Soit R le rayon du cercle.
CB = R
AC = R * racine(3)
AH = AC * racine (3) / 2 = R * 3/2

CB / AH = 1 / (3/2) = 2/3

J'espère que c'est assez détaillé...

SAC est équilatéral donc AH.tan(30°)=CB.cos(30°) c'est à dire CB/AH=2/3 .

Vasimolo

Et Vasimolo remporte la palme de la solution la plus courte!
Très bien unecoudée!

Salut !
Alors ACS est équilatéral (S est intersection de 2 tangentes au cercle),
Alors l'angle OBC vaut 60° (via les triangles rectangles),
Alors OCB est aussi équilatéral (car OC=OB),
Alors AO=CB et OH = AO/2,
D'où CB/AH = 2/3.

Les angles ABC, CAS et ACS sont égaux (angles inscrits sur l'arc AC).
si SA=AC alors les angles ASC et ACS sont aussi égaux donc le triangle ACS est équilatérale et tous ces angles valent 60°.

Dans le triangle AHC, sin(60)=AH/AC (1)
Dans le triangle ABC, tan(30)=CB/AC (2)

(2)/(1)=CB/AH=tan(30)/sin(60)=2/3  CQFD

Salut, sympa ce problème

1ère étape :
S est l'intersection de 2 tangentes au cercle, en A et C, donc SA=SC, or SA=AC donc SAC est équilatéral et SÂC=60°
Du coup BÂC=90°-CÂS=30°

2ème étape :
Dans ABC : CB=AB.sin30=AB/2
Dans ACH : AH=AC.cos30=AC.√3/2
(AB/AC=1/cos30=2/√3)
Donc CB/AH=AB/AC/√3=2/3

Le triangle ABC est inscrit dans un cercle; il est donc rectangle en C.
Soit a, l’angle BAC = BCH. On a les relations: cos a = CH/CB, et: tan a = CH/AH.
D’où le rapport cherché: CB/AH = tan a / cos a = sin a / cos² a, relation valable même si SA et AC ne sont pas égaux.
Le triangle OCA et CAS est isocèle: donc angle CAO = ACO = a.
L’angle SAC vaut: pi/2-a. Comme le triangle CAS est aussi isocèle, avec une hauteur issue de A parallèle à OC, cet angle vaut le double de a.
D’où: pi/2-a = 2a => a = pi/6 => CB/AH = sin (pi/6) / cos² (pi/6) => CB/AH = 2/3, qui est validé.