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 #1 - 09-03-2011 20:56:51

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

cervle

Quel est le rayon du cercle ci-dessous ?

http://nsa26.casimages.com/img/2011/03/09/11030909000352906.jpg



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 09-03-2011 22:00:13

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

czrcle

Prenons C comme origine.
Le point E [latex](0,\frac {4*17}6)=\frac {34} 3[/latex] est sur le cercle car CA*CB=CD*CE.
(puissance de C par rapport au cercle).
Le centre est situé à [latex]x=\frac{17-4}2=\frac{13}2[/latex] et y[latex]=\frac{34-18}6=\frac 8 3[/latex]
La puissance de C par rapport au cercle est [latex]-4*17=d^2-R^2[/latex].

Donc [latex]R^2=x^2+y^2+68={(\frac{13}2})^2+{(\frac{8}3})^2+68[/latex]
[TeX]R^2=\frac {169}4+\frac {64} 9+68=\frac {(9*169+4*64)}{9*4}+68=\frac {4225} {36}[/TeX][TeX]R=\sqr {\frac {4225} {36}}=\frac {65} 6\approx10.83333333333[/TeX]

 #3 - 09-03-2011 22:06:00

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

Cercel

11

 #4 - 09-03-2011 22:09:44

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

cetcle

thedoums, pas loin ! lol


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #5 - 09-03-2011 22:21:57

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

cetcle

Appelons O le centre du cercle et O' le projeté orthogonal de O sur AB.
Travaillons avec des mesures d'angle en radian.

On peut calculer facilement les angles (AC,AD) et (BC,BD). Ils valent respectivement :
Arctan(3/2) et Arctan(6/17).
On en déduit que l'angle (DA,DB) mesure : π-(Arctan(3/2)+Arctan(6/17))
D'après les relations entre angle au centre et angle inscrit, on en déduit que l'angle ouvert (OA,OB) est tel que: (OA,OB)=2(DA,DB), et que l'angle fermé (OA,OB) vaut donc :
2π-2(DA,DB)=2(Arctan(3/2)+Arctan(6/17))

Comme OA=OB=R (rayon du cercle), OAB est un triangle isocèle en O, et donc:
(AO,AO')+Arctan(3/2)+Arctan(6/17)=π/2
Or (AO,AO')=Arccos(AO'/AO)=Arcos(17/(2R))

D'où: 17/(2R)=cos(π/2-(Arctan(3/2)+Arctan(6/17))=sin(Arctan(3/2)+Arctan(6/17))

Donc : R=17/(2sin(Arctan(3/2)+Arctan(6/17)))

Valeur approchée : R=8.7698

Si c'est le cas, alors le centre du cercle n'est pas très loin au dessus de AB...


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #6 - 09-03-2011 22:22:10

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Cecle

Soit O le centre du cercle, R le rayon du cercle, H le centre de [AB], E la projection de D sur OH :
[TeX]R^2=OA^2=AH^2+OH^2=10,5^2+OH^2[/TeX][TeX]R^2=OD^2=OE^2+DE^2=(OH+6)^2+6,5^2[/TeX]
donc :
[TeX]10,5^2+OH^2=(OH+6)^2+6,5^2[/TeX]
D'où on déduit que :
OH=8/3

Puis :

R=65/6


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #7 - 09-03-2011 22:27:24

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

czrcle

on a dans un triangle [latex]R={abc\4S}[/latex]où S est l'aire du triangle
Aire du triangle ABD=[latex]21\times6\over2[/latex]=63cm²
on a AD=[latex]\sqrt {52}[/latex] et BD=[latex]\sqrt {325}[/latex] et [latex]R={{21\times\sqrt {52}\times \sqrt {325}}\over{4\times63}}={2730\over252}=10.83[/latex]

 #8 - 09-03-2011 22:30:00

SaintPierre
Banni
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CCercle

Oui, fix et gabriel.
Erreur de calcul pour SHTF47.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #9 - 09-03-2011 23:15:39

looozer
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Messages : 659
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Cerle

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-cercle.jpg
Par Pythagore :
AD=[latex]2\sqr{13}[/latex]
BD=[latex]5\sqr{13}[/latex]
sin(DAC)=[latex]\frac{6}{2\sqr{13}}[/latex]
Or BOD = 2.DAC (ils interceptent la même corde [BD])

En travaillant dans le triangle rectangle moitié du triangle OBD, on trouve :
OD . sin(BOD/2) = [latex]\frac{5\sqr{13}}{2}[/latex]
OD . [latex]\frac{6}{2\sqr{13}}[/latex] = [latex]\frac{5\sqr{13}}{2}[/latex]

Donc OD=[latex]\frac{65}{6}[/latex]

 #10 - 09-03-2011 23:19:53

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Cerclle

Très jolie réponse de looozer. smile


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #11 - 10-03-2011 00:51:23

bd-42
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 2

crrcle

Paramétrons le problème.
Soit le repère (O,x,y) d'origine le centre du cercle et R le rayon de ce dernier.
Avec un peu de geométrie elementaire on a les coordonnées suivantes:
A(-10.5,y(A))
B(10,5,y(B))
C(-6.5,y(C))
D(-6.5,y(D))
On remarque que y(A)=y(B)=y(C)=y(D)+6.
On a donc plus que deux inconnues (R et y(D)<- par exemple). Pour resoudre cela, il nous faut donc deux équations independantes.
On utilise alors l'expression cartesienne du cercle: x²+y²=R². Le fait que les points A et D appartiennent au cercle de nous donne alors le système suivant:
10.5²+(y(D)+6)²=R²
6.5²+y(D)²=R²

Après resolution, on trouve alors environ 10,8cm pour R.

 #12 - 10-03-2011 01:52:30

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

czrcle

Je note E le point diamétralement opposé à B, et d le diamètre du cercle
Les triangles ABE et BDE sont rectangles en A et D (diamètre=hypothénuse), et BCD est rectangle en C :
[TeX]AE^2+AB^2=d^2
ED^2+DB^2=d^2
BD^2=CD^2+BC^2[/TeX]
Pour calculer DE, je me sers de F, projeté de E sur la droite CD, EFD est rectangle en F :
[TeX]ED^2=EF^2+FD^2
FD=FC+CD
FC=EA,EF=AC
ED^2=AC^2+(AE+CD)^2[/TeX]
On obtient donc 2 relations à 2 inconnues AE et d :
[TeX]AE^2 + 21^2=d^2
4^2+(AE+6)^2+17^2+6^2=d^2[/TeX]
On peut en déduire AE par différence des 2 équations :
[TeX]AE=\frac{16}3[/TeX]
Puis on en déduit d :
[TeX]d=\frac{65}3
[/TeX]
Et enfin le rayon du cercle : [latex]R=\frac{65}6[/latex]

 #13 - 10-03-2011 11:51:07

Franky1103
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ercle

Bonjour,
Voici ma solution qui est - j'en conviens - un peu "bulldozer".
Soit x0 et y0 les coordonnées du centre du cercle et R son rayon.
L'origine de mon repère sera pris au milieu de A et B.
L'équation du cercle est: (x-x0)^2 + (y-y0)^2 = R^2.
A cause de la symétrie, il est évident que x0 = 0.
Par ailleurs, les coordonnées de A et D sont: A(-10,5;0) et D(-6,5;6).
Ce qui nous donne: 6,5^2 + (y+6)^2 = R^2 et 10,5^2 + y^2 = R^2.
Et on trouve y0=8/3 soit env. 2,667 et R=65/6 soit env. 10,833.
Bonne journée.
Frank

 #14 - 10-03-2011 17:09:03

SaintPierre
Banni
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Cerclle

Des as de la géométrie, vous êtes. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #15 - 10-03-2011 22:32:28

franck9525
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Crcle

Celui-là est plus simple.
Soit X la distance de l'horizontale au centre du cercle et R le rayon du cercle.
On identifie deux relations pythagoriennes:

R^2=10.5^2+X^2
R^2=(x+6)^2+6.5^2

ce qui donne pratiquement directement

X=8/3 et R=65/6


The proof of the pudding is in the eating.

 #16 - 10-03-2011 22:36:07

SaintPierre
Banni
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Cercl

Oui, sans problème, Franck. Le nouveau problème posté est d'un niveau supérieur. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 11-03-2011 12:51:33

Promath-
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Lieu: Au fond de l'univers

eCrcle

10,83cm, je pense


Un promath- actif dans un forum actif

 #18 - 11-03-2011 23:24:18

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

cervle

Si on veut faire plus "propre" on multiplie par six les dimensions originales , deux angles inscrits nous donnent deux triangles semblables et on finit avec Pythagore R=65 . On divise par six pour coller avec le problème smile

http://img850.imageshack.us/img850/5765/rayon.jpg

Vasimolo

 #19 - 12-03-2011 09:38:31

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Cercel

Dans le repère (C,CBx,Cy), nous avons les coordonnées suivantes :
A(-4;0), B(17;0) et D(0;-6).

Le centre O du cercle est sur la médiatrice de AB, donc il a pour coordonnées O(13/2 ; y)

OA²=OD² donc (21/2)²+y² = (13/2)²+(y+6)² qui donne y=8/3

Le rayon cherché est r=OA=racine((21/2)²+(8/3)²)=65/6

Il y a peut-être moins bourrin, mais ça marche !

 #20 - 12-03-2011 09:41:12

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

Cerlce

Excellent dylasse ! Vasimolo, c'est plutôt astucieux comme démo !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #21 - 12-03-2011 12:47:47

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 116

Cercel

O centre du cercle
tg(adb)= tg(adc+cdb) = (tg(adc)+tg(cdb))/(1-tg(adc)*tg(cdb))

  aôb = 2*pi - 2adb (angle au centre)

R * sin (bôh) = r* sin(aôb/2) =21/2=10,5

R = 10,5 / sin (aôb/2) = 10,5 / sin(adb)
tg'adb)= 3,9375
sin(adb)= 0,968
R= 10,85

 #22 - 12-03-2011 15:07:46

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

eCrcle

Eureka !

on calcule en fait le rayon du cercle circonscrit au triangle ABD.
on peut donc écrire la fameuse loi des sinus :
[TeX]\frac{AB}{sin{\hat{ADB}}}=\frac{AD}{sin{\hat{ABD}}}=\frac{DB}{sin{\hat{DAB}}}=2R[/TeX]
donc
[TeX]R=\frac{BD}{2sin{\hat{BAD}}[/TeX]
avec :[latex]BD=\sqrt{17^2+6^2} = \sqrt{325}=5\sqrt{13}[/latex]
et :[latex]sin{\hat{BAD}}=\frac{6}{AD}=\frac{6}{\sqrt{4^2+6^2}}=\frac{3}{\sqrt{13}}[/latex]

On a donc : [latex]R=\frac{5\sqrt{13}}{2\frac{3}{\sqrt{13}}}=\frac{65}{6}[/latex]

t'en penses quoi SaintPierre ?

 #23 - 12-03-2011 15:28:54

dhrm77
L'exilé
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Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

czrcle

Le rayon est 65/6 = 10.833333333

il suffisait de poser 2 équations.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #24 - 12-03-2011 20:52:45

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

ercle

et moi, j'ai bon?


Un promath- actif dans un forum actif

 #25 - 13-03-2011 15:17:07

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Crcle

Compare ta réponse avec les autres, tu verras bien que oui !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

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