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 #1 - 11-02-2015 14:02:38

DeepSpidou2.5
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Gontrand Azerty de Yuioop

Bonjour, bonjour !

Extrait de "Exercices ordinaires de Probabilités" - Gérard Frugier :

Gontrand Azerty de Yuiop est le dernier du nom. Il vient d'épouser Marie-Chantal qui lui donnera trois enfants. Sachant que tous les descendants auront trois enfants, calculer la probabilité pour que le nom Azerty de Yuiop disparaisse.

(Sous-entendant que les garçons garderont ce nom tandis que les filles le perdront)

La case réponse valide le résultat à [latex]10^{-3}[/latex] près.

Bon Courage ! big_smile



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 #2 - 11-02-2015 16:47:34

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

fontrand azerty de yuiop

Bonjour,

Soit P la probabilité que le nom s'éteigne pour un garçon (elle est de 1 pour une fille).

Le couple initial peut avoir :
3 filles, avec une probabilité 1/8 => probabilté d'extinction = 1*1*1
2 filles, avec une probabilité 3/8 => probabilté d'extinction = 1*1*P
1 fille,  avec une probabilité 3/8 => probabilté d'extinction = 1*P*P
0 fille,  avec une probabilité 1/8 => probabilté d'extinction = P*P*P

D'où

Code:

P = 1/8*1 + 3/8*P + 3/8*P^2 + 1/8*P^3

On obtient l'équation du 3ème degré

Code:

P^3 + 3*P^2 - 5*P + 1 = 0
(P-1) * (P^2 + 4*P - 1) = 0

La valeur à conserver est la racine positive de l'équation du second  degré
P = sqrt(5) - 2 = 0.236

 #3 - 11-02-2015 19:44:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

gontrand azerty de yuuop

J'aurais dit 1/7 après observation de l'arbre des probas. Mais ça ne valide pas.

 #4 - 11-02-2015 20:13:52

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

GGontrand Azerty de Yuiop

Et j'ai fait ce dont je suis amateur, des petits codes qui donnent des résultats statistiques approchés smile
le pourcentage recherché est de 0.2360359 pour 7 millions de cas testés tongue

 #5 - 11-02-2015 21:55:40

DeepSpidou2.5
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 49

Gontrnad Azerty de Yuiop

@enigmatus : Et bien c'est (presque) parfait ! big_smile
Il aurait juste fallu rapidement justifier pourquoi ta valeur est le bon résultat, et pas P=1, valeur qui annule aussi ton expression !

@nodgim : Je ne sais pas trop d'où sort ta valeur ^^'

@kossi : Que répondre à ça ! lol
En effet la réponse est la bonne, ton code est efficace, mais le pourquoi reste intéressant !

 #6 - 12-02-2015 09:07:45

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

ontrand Azerty de Yuiop

DeepSpidou2.5 #5 a écrit:

Il aurait juste fallu rapidement justifier pourquoi ta valeur est le bon résultat, et pas P=1, valeur qui annule aussi ton expression !

Parce qu'elle ne valide pas la case réponse… lol
On peut concevoir en effet que le nom disparaisse systématiquement à long terme, et je ne vois pas de raison de choisir une valeur plutôt que l'autre. Pourtant la probabilité d'extinction doit être unique…

Ajouté :
Si on part de cette équation (voir #2)

Code:

P = 1/8*1 + 3/8*P + 3/8*P^2 + 1/8*P^3

et qu'on la résoud de façon itérative (en partant d'une valeur 0 ≤ P0 < 1, et en calculant P = 1/8*1 + 3/8*P0 + 3/8*P0^2 + 1/8*P0^3, qu'on reporte ensuite dans le membre de droite), c'est vers la valeur 0.236 que l'on converge.

Généralisation :
Pour 1 seul enfant par famille : P = 1 est racine simple
Pour 2 enfants par famille : P = 1 est racine double
Pour 3 enfants par famille : P = 1 et P = 0.236 sont les 2 racines positives
Pour 4 enfants par famille : P = 1 et P = 0.0874 sont les 2 racines réelles

 #7 - 12-02-2015 16:28:25

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Gotrand Azerty de Yuiop

P = 1/8 + 3/8*P + 3/8*P² + 1/8*P^3

donne (P-1)(P²+4P-1) = 0

donc P=1 ou P=rac(5)-2

Je pense que P ne vaut pas 1, mais je n'ai pas encore trouvé pourquoi

 #8 - 12-02-2015 17:50:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gonrtand Azerty de Yuiop

Bonsoir

Je trouve [latex]\sqrt{5}-2[/latex]

Le calcul est simple si on le prend par le bon bout ( c'est à dire à l'envers lol ) .

On ne considère que les mâles de la famille . La probabilité que la descendance d'un mâle s'éteigne est la même pour chacun , on la note P . On part d'un mâle quelconque E1 et on regarde la probabilité pour que sa descendance s'éteigne .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-disparition.png

P0=1/8 , P1=3/8 , P2=3/8 , P3=1/8 est la probabilité pour qu'il ait 0 , 1 , 2 , 3 enfants mâles .

On note ensuite E0 le père de E1 . La probabilité pour que la descendance de E0 s'éteigne est P-1/8 .

On a donc 3P/8+3P²/8+P³/8=P-1/8 donc P³+3P²-5P+1=0 .

Vasimolo

 #9 - 12-02-2015 18:14:02

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

gontrznd azerty de yuiop

J'ai trouvé pourquoi P ne peut être égal à 1.

On note P(n) la proba que le nom ait disparu au bout de n générations

Alors P = lim P(n)

On a P(n+1) = 1/8 + 3/8*P(n) + 3/8*P(n)² + 1/8*P(n)^3

On note a = rac(5)-2

et f la fonction définie par f(x) = 1/8 + 3/8*x + 3/8*x² + 1/8*x^3

Remarque : f(a) = a  (cf message précédent)

La fonction f est croissante sur l'ensemble des réels positifs, comme somme de fonctions croissantes.

Par récurrence, on prouve alors que que 0 <= P(n) <= a :

Initialisation : P(0) = 0 donc 0 <= P(0) <= a

Hérédité : Si 0 <= P(n) <= a alors par croissance de f sur R+, 
f(0) <= f(P(n)) <= f(a) donc  0 <= P(n+1) <= a

Par conséquent, P(n) <= a pour tout n, et donc P <= a.

CQFD

 #10 - 14-02-2015 15:52:17

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 374

Gontran dAzerty de Yuiop

Soit p la probabilité cherchée d'extinction du nom pour la descendance d'un mâle Azerty.
On va supposer une répartition des naissances filles / garçons et une longévité de tous les descendants leur assurant leur 3 enfants, ni plus, ni moins !

4 cas sont possibles pour la première génération :
3 garçons (1 chance sur 8)
3 filles (1 malchance sur 8)
2 garçons et 1 fille et 1 garçon et 2 filles se partagent par symétrie les chances restantes : 3/8 chacun.

Chaque fille porte une proba d'extinction de 1 et chaque garçon de p, donc la proba d'extinction vue à la première génération est : p^3/8 + 3p^2/8+3p/8+1.

En égalisant les 2 probas (génération 0 et génération 1); on obtient
p = p^3/8 + 3p^2/8+3p/8+1/8

d'où p^3 + 3p^2 - 5p + 1 = 0

1 est racine "évidente", et on résout p²+4p-1=0 pour trouver les 3 racines :
p0=1
p1=-2-rac(5)
p2=-2+rac(5)

p1 est en dehors de de [0;1]
je ne trouve pas d'argumentation évidente et rapide pour dire que p0=1 n'est pas la solution (ça correspond à la valeur cherchée si en génération 0 on a une fille et pas un garçon...)

La réponse valide restante est donc p2~0,236

 #11 - 14-02-2015 19:20:18

fix33
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Gontrand AAzerty de Yuiop

Fainéant et optimiste comme je suis, j'aurais dit 100%. Après un temps infini, cela ne devrait-il pas arriver ?
Les calculs me semblent vite fastidieux. 1/8 à la première génération...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #12 - 14-02-2015 19:57:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

Gontrand Azerty de Yuop

Probabilité d'avoir trois filles (mais aucun garçon) à la génération suivante
= FFF = 1/8
Probabilité d'avoir deux filles (et un seul garçon) à la génération suivante
= FFG+FGF+GFF = 3/8
Probabilité d'avoir une seule fille (et deux garçons) à la génération suivante
= FGG+GFG+GGF = 3/8
Probabilité de n'avoir aucune fille (mais trois garçons) à la génération suivante
= GGG = 1/8

Probabilité que le nom disparaisse
= (1/8) x 1 + (3/8) x [(1/3) x (1/8) + (2/3) x 1] + (3/8) x [(2/3) x (1/8²) + (1/3) x 1] + (1/8) x (1/8³) = 2129 / 4096 = env. 0,51977

Mais ni 0,519; ni 0,520; ni 0,52; ni 0.519; ni 0.520; ni 0.52 ne sont validés.
J’ai dû faire une erreur de raisonnement quelque part. Affaire à suivre …

 #13 - 16-02-2015 13:44:37

DeepSpidou2.5
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 49

gontrand azeety de yuiop

@enigmatus : Voilà, c'est parfait ! lol

@titoufred : En effet, c'est bien ça, mais pour trouver laquelle est la bonne, il faut jeter un coup d'oeil à la relation de récurrence qui est sous-entendue dans ton raisonnement !
EDIT : T'as pensé à ça, je retire, BRAVO ! smile

@Vasimolo : Comme tout le monde, avec ton expression, il semble que P=1 fonctionne aussi alors, non ? roll

@dylasse : Pour éliminer 1, il faut étudier la récurrence de ton raisonnement, peut-être faire une étude de fonction pour voir que 1 n'est pas possible, toussa, toussa... wink

@fix33 : En première lecture, c'est ce que j'ai pensé aussi ! Mais quelle ne fut pas ma surprise de trouver une valeur bien différente après une étude (pas si longue lol ) du problème.

@Franky1103 : L'énoncé était peut-être ambigu, mais ils n'arrêtent pas de faire des enfants après la première génération ! smile
Ils continuent encore, et encore, et encooore, et on voudrait savoir vers quoi va tendre la probabilité que le nom s'éteigne.

 #14 - 16-02-2015 13:53:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gontrand Azerty e Yuiop

Bien sûr que p=1 fonctionne et avec p=i on se poserait la question ?

Vasimolo

 #15 - 17-02-2015 11:17:14

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

Gonrtand Azerty de Yuiop

Je me suis effectivement bêtement arrêté au bout de deux générations.

En passant d'une génération à la suivante:
- Probabilité d'avoir trois filles (mais aucun garçon) = FFF = 1/8,
- Probabilité d'avoir deux filles (et un seul garçon) = FFG+FGF+GFF = 3/8,
- Probabilité d'avoir une seule fille (et deux garçons) = FGG+GFG+GGF = 3/8,
- Probabilité de n'avoir aucune fille (mais trois garçons) = GGG = 1/8.

J’appelle P la probabilité que le nom disparaisse. J’aurai:
P = (1/8).1 + (3/8).[(1/3).P + (2/3).1] + (3/8).{(2/3).[1-(1-P)²] + (1/3).1}
+ (1/8).[1-(1-P)³]
Après simplification, j’aurai: P³-5.P²+4 = 0, soit: (P-1).(P²-4.P-4) = 0
J’aurai alors: P = 2.(1+V2), rejetée car >1; ou: P = 2.(1-V2), rejetée car <0; ou:
P = 1

Je serai donc certain que le nom disparaisse, mais cette réponse n'est pas validée.
J’ai encore dû faire une erreur de raisonnement quelque part. Affaire à suivre …

Edit: Maintenant que le masque est levé, je vois où est mon erreur: j'aurais dû multiplier les probabilités de deux évènements indépendants, comme on le fait traditionnellement.
big_smile

 #16 - 17-02-2015 18:35:45

fix33
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Gontrand Azerty dde Yuiop

Malheureusement pas le temps ni l'énergie pour chercher. Le résultat est certainement compris entre 1/8 et 1/2. 1/8 s'ils n'ont que des filles. 1/2 parce que en moyenne, il y aura 1,5 garçon par couple, dont les puissances tendent vers l'infini, mais c'est sans aucun doute un mauvais raisonnement !
Je suis curieux de voir la réponse et les raisonnements.

Avec 2 enfants ou moins la réponse est 100% !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #17 - 18-02-2015 23:30:19

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 374

Gontrand Azerty de Yuioop

Bonsoir,

Il y a un truc qui m'échappe. Quand je prends l'explication de Titou, tout est nickel sauf que je ne vois pas d'où vient :

On a P(n+1) = 1/8 + 3/8*P(n) + 3/8*P(n)² + 1/8*P(n)^3

Je ne vois pas comment est pris en compte le nombre de mâles AZERTY de la génération n pour établir cette relation de récurrence, et pourtant ce nombre me semble influant (pour une même probabilité de non extinction à la génération n (1-P(n)), ce n'est pas la même chose d'avoir un seul mâle AZERTY ou un très grand nombre à cette génération n pour calculer la probabilité d'extinction à la génération suivante).

A la génération 2, on a déjà 9 enfants de 3 types possibles : mâles AZERTY, mâles non AZERTY et filles, et le décompte des possibilités est déjà très lourd.

Merci de m'éclairer sur l'origine, a priori évidente, de la relation de récurrence. Je ne dois pas regarder par le bon bout !

 #18 - 19-02-2015 06:32:19

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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gontrand azertu de yuiop

Bonjour dylasse,
P(n) et P(n+1) ne sont pas relatifs à deux générations différentes, mais à deux étapes successives de la résolution itérative de l'équation. Les quatre termes du membre de droite correspondent respectivement aux probabilités d'extinction selon que les 3 enfants d'une famille contiennent 0, 1, 2 ou 3 garçons.

 #19 - 19-02-2015 11:43:15

titoufred
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gontrand azeety de yuiop

Vasimolo a écrit:

Bien sûr que p=1 fonctionne et avec p=i on se poserait la question ?
Vasimolo

Que veux-tu dire par là Vasimolo ? C'est évident que p=1 ne peut pas convenir pour toi ?

@dylasse : je note P(n) la probabilité que le nom ait disparu au bout de n générations au maximum. Après, on raisonne juste sur le nombre de garçons de Gontrand pour établir l'égalité avec P(n+1) : il a une proba 1/8 d'avoir 0 garçon et le nom disparait, proba 3/8 d'avoir un garçon et le nom disparait avec une proba P(n), ...., proba 1/8 d'avoir 3 garçons et le nom disparait avec une proba P(n) pour chacune des 3 lignées donc avec une proba P(n)^3 pour toutes les 3.

 #20 - 19-02-2015 17:19:37

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

gontrans azerty de yuiop

Le cas P=1 m'a semblé tout de suite à écarter car à chaque génération le nombre moyen de garçons de la lignée est multiplié par 1,5 . Le risque d'extinction va donc en diminuant à chaque génération . Comme il n'est déjà pas très élevé au départ ...

Je sais que ce n'est pas très formel mais j'arrive à m'en satisfaire smile

Vasimolo

 #21 - 20-02-2015 11:01:43

nodgim
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gontrand azerty de yyiop

La recherche de la proba conduit à une équation. La résolution de l'équation ne  conduit pas tjs à des solutions en rapport avec le problème. De même que P=1 est écarté par une raison de bon sens, de même la racine négative n'est pas retenue. Quelle serait ici la réalité de la racine négative ? Dans ce problème, on cherche une proba comprise entre 0 et 1, pas la proba 1. On pourrait l'écrire par avance dans l'intervalle des solutions possibles pour lever toute ambiguïté. Je crois que ça ne choquerait personne. C'est l'inverse qui serait difficile à soutenir.

 #22 - 20-02-2015 11:06:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

gontrand azerty dr yuiop

C'est bizarre mais si j'applique la même méthode avec 2 enfants au lieu de 3, j'aboutit à l'équation:
4p=1+2p+p²
p²-2p+1=0
(p-1)²=0
p=1

Où est l'erreur ?

 #23 - 20-02-2015 12:25:44

titoufred
Elite de Prise2Tete
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GGontrand Azerty de Yuiop

Il n'y a pas d'erreur, la proba cherchée P est une limite de probas P(n) lorsque le nombre n de générations tend vers l'infini. Même si P(n)<1, la proba P=1 n'est pas du tout à écarter d'entrée. Avec 2 enfants, le nom va disparaitre de façon (quasi-)certaine avec le temps.

@Vasimolo : L'argument avec le nombre moyen de garçons ne suffit pas selon moi.

 #24 - 20-02-2015 12:59:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
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gontrand azerty de yuoop

Pour les 2 enfants, c'est un résultat étonnant. Pour 3 enfants, le fait qu'il n'y ait qu'une seule proba possible n'est il pas suffisant ? Et choisir entre 1 et 0,236, le choix n'est il pas évident ?

 #25 - 20-02-2015 14:04:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

Gontran dAzerty de Yuiop

Rien que le fait de te poser la question "le choix n'est-il pas évident ?" apporte la réponse à ta question.

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