1/2 ?

Salut Gabriel,

Je galère aussi et j'obtiens des formules en x^6.

Voilà ce que j'ai trouvé pour le moment.

Notations
$$\cal{P}_0 \text{, la parabole d'équation } y  = x²$$ $$\cal{P}_1 \text{, la parabole d'équation } y  = x² -  \frac{1}{2}$$ $$\cal{C} \text{, le cercle tangent aux deux courbes, de centre (c, 0) et de rayon R }$$
Je nomme :
$$A (x_0, y_0)\text{ et }B (x_1, y_1)$$
les points d'intersection de C avec respectivement P_0 et P_1.

Relations entre c et x0, entre c et x1



La pente en A vaut (1, 2.x0) le vecteur orthogonal est (2.x0, -1) et le vecteur
$$\vec{AC} = (2.x_0.y_0, -y_0) \text{ d'où } c = x_0 + 2.x_0.y_0$$
Or y0 = x0², d'où :
$$c = x_0 + 2x_0^3$$
Et en appliquant le même raisonnement à partir de B, j'ai :
$$c = 2x_1^3$$
Les formules inverses :
$$x_1 = \sqrt[3]{\frac{c}{2}}$$
Pour c_0, il faut s'accrocher un peu, avec la formule de Cardan, on a :
$$x_0 =  \sqrt[3]{  \frac{c}{4} +  \sqrt{ (\frac{c}{4})^2 + (\frac{1}{6})^3 } } + \sqrt[3]{  \frac{c}{4} -  \sqrt{ (\frac{c}{4})^2 + (\frac{1}{6})^3 } }$$
Hum, je ne pense pas qu'on fera grand chose de celle-là.

valeur du rayon du cercle tangent à P_0 et de centre sur l'axe des abscisses en fonction de x_0
(sans tenir compte de la tengeance à P_1).

J'ai déjà l'expression de AC = (2.x0.y0, -y0) d'où :
$$R_0^2 = (2x_0.y_0)^2 + y_0^2$$
or y0 = x0², d'où :
$$R_0^2 = 4.x_0^6 + x_0^4$$
De même pour R1, le rayon du cercle tangeant à P1 de centre sur l'axe des abscisses. On part du vecteur BC = ( -2.x1.y.1  , y1 )  :
$$R_1^2 = (2x_1.y_1)^2 + y_1^2$$
or y1 = x1² - 1/2, d'où :
$$R_1^2 = (2x_1.(x_1^2-\frac{1}{2}))^2 + (x_1^2-\frac{1}{2})^2 = 4.x_1^6 - 4x_1^4 + x_1^2 + x_1^4 - x_1^2 + \frac{1}{4}  = 4.x_1^6 - 3.x_1^4 + \frac{1}{4}$$

En prenant a , l'abscisse du premier point de tangence pour y=x^2:
Je trouve comme coordonnées (a,a^2) la perpendiculaire à la parabole en ce point donne pour le centre du cercle Ca(2a^3+a,0).

De même pour  y=x^2-1/2 :
point de tangence (b,b^2-1/2)
centre du cercle : Cb(2b^3,0)

Ca et Cb sont confondus donc : 2a^3+a=2b^3
Les deux distances sont égales donc : (2a^3)^2+(a^2)^2=(2b^3-b)^2+(b^2-1/2)^2

Et le rayon du cercle vaut : r=sqrt((2a^3)^2+(a^2)^2)

Merci wolfram :

Wolfram propose aussi des versions moins imbuvables, mais elles sortaient de la capture d'écran...

Merci beaucoup moi j'avais une équation du 4eme degré avec la méthode de Ferrari a faire. Je vous enverrai lundi la solution que j'avais trouvé.