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#1 - 21-02-2015 13:03:11
- Promath-
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Un rapport constant ddans un cercle
Bonjour!
Voici une énigme assez simple de géométrie:
O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, et milieu de [AB]. H est le pied de la hauteur à C, (d) est la tangente au cercle en C, et S l'intersection de (d) et de la tangente au cercle en A.
Si SA=AC, combien vaut le rapport CB/AH?
On répondra sous forme de fraction irréductible, avec un dénominateur entier. Exemple: racine(5)/2
La solution est assez simple donc on attend une petite justification
Bonne chance!
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#2 - 21-02-2015 16:47:54
- cogito
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Un rapport constan tdans un cercle
Nous avons C et A qui sont les projections du point O respectivement sur (SC) et (SA), de plus OA=OC, cela signifie que (SO) est la bissectrice des angles <ASC> et <AOC>, et ça signifie aussi que SA=SC.
Donc si SA=AC alors le triangle ASC est équilatéral. Et donc les triangles ABC et ACH sont des demi-triangle équilatéraux autrement dit :
AC/CB=AH/HC=racine(3) et AC/HC=2
ainsi : AC/CB * AH/HC = 3 <=> AC/HC * AH/CB = 3 <=> 2*AH/CB = 3 <=> CB/AH=2/3.
Le rapport recherché est donc 2/3.
Il y a sûrement plus simple.
#3 - 21-02-2015 16:51:17
- Jackv
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Un rapport coonstant dans un cercle
Soit R le rayon du cercle. CB = R AC = R * racine(3) AH = AC * racine (3) / 2 = R * 3/2
CB / AH = 1 / (3/2) = 2/3
J'espère que c'est assez détaillé...
#4 - 21-02-2015 17:14:30
- Promath-
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un rapport constant dans yn cercle
Très bien, deux méthodes qui se ressemblent un peu! Jackv ça passe, rassure toi
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#5 - 21-02-2015 18:21:59
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Un rapport constan tdans un cercle
SAC est équilatéral donc AH.tan(30°)=CB.cos(30°) c'est à dire CB/AH=2/3 .
Vasimolo
#6 - 21-02-2015 18:54:04
- unecoudée
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Un rapport constant dans un cerce
salut.
par hypothèse le triangle SAC est isocèle en A .
D'autre part les 3 angles inscrits SCA , SAC & CBA interceptent le même arc. Conclusion : ces 3 angles sont égaux et valent 60° puisque le triangle SCA déjà isocèle en A finit par être équilatéral. L'angle au centre AOC mesure alors 120° et l'angle COB mesure donc 60° . Le triangle OCB est lui aussi équilatéral .Ainsi OH = HB . Le rapport CB/AH = 2/3
#7 - 21-02-2015 21:00:09
- Promath-
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Un apport constant dans un cercle
Et Vasimolo remporte la palme de la solution la plus courte! Très bien unecoudée!
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#8 - 21-02-2015 21:06:43
- gwen27
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Un rapport constant dns un cercle
Un grand triangle équilatéral donne des angles de 60° et 30° partout partout ...
On arrive donc à cos^2(30) /sin(30) =3/2
#9 - 22-02-2015 00:18:01
- fix33
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Un raport constant dans un cercle
Salut ! Alors ACS est équilatéral (S est intersection de 2 tangentes au cercle), Alors l'angle OBC vaut 60° (via les triangles rectangles), Alors OCB est aussi équilatéral (car OC=OB), Alors AO=CB et OH = AO/2, D'où CB/AH = 2/3.
Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
#10 - 22-02-2015 12:04:41
- Promath-
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Un rpaport constant dans un cercle
D'où vient le cos²?
C'est bon fix!
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#11 - 22-02-2015 12:48:11
- kossi_tg
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Un rapport connstant dans un cercle
Les angles ABC, CAS et ACS sont égaux (angles inscrits sur l'arc AC). si SA=AC alors les angles ASC et ACS sont aussi égaux donc le triangle ACS est équilatérale et tous ces angles valent 60°.
Dans le triangle AHC, sin(60)=AH/AC (1) Dans le triangle ABC, tan(30)=CB/AC (2)
(2)/(1)=CB/AH=tan(30)/sin(60)=2/3 CQFD
#12 - 22-02-2015 14:33:29
- halloduda
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Un rapport constant ddans un cercle
Le triangle ACS étant équilatéral, tous les angles sont multiples de 30°, les triangles ABC, ACH, CBH, sont des demi-triangles équilatéraux semblables. D'où le rapport CB/AH=2/3 = [2/rac(3)]²/2
#13 - 22-02-2015 15:24:21
- golgot59
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Un rpport constant dans un cercle
Salut, sympa ce problème
1ère étape : S est l'intersection de 2 tangentes au cercle, en A et C, donc SA=SC, or SA=AC donc SAC est équilatéral et SÂC=60° Du coup BÂC=90°-CÂS=30°
2ème étape : Dans ABC : CB=AB.sin30=AB/2 Dans ACH : AH=AC.cos30=AC.√3/2 (AB/AC=1/cos30=2/√3) Donc CB/AH=AB/AC/√3=2/3
#14 - 22-02-2015 17:12:14
- Promath-
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Un rapport consstant dans un cercle
En fait c'est bon gwen
Bon, bon, bon!
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#15 - 22-02-2015 17:17:04
- Franky1103
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Un rapport constant dans unn cercle
Le triangle ABC est inscrit dans un cercle; il est donc rectangle en C. Soit a, l’angle BAC = BCH. On a les relations: cos a = CH/CB, et: tan a = CH/AH. D’où le rapport cherché: CB/AH = tan a / cos a = sin a / cos² a, relation valable même si SA et AC ne sont pas égaux. Le triangle OCA et CAS est isocèle: donc angle CAO = ACO = a. L’angle SAC vaut: pi/2-a. Comme le triangle CAS est aussi isocèle, avec une hauteur issue de A parallèle à OC, cet angle vaut le double de a. D’où: pi/2-a = 2a => a = pi/6 => CB/AH = sin (pi/6) / cos² (pi/6) => CB/AH = 2/3, qui est validé.
#16 - 27-02-2015 18:21:51
- Promath-
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Un rapport constant adns un cercle
C'est bon bravo à tous!
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