La démo de Titou pour éliminer 1 est parfaitement convaincante.

Ce qui augmente avec les générations, c'est le nombre moyen de garçons Azerty, et ce de façon exponentielle. Et je peine dès lors à ne pas voir de contradiction avec la proba que vous avez trouvée ! Même avec des répartitions inégales.
J'ai écrit une bêtise ?

@titou et enigmatus : merci. La relation de récurrence est tout à fait logique en effet en se limitant à étudier les probas vu de la génération 0 ou la génération 1 (sans faire d'arbre complet de la génération n et n+1...).

@nogdim : la probabilité d’extinction à la première génération est de 0 puisque Gontrand AZERTY existe et qu'il porte son nom !

Mathématiquement parlant, nous sommes sur une récurrence de type u(n+1) = f(u(n)), qui ne peut converger que vers des points fixes, f(l)=l (car f est continue).
Titoufred a montré que 1 était impossible.
En revanche, personne n'a montré que la suite convergeait. On peut par exemple montrer que la suite est croissante (pour P(0)=0, tous les termes de la suite sont dans [0;a] (voir démo Titou) et f(x)>x sur cet intervalle, CQFD). Bornée et croissante, la suite possède donc une limite qui est dans [0;a], donc c'est a.

Cette croissance peut aussi être vue de façon intuitive : la probabilité d'extinction à la génération n+1 est obligatoirement supérieure à celle à la génération n (on ne ressuscite pas chez les AZERTY !).

De façon intuitive également, on peut dire que la probabilité d'extinction possède une valeur donc que la suite des P(n) converge. Et que P(n) étant une proba, sa limite appartient à [0;1]. C'est ce que tout le monde a fait, sans le dire ou sans y penser !

Pour finir, on peut se demander concrètement à quoi correspond cette probabilité :
Si on prend 100 jeunes hommes de bonne famille (AZERTY, son pote QWERTY, etc...), 23 verront leur nom disparaitre à terme (à la 6ème génération, la proba est déjà de 23%) et 77 auront une descendance portant leur nom.

C'est pourquoi dire qu'en moyenne le nombre de mâles "reproducteurs du nom" va croissant (x1,5 à chaque génération) n'est pas incompatible avec la disparation du nom pour 23% des lignées. Les moyennes cachent parfois des différences...

Maintenant, il ne reste plus qu'à calculer à partir de quand tous les êtres humains porteront tous le même nom

ça a été dit: Pour 1 ou 2 enfants, P=1.
La formule générale est d'ailleurs celle ci, pour n enfants:
P*2^n=(P+1)^n.
Le fait même que P=1 est tjs racine quel que soit le nombre d'enfants est très argumentant pour éliminer cette option dans les cas autres que n=1 ou 2.