigu délimité par les droites (qui existe car les droites ne peuvent être perpendiculaires). On trouve que celui-ci est égal au sinus de alpha. Ainsi a=sin(alpha)

Cherchons k. k=A1A2/AA1=sin(alpha)/tan(alpha)=cos(alpha)

La somme des termes de la suite représentée par U_n=A_nA_(n+1) est égale à ak^0+ak^1...+ak^n=a(k^(n+1)-1)/(k-1)
Or, n tend vers l'infini, car on finit par rejoindre le croisement des droites, donc la somme égale a/(1-k)=sin(alpha)/(1-cos(alpha))=(1+cos(alpha)/(sin(alpha))

je note alpha x pour simplifier

=(1+cosx)/(sqrt(1-cos²x)
=10^9 selon l'énoncé

ainsi
(1+2cosx+cos²x)/(1-cos²x)=10^18
1+2cosx+cos²x=10^18-10^18cos²x
(1+10^18)cos²x+2cosx+(1-10^18)=0
Une équation simpliste pour wolfram
or cos(x)>0 donc cosx=(10^18-1)/(1^18+1)

L'angle délimitant les deux droites est ainsi égal à 1,9999999999999999993333333333333333337*10^(-9) radians, ce qui est très petit je crois


Un promath- actif dans un forum actif

 #9 - 29-12-2014 17:37:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Un si long cheimn ???

@Nicko: t'es sûr que AA1= tg a ? Pour moi, la tg est le rapport entre le coté opposé et le coté adjacent. Mais ça fait bien longtemps que je n'ai plus fait de trigo. Sinon, pour le reste c'est aussi ma démarche. Pour les très petits angles, il y a des assimilations qu'on peut utiliser.

 #10 - 29-12-2014 17:40:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

Un si long chemiin ???

Promath, c'est Ok, bravo !
Pour la valeur, je ne me suis pas servi de wolfram et je ne suis pas tombé loin du tout....

 #11 - 29-12-2014 18:23:28

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Un si longg chemin ???

Soit A l’angle entre les deux droites. Soient ai et bi respectivement les i-èmes trajets entre les deux droites et les i-èmes projections de ces trajets sur la droite d’origine.
On a: ai = a0.(cosA)^i; et: bi = a0.(sinA)^i; ce qui donne:
Som(ai) = a0.[1–(cosA)^n] / [1–cosA]; et: Som(bi) = a0.[1–(sinA)^n] / [1–sinA]
et donc: lim(n->+oo) Som(ai) = 10^9 = a0/(1–cosA)
et aussi: lim(n->+oo) Som(bi) = 1 = a0/(1–sinA)
d’où: (1–sinA)/(1–cosA) = 10^9
soit: (2.10^9–1).t² + 2t – 1 = 0, en posant: t = tan(A/2)
On trouve: tan(A/2) = env. V5.10^(-5); soit: A = env. 2V5.10^(-5) radian
Il est vraiment étonnant que la valeur de l'angle entre les deux droites permette d'obtenir n'importe quelle valeur de la distance totale parcourue.

 #12 - 29-12-2014 18:40:33

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1747

Un si long chemmin ???

argh, une erreur de débutant au début, corrigée dans le post initial en principe ...
merci !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #13 - 29-12-2014 18:45:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

U si long chemin ???

Francky, je partage totalement ton étonnement pour la possibilité d'obtenir un trajet aussi long. Sinon, revois tes calculs, il y a un souci dès le début je crois, avec les ai et les bi.

 #14 - 29-12-2014 18:52:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
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un si long vhemin ???

NickoGecko, tu n'as pas repris la valeur de AA1 , qui n'est pas tg a.

 #15 - 29-12-2014 18:56:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Unn si long chemin ???

@ Gwen: pour l'instant, je n'ai pas compris ta formule cosa+1=10^9 sina. ça me semble intéressant pourtant, étant donné le résultat proche de la réalité. Pourrais tu détailler un peu ?

 #16 - 29-12-2014 19:33:36

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Un si long chemin ??

La distance parcourue le long de la première droite sera de 1 au final.

Sur l'aller-retour que j'ai illustré en vert , je considère juste le rapport entre l'aller-retour vert et la distance parcourue le long de la droite rouge.

Autrement dit 1 + cos a par rapport à sin a (quelle que soit l'échelle)

Vu qu'on aura sur tout le trajet une succession de triangles homothétiques, ce rapport ne variera pas d'un chouilla. Donc si je fixe ce rapport à 10^9 pour un aller retour, il sera consant le temps d'avancer de 1 le long de la droite rouge et d'atteindre le point d'intersection.

On aura parcouru 10^9 unités si (1+cos a) / sin a = 10^9

Mais je ne comprends pas ta question... le trajet réel fait 10^9. Ta question est de savoir si on peut le faire et dans quelles conditions. Oui on peut le faire smile Après, la formule obtenue est une approximation, mais ce n'est plus la même question.

 #17 - 30-12-2014 00:17:21

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Unn si long chemin ???

Je me suis en effet emmêlé les crayons, car seuls les "bi" pairs sont concernés.
On a toujours: lim(n->+oo) Som(ai) = 10^9 = a0 / (1–cosA); et Som(bi pairs) = 1
Or: sinA = a0 / Som(bi pairs); donc: sinA = a0; d’où: sinA / (1–cosA) = 10^9
soit: tan(A/2) = 1/10^9 = 10^(-9); et enfin: A = env. 2.10^(-9) radian
En généralisant, pour D "assez grand", on aura: A = env. 2/D radian
Je continue bien sûr d'être étonné: plus on ferme l'angle A et plus D devient grand (l'augmentation du nombre de trajets l'emporte sur la dimension de ces trajets).

 #18 - 30-12-2014 09:30:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
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un di long chemin ???

Francky c'est tout bon.
Pour améliorer l'intuition de cet algorithme, on peut s'y prendre d'une façon légèrment différente et on comprend tout de suite ce qu'il se passe. J'en parlerai dans ma réponse.

 #19 - 30-12-2014 09:55:43

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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Un si long hemin ???

salut.

OA = 1 , A étant sur une des droites

premier chemin :a = sinB
second chemin : b = sinB.cosB
troisième chemin:c = sinB.cos²B.....

Par conséquent , si je pose  cosB = X  et sachant que je n'arriverai jamais en O , la distance maximum est réalisée en faisant le maximum de navettes entre les 2 droites.  j'appelle n le nombre de navettes

et d = sqrt(1-X²) . (X^n - 1)/(X-1)

cette distance , je n'ai pas pu la faire évoluer au delà de :10000000  X  V2

soit:  14142135,6237.. unités  avec cosB = 0.99999999999999999...

et n = 10000000000000000.. .

quand au milliard d'unités , je ne sais pas faire.

 #20 - 30-12-2014 10:33:00

nodgim
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U nsi long chemin ???

Gwen, c'est OK pour ta démarche originale. Dans le corrigé, tu verras qu'on peut vite arriver au résultat sans aucune manip de trigo, mais juste en se servant des assimilations pour les petits angles.

A unecoudée, ton départ est bon, mais il est impossible de compter le nombre d'aller-retour: il est infini !

 #21 - 30-12-2014 10:36:27

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 200

Un si lnog chemin ???

@nodgim.  mais je sais qu'il est infini . mais je trouve une limite avec d  . puisque j'ai précisé en amont que je n'arriverai jamais en O.

 #22 - 30-12-2014 13:07:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2956

in si long chemin ???

@une coudée: pour ton X^n, avec X<1, et quand n----->inf, c'est zéro.
Si ça peut t'aider...

 #23 - 30-12-2014 15:05:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

un di long chemin ???

Je n'ai pas trop cherché mais il me semble que le trajet est de longueur 1/tan(â)+1/sin(â) . Après il suffit de choisir l'angle â comme il faut ...

Vasimolo

 #24 - 30-12-2014 17:10:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Un si long chemin ??

Intéressant Vasimolo. Si tu pouvais développer...

 #25 - 30-12-2014 17:41:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

un si mong chemin ???

C'est de la trigo de base : ai=oi/tan(â) et hi=oi/sin(â) .

Comme la somme des oi vaut 1 la somme des ai+hi vaut 1/tan(â)+1/sin(â) .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Puissance9.png

Vasimolo

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