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 #1 - 09-03-2016 22:53:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Mathématiques pour les nuls 27 R(apport d'aires) + Indice

La première étape de l'énigme 50 m'a fait penser à une petite énigme rien que pour vous ! big_smile Spoiler : [Afficher le message] Dites-moi que vous m'avez cru et que votre cœur s'est mis à palpiter lorsque vous avez vu "énigme 50".. tongue

Bon alors voilà, il ne me semble pas que cette énigme soit sur le forum, j'ai bien cherché normalement la voix est libre.

Quel est le rapport entre l'aire de l'ensemble des points d'un triangle équilatéral plus près du centre que d'un de ses côtés, et l'aire de ce triangle ?

J'ajouterai des indices par rapport à des choses pouvant être utiles de savoir selon les réponses qu'il y aura.

La case réponse valide la réponse exacte smile

Indice: L'ensemble des points équidistants entre un point et une droite est une parabole.



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 10-03-2016 06:36:40

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Mathématiques pour les nuls 27 (Rapport d'aires) + IIndice

Bonjour,

j'ai 5/27 smile

Bon je ne vais pas tout expliquer parce que ce serait trop long ^^

L'ensemble des points étant plus près du centre du triangle que d'un côté du
triangle est délimité par le trait rouge sur le dessin :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-mpn27.jpg

J'ai obtenu ce résultat par rotations du triangle ADB de la figure suivante :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-mpn27.png

Sur cette image, D est le centre du triangle équilatéral, les droites bleu et verte sont respectivement les bissectrice des angles BAC et ABC, la courbe rouge représente tous les points qui sont équidistant du point D et de la droite (AB).

Les points H et G sont à une hauteur de [latex]\sqrt{3}\over 9[/latex].
Je me suis placé dans un repère orthonormé dont A est l'origine et B est le point de coordonnées (1,0).

Dans ce repère, l'équation de la courbe rouge est [latex]f(x)=\sqrt{3}(x^2-x+{1\over 3})[/latex]

On va s'intéresser uniquement à ce qui se passe dans le triangle DAB, il suffira ensuite de multiplier les résultats par 3.

On va calculer l'aire complémentaire de l'ensemble qui nous intéresse. Pour ça on
va s'intéresser au "pseudo polygone" AHGB.

Pour l'aire de la partie rouge foncé est  [latex]{\sqrt{3}\over 9} * {1\over 3}={\sqrt{3}\over 27}[/latex]

Pour l'aire en rouge clair en dessous de la courbe rouge j'ai calculé l'intégrale
de 1/3 à 2/3 de la fonction f (la courbe rouge), et ça donne quelque chose du

genre  :[latex]{5\sqrt{3}\over 162}[/latex]

donc l'aire du "secteur" AHGB est égal à  [latex]{\sqrt{3}\over 27}+{5\sqrt{3}\over 162}={11\sqrt{3}\over 162}[/latex]

Si on multiplie cet aire par 3 on obtient [latex]{11\sqrt{3}\over 54}[/latex].

Comme l'aire du triangle équilatéral est [latex]{\sqrt{3}\over 4}[/latex] alors l'aire de la partie qui nous intéresse est [latex]{\sqrt{3}\over 4}-{11\sqrt{3}\over 54}={5\sqrt{3}\over 108}[/latex]

Et la probabilité recherchée est le rapport de l'aire trouvée par l'aire du triangle soit :
[TeX]{5\sqrt{3}\over 108}*{4\over \sqrt{3}}={5\over 27}[/TeX]


Il y a sûrement plus simple.

 #3 - 10-03-2016 06:45:08

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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mathémariques pour les nuls 27 (rapport d'aires) + indice

La frontière entre les deux zones est constituée par trois arcs de parabole.
Pour simplifier, je divise mon triangle équilatéral en six triangles identiques.
Puis ma méthode devient bourrin, en calculant la surface par une intégrale.
Sans difficulté, je trouve finalement: 5/27, validé par la case-réponse.
Au besoin, je peux détailler mes longs calculs, mais c'est vraiment sans intérêt.

Edit: Dans un repère ayant pour origine le milieu de la base du triangle équilatéral, je considère le triangle, sixième de celui-ci délimité par les droites d'équation: x=0; y=0 et y=(1-2x).V3=d(x)
La parabole a pour équation: y=(x²+1/12).V3=p(x)
Soit A l'aire au dessus de la parabole: A=Intégrale de 0 à 1/6 (d(x)-p(x)).dx
On trouve: A=(-V3/12).Intégrale de 0 à 1/6 (12x²+4x-1).dx=5V3/648
Soit B l'aire du sixième de triangle: B=V3/24
Probabilité=A/B=5/27

 #4 - 10-03-2016 10:09:03

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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mathématiques ppur les nuls 27 (rapport d'aires) + indice

La réponse est 5/27.

Mon raisonnement : les points à égale distance d'un point et d'une droite donnés déterminent une parabole. Le domaine cherché est donc délimité par 3 arcs de paraboles.

Pour calculer l'aire de ce domaine, j'utilise cette figure (pas très juste) :

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-triangle-para.png

Je calcule d'abord l'aire du trapèze rectangle vert et orange. L'angle en haut fait 60°, d'où on tire que ses 4 côtés mesurent, si on appelle L la longueur du côté de gauche, L, 2L/3, 2L/3 et L*rac(3)/3. On en déduit son aire.

Je calcule ensuite l'aire verte grâce à une intégrale, j'en déduis l'aire orange, que je multiplie par 6, et le tour est joué.

 #5 - 10-03-2016 10:14:55

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 304

mathématiques pour kes nuls 27 (rapport d'aires) + indice

Pour faire mon casse-pieds : la formulation en terme de probabilités n'est pas très rigoureuse, car tu n'explicites pas ce que tu appelles "au hasard". On comprend que tu sous-entends que tu utilises une loi uniforme sur l'intérieur du triangle, mais ce n'est pas la seule façon de choisir un point au hasard. Par exemple, on peut d'abord choisir l'ordonnée du point, puis son abscisse, à chaque fois de manière uniforme : ça ne donnerait pas le même résultat (voir paradoxe de Bertrand).

Il est facile d'éviter le problème en ne le formulant pas en terme de probabilités, mais simplement en terme d'aires, par exemple : "Quel est le rapport entre l'aire de l'ensemble des points d'un triangle équilatéral plus près du centre que d'un de ses côtés, et l'aire de ce triangle ?"

Voilà, j'arrête smile

 #6 - 10-03-2016 11:07:14

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Mathématiques pour less nuls 27 (Rapport d'aires) + Indice

Bravo à tout le monde pour le moment ! smile

Ebichu tu as raison, j'ai édité l'énigme smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 10-03-2016 11:19:07

nodgim
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Mathématiques pour les nuls 27 (Rapport da'ires) + Indice

J'ai trouvé 10/27, mais....

 #8 - 10-03-2016 11:40:08

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Mathématiques pour le nuls 27 (Rapport d'aires) + Indice

Le dénominateur est juste nodgim mais le numérateur non. Sans ton raisonnement je peux difficilement t'aider smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #9 - 10-03-2016 17:31:46

enigmatus
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mathématiqyes pour les nuls 27 (rapport d'aires) + indice

Bonjour,
Après m'être pris les pieds dans les racines plusieurs fois, j'obtiens [latex]5/27[/latex]. Jai raisonné sur un sixième du triangle initial, et fait un bête calcul d'intégrales pour calculer l'aire entre le segment et la parabole.
J'ai vérifié ensuite le résultat par une simulation numérique, et… la case réponse.

 #10 - 10-03-2016 17:51:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Mathématiques pourr les nuls 27 (Rapport d'aires) + Indice

Ce serait plutôt 5/24, je crois.

 #11 - 10-03-2016 18:13:55

shadock
Elite de Prise2Tete
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Mathématiques pour les nuls 27 (Rapport d'aires) + IIndice

Maintenant nodgim tu as le bon numérateur et le mauvais dénominateur. Donc grace à moi tu as la bonne réponse lol

Je te laisse chercher smile

Bravo enigmatus !


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 10-03-2016 19:04:18

unecoudée
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Mathématiques pourr les nuls 27 (Rapport d'aires) + Indice

bonsoir.

j'ai un rapport de 0.15778257736..  (non validé).
J'ai du alors me planter quelque part.

mes points sont à l'intérieur d'une ressemblance d'un triangle de reuleaux délimité
par 3 arcs de parabole.

 #13 - 10-03-2016 19:34:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Mathémaitques pour les nuls 27 (Rapport d'aires) + Indice

Merci pour ta réponse, je ne voyais pas où était l'erreur.

En fait, en fin de calcul, je devais simplifier (1/12) / (1/8). Dans la 1ère réponse, j'avais simplifié en 4/3. Dans ma seconde en 3/4 !  Et finalement c'est 2/3. Et (2/3)(5/18) c'est bien 5/27.

Il faut passer par une petite intégrale d'un polynôme en x² pour résoudre ça.
Le résultat géométrique est une sorte de cercle déformé en 3 arcs de rayon min 1/4 et max 1/3.

C'est un problème assez original de portée Lycée Terminale. J'y ai pris du plaisir. Merci pour ça. 
"Maths pour les nuls 27" comme titre, n'est ce pas un peu abusif ?

 #14 - 10-03-2016 20:39:15

fix33
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Maathématiques pour les nuls 27 (Rapport d'aires) + Indice

Une réflexion rapide m'a amené à 1/4, ce que la case-réponse m'a refusé.
Et effectivement,  il va falloir que je sorte le crayon ! smile


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #15 - 10-03-2016 21:13:18

shadock
Elite de Prise2Tete
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mathématuques pour les nuls 27 (rapport d'aires) + indice

Bravo nogdim !

nodgim a écrit:

"Maths pour les nuls 27" comme titre, n'est ce pas un peu abusif ?

Comment ça abusif ? lol

Fix33 oui, moi aussi avec ton problème c'est ce que je vais devoir faire, mais d'abord comprendre l'énoncé roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #16 - 10-03-2016 21:50:31

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4734

mathématiques pour les nuls 27 (raoport d'aires) + indice

Bonjour

J'ai pris un côté 36 pour le grand triangle qui a donc une aire de [latex]324\sqrt{3}[/latex] . La partie à égale distance du centre et du côté le plus proche est constituée de trois morceaux de parabole identiques . Un petit calcul d'intégrale et quelques calculs d'aire de triangles nous donne l'aire cernée par ces arcs [latex]60\sqrt{3}[/latex] : le rapport vaut donc [latex]\frac{5}{27}.[/latex]

Vasimolo

 #17 - 11-03-2016 08:01:45

QUATTRED
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Mathématiqus pour les nuls 27 (Rapport d'aires) + Indice

Je n'ai pas compris l'énoncé,... mais je suis peut être le seul !!

 #18 - 11-03-2016 11:09:12

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

mathématiqyes pour les nuls 27 (rapport d'aires) + indice

Le rapport des aires est égal à 5/27 .

Le lieu des points d'un triangle équilatéral plus près du centre que d'un de ses côtés est  une pièce dont le bord est formé de 3 arcs de paraboles.

Pour la preuve, on utilise l'équation réduite d'une parabole, à savoir [latex]y^2=2px[/latex] .

On peut utiliser le fait que l'aire définie par [latex]0\leq x\leq x_0[/latex], [latex]0\leq y\leq \sqrt{2px}[/latex]  est égale aux 4/3 de l'aire du triangle OAB avec [latex]O=(0,0)[/latex], [latex]A=(x_0,0)[/latex] et [latex]B =(x_0,\sqrt{2px_0})[/latex].

 #19 - 11-03-2016 19:35:59

shadock
Elite de Prise2Tete
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Mathématiques pour les nuls 27 (Rappotr d'aires) + Indice

Et encore des bonnes réponses ! smile

QUATTRED, que n'as-tu pas compris?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 11-03-2016 21:46:00

kossi_tg
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Mathéamtiques pour les nuls 27 (Rapport d'aires) + Indice

Je trouve 11/54 mais la case réponse ne valide pas ... hmm

 #21 - 11-03-2016 21:51:44

shadock
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Mathématiques pour les nuls 27 (Rapport d''aires) + Indice

Sans ton raisonnement je ne peux pas t'aider ! wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 11-03-2016 22:38:57

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

mathématiques pour les nuls 27 (rapport d'aiees) + indice

Ah il y avait juste une petite erreur de calcul que je viens de voir, le raisonnement en lui même est bon.
Le rapport recherché est de 5/27.

Mon raisonnement: L'ensemble des points équidistants d'un point à une droite est une parabole de foyer ce point et dont le sommet passe par le milieu de ce point et sa projection sur la droite (les coniques en 1ère et Tle wink ). J'ai raisonné sur un des 3 triangles isocèles formés par un côté du triangle équilatéral et son centre. Le reste est calculatoire.

 #23 - 12-03-2016 14:41:48

fix33
Elite de Prise2Tete
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Mathématiques pour les nuls 27 (Rapport d'aires) + Indicee

J'ai trouvé l'emplacement des 6 points particuliers mais je n'arrive pas à trouver de formule qui me donne la nature de la courbe limite... Je me perds avec Pythagore et Thalès.
N'avais-tu pas parlé d'indices ? smile


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #24 - 13-03-2016 01:34:33

shadokpoilu
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Maathématiques pour les nuls 27 (Rapport d'aires) + Indice

Bonjour,
ce ne fût pas de tout repos, ça fait maintenant 3 jours que je suis dessus, mais pas mécontent d'être arriver à 5/27 smile

pour arriver à cette valeur, il faut additionner l'aire d'un triangle qui fait 1/9 de l'aire total du triangle, auquel on ajoute 3 fois l'aire d'une surface compris entre le bord du "petit" triangle et une parabole définie par le centre de gravité du triangle original et un de ses côtés, aire calculée à l'aide d'une petite intégrale...

Merci, ça m'a fait du bien de retourner dans ces mathématiques que je n'avais pas touché depuis longtemps big_smile

a ce propos, je me suis dit, et je pense que tu confirmeras, que la probabilité que le point soit à la même distance du bord et du centre est donc nulle...

 #25 - 13-03-2016 12:12:10

fix33
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mathématiqyes pour les nuls 27 (rapport d'aires) + indice

Merci pour l'indice, j'aurais pu me souvenir mais c'est loin tout ça !

L'aire intérieure A1 vaut l'aire totale A2 moins 6 fois une aire composée de 3 parties (l'intégrale de la parabole de 0 à a/6, un rectangle dessous de a/6 par a/(4 rac (3)) et un triangle rectangle de côtés adjacents a/3 et a / (3 rac (3)).

De la formule des paraboles, je déduis celle de notre courbe :
y = 2 rac(3) x^2 / a.
Avec a la longueur du côté du triangle.
L'intégrale donne alors : a^2 / (216 rac (3)).
D'où A1 = 5 a^2 / (36 rac (3))

A1/A2 = 5/27.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

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