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 #1 - 03-05-2011 09:13:54

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

trianhle inscrit dans un cercle

Soit un cercle sur lequel on choisit arbitrairement trois points.
Quelle est la probabilité pour que le triangle formé par ces trois points contienne le centre du cercle ?



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 #2 - 03-05-2011 12:20:20

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Triangle inscrit dans un cercl

Je choisis le premier point A où je veux sur le cercle (à la verticale du centre en haut pour simplifier).

Le second point B est alors choisi tel que
[TeX]\hat{A0B}=\alpha[/latex].

Je peux limiter [latex]\alpha \in [0;\pi][/latex] (symétrie)

Pour le troisième point C, il doit se situer sur l'arc de cercle dont les extrémités sont les points A' et B', diamétralement opposés à A et B. Le secteur angulaire de cet arc de cercle vaut [latex]\alpha[/latex].

J'ai donc une probabilité de [latex]\frac{\alpha}{2\pi}[/latex] de choisir le point C tel que O soit à l'intérieur du triangle.

Il y a un cas particulier lorsque B=A', c'est-à-dire lorsque [latex]\alpha=\pi[/latex] : la probabilité vaut 1, et non [latex]\frac12[/latex]. C'est un point de discontinuité qui ne va rien changer au calcul de l'intégrale qui suit.

Il ne reste plus qu'à intégrer cette probabilité pour [latex]\alpha[/latex] parcourant [latex][0;\pi][/TeX][TeX]p=\frac1{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{\alpha}{2\pi}d\alpha[/TeX]
Et on trouve [latex]\fbox{p=\frac14}[/latex]

 #3 - 03-05-2011 12:50:19

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

triangle indcrit dans un cercle

On place 2 des 3 points (A et B) au hasard sur le pourtour du cercle de centre O.
On appelle a l'angle AOB saillant (<pi).
On trace les diamètres passant par ces 2 points. Ces diamètres dessinent 2 secteurs saillants: 1 du côté des points (AOB) et un opposé aux points par rapport au centre.
Le troisième point doit être sur l'arc dans le secteur opposé pour que le centre du cercle soit dans le triangle.
La probabilité pour A et B donnés est donc AOB/pi=a/pi.

Il reste a en déduire la probabilité globale et mes lacunes en probabilité vont me poser problème. Dans le doute j'intègrerais bien de 0 à pi.
[TeX]p=\dfrac1{\pi}\int_0^{\pi}\dfrac{da}{\pi}=\dfrac1{\pi}[/TeX]
Mais la c'est vraiment des maths intuitives smile
Il faut peut-être doubler cette valeur car on n'a considéré que les angles saillants.

J'attends les commentaires de Nicouj et des autres car cette énigme m'intéresse.

En attendant je vais essayer de programmer une petite méthode de Monte-Carlo pour voir ce que ça donne numériquement.

Merci en tout cas pour cette énigme à l'énoncé fort simple mais pas si simple smile

Edit: La méthode de Monte-Carlo donne 1/4.
Cela me met sur la piste et en particulier sur les 2 points sur lesquels j'ai hésité.
Il faut intégrer non pas da/pi mais a.da/pi pour prendre en compte la probabilité le long de la circonférence et non le long de l'angle et il faut bien diviser par 2 puisqu'on ne considère qu'une des 2 moitiés du cercle.
L'intégrale devient:
[TeX]p=\dfrac1{\pi}\int_0^{\pi}\dfrac{a}{2\pi}da=\dfrac1{2\pi^2}.\dfrac{\pi^2}2=\dfrac14[/TeX]

 #4 - 03-05-2011 12:57:34

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Triangle inscirt dans un cercle

Comme dirait Kosmo:
1 chance sur 2, soit il le contient, soit il ne le contient pas.

ou plus serieusement:
- soit un point A, sont opposé sur le cercle est A'.
et les 2 autres points B et C.
- il y a quatre cas:
- soit B et C sont du meme coté de A-A' (1 chance sur 2, et le centre n'est pas contenu)
- Soit B et C sont sur un coté de A-A' opposé, et le centre a une chance sur 2 d'etre contenu dans ce cas.
Donc la réponse est donc 1 chance sur 4.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 03-05-2011 13:28:29

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

Triangle inscrit dans un cercel

Bonjour,
Soit O le centre du cercle.
Je place arbitrairement mes deux premiers points A et B, tel que l'angle AOB soit inférieur à 180° (sinon je retourne le cercle et l'angle BOA sera inférieur à 180°).
Puis je place le point C: pour un angle AOB donné (appelé a et exprimé en °), la probabilité que le triangle ABC contienne O (sur ce demi-cercle) est de: a/180, variant de 0 (lorsque A et B sont confondus) à 1 (lorsque A et B sont opposés diamètralement).
En sommant cette probabilité entre 0 et 180° et en divisant par 2, on touve la probabilité recherchée qui est de 1/4.
Bonne journée.
Frank

 #6 - 03-05-2011 13:59:51

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Triangle inscrit dans un cerle

Déjà 4 réponses mais toutes différentes ^^.
Je trouve le même résultat que dhrm mais en utilisant le même procédé qu'utilisent Looping, rivas et Francky lol.

Au fait dhrm je ne comprends pas la deuxième partie de ton raisonnement. Est-ce que tu peux détailler un poil plus stp ?

 #7 - 03-05-2011 14:40:17

momo16
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 3

triangle inscrit dabs un cercle

2*r*3014

 #8 - 03-05-2011 14:41:02

momo16
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 3

Triangle inscirt dans un cercle

2*r*3,14

 #9 - 03-05-2011 15:24:39

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Triangle inscirt dans un cercle

J'ai modifié ma réponse précédente. smile
Merci pour le MP aussi.

Voici une autre démonstration plus simple mais aussi plus difficile à prouver de façon rigoureuse.
Je m'en suis rendu compte en regardant les diamètres que j'ai tracés dans ma réponse précédente.
Lorsqu'on choisit 3 diamètres, on obtient 6 points d'intersection avec le cercle. On choisit ensuite 1 point sur chaque diamètre. Cela revient à choisir 3 points aléatoirement.

Avec cette méthode pour chaque choix de 3 diamètres on a 8 combinaisons de 3 points, donc 8 triangles différents.
Sur ces 8 combinaisons on a toujours la même répartition: 2 triangles ont le centre du cercle à l'intérieur et 6 non.
On retrouve 2/8=1/4.

Cela permet de généraliser le résultat (si c'est correct).

 #10 - 03-05-2011 15:45:32

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Triangle inscri tdans un cercle

Bravo Looping et Rivas.

 #11 - 03-05-2011 23:45:42

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

Triangle inscri tdans un cercle

Disclaimer: Je suis absolument pas sûr de moi sur ce coup tongue.

Commençons donc par placer les points un par un.

Plaçons d'abord le point [latex]M[/latex]. L'endroit où l'on place ce premier point ne changera pas la probabilité que le centre [latex]O[/latex] soit à l'intérieur du triangle.
Cette probabilité ne dépendra que de l'endroit où nous allons placer les deux points suivants.

On peut donc se ramener à une figure où le point [latex]M[/latex] est à droite du cercle pour ensuite tracer la droite horizontale [latex](OM)[/latex].

Parce que j'ai pas eu envie de me rendre fou avec de la trigo, on va se restreindre pour le moment à "En plaçant trois point au hasard, quelle est la probabilité pour que le centre soit dans le triangle avec le deuxième point sur le demi-cercle supérieur."
Plaçons donc le point [latex]A[/latex] sur le demi-cercle supérieur qui forme l'angle: [latex]\widehat{MOA}=\alpha[/latex]

Cherchons enfin où placer le point [latex]B[/latex] pour répondre à la condition précédente.

On obtient la figure suivante:
http://www.prise2tete.fr/upload/Kikuchi-TriInscrit.png

Où l'on voit que l'angle [latex]\widehat{MOB}=\beta[/latex] doit être compris dans [latex][\pi\;;\;\pi+\alpha][/latex]

Maintenant que les bases sont posées, intéressons-nous au calcul de la probabilité.

La position des points [latex]A \text{ et } B[/latex] obéit à une loi de probabilité uniforme (autant de chance d'être placé sur un point du cercle qu'un autre).
[TeX]A[/latex] peut être placé sur [latex][0\;;\;2\pi][/latex], de même pour [latex]B[/latex].
Au final, la densité de probabilité est [latex]f(x)=\dfrac{1}{4\pi^2}[/TeX]
On voit bien que: [latex]\int_0^{2\pi} \left( \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{4\pi^2} d\beta\right)d\alpha=\int_0^{2\pi} \dfrac{1}{2\pi}=1[/latex]

Et la probabilité pour que la condition soit vérifié est:
[TeX]\int_0^{\pi} \left( \int_{\pi}^{\pi+\alpha} \dfrac{1}{4\pi^2} d\beta\right)d\alpha=\int_0^{\pi} \dfrac{\alpha}{4\pi^2} d\alpha=\dfrac{1}{4\pi^2} \left[\dfrac{\alpha^2}{2}\right]_0^{\pi}=\dfrac{1}{8}[/TeX]
Pour finir, on voit que dans notre configuration, si un triangle respecte la condition, alors son symétrique par rapport à [latex](OM)[/latex] la respecte aussi (respectivement, s'il ne la respecte pas).

Donc au final: [latex]P=2\times \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}[/latex]

Je trouve ce résultat vraiment bizarre (même pas un [latex]\pi[/latex] qui traîne...), d'où le "Je suis absolument pas sûr de moi sur ce coup".


There's no scientific consensus that life is important

 #12 - 04-05-2011 09:22:15

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

troangle inscrit dans un cercle

Pour 2 points du cercles A et B donnés, la probabilité conditionnelle Pc qu'un troisième point D (toutes les position de D sont équiprobable) forme un triangle englobant le centre C vaut:
Pc
= (ACB)/2pi
où (ACB) est l'angle intérieur du triangle ACB à son sommet C.
Ainsi (ACB) varie de 0 à pi.

Comme tous les couples (A,B) sont équiprobables, il faut calculer la moyen des angles (ACB), c-à-d pi/2, pour passer d'une probabilité conditionnelle à la probabilité P que l'ont cherche.
P
= (pi/2)/2pi
= 1/4
= 25%

 #13 - 04-05-2011 12:13:49

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Triangle inscirt dans un cercle

Les 3 points sont choisis au hasard sur le cercle.
Nous allons mettre un repère sur le cercle tel que le premier point Z fasse un angle nul avec l'origine, le second A un angle a compris entre 0 et pi (quitte à "retourner" le cercle), le troisième B fera un angle b quelconque compris entre -pi et pi.

Il y a une chance sur 2 que B soit dans le même demi-cercle que A (i.e. que b soit positif), dans ce cas, le centre du cercle est à l'extérieur du triangle ZAB.

Si a et b sont de signe opposé (1 chance sur 2), alors il y a une chance sur 2 que a - b soit plus petit que pi (a - b varie entre 0 et 2 pi), donc que O et Z soient du même coté de la droite AB, donc que le centre du cercle soit à l'extérieur du triangle ZAB.

Dans les autres cas a et b de signe opposé et a - b plus grand que pi, alors les 3 angles ZOA, AOB et BOZ sont des angles inférieurs à pi, ce qui signifie que O est à l'intérieur du triangle.

Ma réponse est donc 1/4.

 #14 - 04-05-2011 13:35:27

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

triangme inscrit dans un cercle

bon je sais pas si ca tient trop la route, j'ai fait ca rapidement:

pour deux points quelconque on remarque que la probabilité qu'un triangle issu de ces deux sommets contienne I est proportionnel à la distance ou bien a l'angle les séparant.
en effet, le triangle contient I ssi le 3eme point C est entre les 2 points qui leur sont diamétralement opposé.


soit la construction:
fixons A, et prenons A' diamétralement opposé.
en faisant varier B sur le cercle on a que la p(ABC)+p(AB'C) = 1/2
en effet : BA+B'A = 1/2 du cercle.

ceci est vrai pour tous points B et C sur tout le cercle,
et on a tout compté deux fois.
la probabilité est donc de 1/4

EDIT reformulation (que j'espere plus clair)

 #15 - 04-05-2011 18:33:19

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

triangle inscrit dand un cercle

Soit un cercle de centre O origine des axes.
Je choisi arbitrairement le point A comme origine des angles (sur les x positifs).
Je choisis un point B quelconque. Si le point B se situe sur les y négatifs, je prends son symétrique par rapport à l'axe des x (cela ne change pas le problème).

Soit l’arc A'B' symétrique de l'arc AB par rapport à O.
Si le point C se situe sur l'arc A'B' alors O est à l'intérieur du triangle ABC.

L'arc A'B' à une valeur moyenne de pi/2. Le point C est équiréparti sur un angle de
2 pi. Il y a donc une chance sur 4 pour que cet évènement se produise.
N'est-il pas smile ?

 #16 - 05-05-2011 08:30:27

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Triangle inscrit dans un cerclle

Désormais que des bonnes réponses ! dont une bonne réponse a la question : quelle le périmètre d'un cercle ? lol

 #17 - 05-05-2011 09:45:15

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Triangle inscirt dans un cercle

Soit 0 l'angle polaire d'un point, sans restreindre la généralité.
Soit [latex]\alpha [/latex]l'angle polaire du deuxième point entre 0 et [latex]\pi[/latex].
La probabilité que le troisième point du cercle mette le centre du triangle dans le triangle est [latex]\alpha[/latex], et le troisième point ne peut pas être entre les deux autres.
En sommant pour tous les [latex]x=\alpha/\pi[/latex] entre 0 et 1,
P=[latex]\int_0^1 x.dx=\frac 1 2[/latex]


EDIT
Plus simplement, une fois fixé l'un des points, il définit un diamètre.
Si les deux autres points sont de part et d'autre de ce diamètre,
le triangle inclut le centre du cercle, s'ils sont d'un même côté, non.
La probabilité est 1/2.

 #18 - 05-05-2011 11:05:40

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

Triangle inscrit dans unn cercle

Bonjour,

Le placement du premier point  A n'a aucune importance, on choisis arbitrairement de placer ce point en  A (1,0) sur le cercle trigonométrique.

Ensuite, placons le point B qui peut se trouver n'importe où sur le cercle, pourvu qu'il ne soit pas en A (probabilité nulle de toute façon). on note [latex]\alpha[/latex]l'angle associé à ce point.

Raisonnons sur un angle [latex]\alpha[/latex] compris entre (0, pi).

Le centre du cercle sera inclus dans le triangle, si et seulement si le point C est placé sur l'arc de cercle compris entre les angles pi et pi+ alpha . (autrement, dit, longueur arc de cercle = alpha).

On en arrive à une relation de symétrie, c'est à dire que le cas où [latex]\alpha[/latex] est compris entre pi et 2pi, le point C pourrait être considéré comme le point B !

Donc, on arrive à la déduction suivante

La probabilité que le centre du cercle soit inclu dans le triangle est la suivante :
[TeX]\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} \alpha\,\mathrm d\alpha[/latex]=[latex]\frac{\pi}{4} [/TeX]

 #19 - 05-05-2011 11:23:09

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Triangle inscit dans un cercle

halloduda et fabb54, votre proba pour le troisième point, une fois deux points fixés comporte une petite erreur. Sinon c'est bon.

 #20 - 06-05-2011 14:17:13

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Triangl inscrit dans un cercle

Bravo a tous !
Les nombreuses bonnes réponses bien détaillées me permettent de me la couler douce.
La réponse de Looping est exactement ce que j'aurais écrit (aimer écrire ? tongue).

Sinon j'aime aussi la vision simple que en fixant deux points, les diamètres associés vont en moyenne partager le cercle en 4 zones égales dont celle des points qui marchent.

 #21 - 07-05-2011 11:03:00

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

riangle inscrit dans un cercle

gwen a dit :
Comme dirait Kosmo:
1 chance sur 2, soit il le contient, soit il ne le contient pas.

Ah bon, Kosmogol a dit ça aussi ?
En tout cas, c'est ce que j'avais prévu comme réponse pour le chimpanzé placé devant un clavier et qui devait taper la "Déclaration universelle des Droits de l'Homme" sans fautes :
"Soit il y arrive, soit il n'y arrive pas" lol !

 

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