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 #1 - 21-02-2015 13:03:11

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un rapport constant dans nu cercle

Bonjour!

Voici une énigme assez simple de géométrie:

http://img11.hostingpics.net/pics/494003Unrapportconstant.png

O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, et milieu de [AB].
H est le pied de la hauteur à C, (d) est la tangente au cercle en C, et S l'intersection de (d) et de la tangente au cercle en A.

Si SA=AC, combien vaut le rapport CB/AH?

On répondra sous forme de fraction irréductible, avec un dénominateur entier.
Exemple: racine(5)/2

La solution est assez simple donc on attend une petite justification wink

Bonne chance!



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 #2 - 21-02-2015 16:47:54

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

un rapport constant dans in cercle

Nous avons C et A qui sont les projections du point O respectivement sur (SC) et (SA), de plus OA=OC, cela signifie que (SO) est la bissectrice des angles <ASC> et <AOC>, et ça signifie aussi que SA=SC.

Donc si SA=AC alors le triangle ASC est équilatéral. Et donc les triangles ABC et ACH sont des demi-triangle équilatéraux autrement dit :

AC/CB=AH/HC=racine(3) et AC/HC=2

ainsi  :
AC/CB * AH/HC = 3  <=> AC/HC * AH/CB = 3
                              <=> 2*AH/CB = 3 <=> CB/AH=2/3.

Le rapport recherché est donc 2/3.


Il y a sûrement plus simple.

 #3 - 21-02-2015 16:51:17

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Un rapprt constant dans un cercle

Soit R le rayon du cercle.
CB = R
AC = R * racine(3)
AH = AC * racine (3) / 2 = R * 3/2

CB / AH = 1 / (3/2) = 2/3 smile

J'espère que c'est assez détaillé... tongue

 #4 - 21-02-2015 17:14:30

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

un rapoort constant dans un cercle

Très bien, deux méthodes qui se ressemblent un peu! Jackv ça passe, rassure toi wink


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 #5 - 21-02-2015 18:21:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un rapport contsant dans un cercle

SAC est équilatéral donc AH.tan(30°)=CB.cos(30°) c'est à dire CB/AH=2/3 .

Vasimolo

 #6 - 21-02-2015 18:54:04

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

un rapport constanr dans un cercle

salut.

par hypothèse le triangle SAC est isocèle en A .

D'autre part les 3 angles inscrits SCA , SAC & CBA interceptent le même arc.
Conclusion : ces 3 angles sont égaux et valent 60° puisque le triangle SCA déjà isocèle en A  finit par être équilatéral.
L'angle au centre AOC  mesure alors 120° et l'angle COB mesure donc 60° .
Le triangle OCB est lui aussi équilatéral .Ainsi OH = HB .
Le rapport CB/AH = 2/3

 #7 - 21-02-2015 21:00:09

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un rapport constant dans unn cercle

Et Vasimolo remporte la palme de la solution la plus courte!
Très bien unecoudée!


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 #8 - 21-02-2015 21:06:43

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

UUn rapport constant dans un cercle

Un grand triangle équilatéral donne des angles de 60° et 30° partout partout ...

On arrive donc à cos^2(30) /sin(30) =3/2

 #9 - 22-02-2015 00:18:01

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Un rapport costant dans un cercle

Salut !
Alors ACS est équilatéral (S est intersection de 2 tangentes au cercle),
Alors l'angle OBC vaut 60° (via les triangles rectangles),
Alors OCB est aussi équilatéral (car OC=OB),
Alors AO=CB et OH = AO/2,
D'où CB/AH = 2/3.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #10 - 22-02-2015 12:04:41

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un rapport constant dans un cerle

D'où vient le cos²?

C'est bon fix!


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 #11 - 22-02-2015 12:48:11

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Un rappor tconstant dans un cercle

Les angles ABC, CAS et ACS sont égaux (angles inscrits sur l'arc AC).
si SA=AC alors les angles ASC et ACS sont aussi égaux donc le triangle ACS est équilatérale et tous ces angles valent 60°.

Dans le triangle AHC, sin(60)=AH/AC (1)
Dans le triangle ABC, tan(30)=CB/AC (2)

(2)/(1)=CB/AH=tan(30)/sin(60)=2/3  CQFD

 #12 - 22-02-2015 14:33:29

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Un rappotr constant dans un cercle

Le triangle ACS étant équilatéral, tous les angles sont multiples de 30°, les triangles ABC, ACH, CBH, sont des demi-triangles équilatéraux semblables.
D'où le rapport CB/AH=2/3 = [2/rac(3)]²/2

 #13 - 22-02-2015 15:24:21

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

un rapporr constant dans un cercle

Salut, sympa ce problème smile

1ère étape :
S est l'intersection de 2 tangentes au cercle, en A et C, donc SA=SC, or SA=AC donc SAC est équilatéral et SÂC=60°
Du coup BÂC=90°-CÂS=30°

2ème étape :
Dans ABC : CB=AB.sin30=AB/2
Dans ACH : AH=AC.cos30=AC.√3/2
(AB/AC=1/cos30=2/√3)
Donc CB/AH=AB/AC/√3=2/3

 #14 - 22-02-2015 17:12:14

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un rapport costant dans un cercle

En fait c'est bon gwen smile

Bon, bon, bon! smile


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 #15 - 22-02-2015 17:17:04

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

un raoport constant dans un cercle

Le triangle ABC est inscrit dans un cercle; il est donc rectangle en C.
Soit a, l’angle BAC = BCH. On a les relations: cos a = CH/CB, et: tan a = CH/AH.
D’où le rapport cherché: CB/AH = tan a / cos a = sin a / cos² a, relation valable même si SA et AC ne sont pas égaux.
Le triangle OCA et CAS est isocèle: donc angle CAO = ACO = a.
L’angle SAC vaut: pi/2-a. Comme le triangle CAS est aussi isocèle, avec une hauteur issue de A parallèle à OC, cet angle vaut le double de a.
D’où: pi/2-a = 2a => a = pi/6 => CB/AH = sin (pi/6) / cos² (pi/6) => CB/AH = 2/3, qui est validé.

 #16 - 27-02-2015 18:21:51

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un rapport constant dans un cercl

C'est bon smile bravo à tous!


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