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 #1 - 25-02-2015 11:40:28

nodgim
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Un décor qui mesuree

Bonjour à tous.
Une petite énigme pas bien méchante mais assez curieuse.

Un architecte décide de décorer une façade d'immeuble de largeur unité et de hauteur infinie avec des triangles isocèles pointe en haut et à base horizontale les uns sous les autres. On pose que le bord gauche de l'immeuble est en 0 et le bord droit en 1. En partant d'un point x quelconque au sommet, il dessine un 1er triangle (le dessiner assez plat) tel que le sommet est en x et l'une des extrémités de la base touche le bord le plus proche, 0 ou 1. L'extrémité libre de la base du triangle sert de sommet à un second triangle dont l'une des extrémités de la base touche le bord le plus proche, l'autre extrémité servira à son tour de sommet d'un 3ème triangle. Et ainsi de suite.
Si on attribue la valeur 1/2^n au énième triangle, montrer que la somme des valeurs des triangles qui touchent le bord 1 vaut exactement x.

Bon amusement



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#0 Pub

 #2 - 25-02-2015 12:17:09

gwen27
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nU décor qui mesure

Rien compris non plus... Tu n'as pas un dessin ?

 #3 - 25-02-2015 14:21:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
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un décor qui mrsure

 #4 - 25-02-2015 16:07:34

nodgim
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un décor qii mesure

Bravo Gwen pour le dessin, c'est exactement ça. De quelle manière puis je m'y prendre pour le copier et le mettre dans l'énoncé ?

 #5 - 25-02-2015 16:09:36

nodgim
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Messages : 2955

nU décor qui mesure

Oui Gwen, si x est au milieu l'algorithme s'arrête immédiatement. Il y a d'autres cas particuliers, je ne veux pas en parler, je vous laisse les gérer. Mais l'idée est bien de chercher ce qu'il se passe pour un x quelconque.

PS: Gwen, ton dessin est peu encombrant en largeur, peux tu y faire quelque chose ?

 #6 - 25-02-2015 17:07:29

gwen27
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un décor qui mesurz

Pas vraiment... C'était juste pour être sûr qu'on se comprenait bien. Et effectivement, la somme donne x. C'est d'ailleurs évident pour 1/2, 1/3 et 1/4

Je reviens plus tard...

 #7 - 25-02-2015 17:45:49

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1747

un décpr qui mesure

Bonjour,


Je ne suis pas bien sûr d'avoir compris l'énoncé :

> les triangles isocèles successifs doivent-ils être semblables au premier ?
> que signifie la "valeur" d'un triangle ? est-ce l'abscisse de son sommet ?

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-decortriangle1.jpg

A suivre ! Merci !
smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #8 - 25-02-2015 18:05:08

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4734

un sécor qui mesure

Ca ressemble beaucoup à une écriture binaire du nombre x .

Un point x au sommet d'un immeuble infini : c'est le genre de phrase qui me décourage avant de commencer mad

Vasimolo

 #9 - 26-02-2015 09:37:01

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Un édcor qui mesure

A NickoGecko: Ton dessin est correct. Les triangles isocèles peuvent prendre n'importe quelle forme pour la clarté de ton dessin. Ils pourraient être plats, mais ce serait vraiment illisible. Comme je l'ai dit dans l'énoncé, le 1er triangle en haut a pour valeur 1/2, celui en dessous 1/4, etc...Si le 1er triangle est collé contre le bord 1, alors 1/2 est à compter pour x.

A Vasimolo: ben oui, on calcule x en binaire. La hauteur est infinie pour beaucoup de valeurs de x. La hauteur est finie seulement pour les fractions dont le dénominateur est une puissance de 2 (vu qu'on additionne des puissances de 2).   

A Titoufred: cette enigme est une partie de la réponse sur les mises à la banque.

C'est juste un petit problème d'arithmétique, cette énigme.

 #10 - 28-02-2015 11:02:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
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un décor qui mesute

Une autre présentation du problème:
Soit un segment [0;1], et un point x0 sur ce segment. On se propose d'ajouter les pts x1,x2,..xn de cette façon:
x(n+1) est le symétrique de 0 par rapport à xn si xn est plus proche de 0 que de 1.
x(n+1) est le symétrique de 1 par rapport à xn si xn est plus proche de 1 que de 0.
Si on attribue à xn la valeur 1/2^n, montrer que la somme des valeurs des xn symétriques de 1 est égale à x0.

 #11 - 08-03-2015 16:16:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
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un décor qii mesure

Et la solution ?

 #12 - 08-03-2015 19:04:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Un déccor qui mesure

Bonsoir Gwen,
J'ai proposé cette énigme sur un autre site, j'attends un peu pour donner une réponse ici. La démo est plutôt simple, ce n'est que de l'arithmétique de collège.

Indice: calculer et analyser les absisses des différents points successifs.

 #13 - 10-03-2015 13:34:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

Un édcor qui mesure

Dans le prolongement de la présentation du message 10:

Si x(n+1) est le symétrique de 0 par rapport à xn, alors x(n+1)=2xn
Si x(n+1) est le symétrique de 1 par rapport à xn, alors x(n+1)=xn-(1-xn)=2xn-1.

Remarquons que tous les x successifs  sont dans l'ntervalle [0;1] c'est l'algorithme qui le veut comme ça.

Cela dit venons en tout de suite avec un exemple, où la suite des xn successifs est 0010.... (sous entendu symétrique de 0 ou 1).

x1=2x0
0<x1<1
0<2x0<1
0<x0<1/2.
x0<1/2, la valeur 1/2 est à compter dans 1-x0.

x2=2x1=4x0
0<4x0<1
0<x0<1/4=1-1/2-1/4 (borne inférieure inchangée).
la valeur 1/4 est à compter dans 1-x0

x3=2x2-1=8x0-1
0<8x0-1<1
1<8x0<2
1/8<x0<1/4  (borne supérieure inchangée)
la valeur 1/8 est à compter dans x0.

x4=2x3=16x0-2
0<16x0-2<1
2<16x0<3
1/8<x0<3/16=1/8+1/16 (borne inférieure inchangée)
la valeur 1/16 est à compter dans 1-x0.

etc...

On réduit l'intervalle de x0 à chaque itération:
Par un symétrique de 1,c'est la borne inférieure qui est modifiée.
Par un symétrique de 0, c'est la borne supérieure qui est modifiée.
Le cumul des valeurs des 1 successifs donne la valeur par défaut de x0.
Le cumul des valeurs des 0 successifs donne la valeur par défaut de 1-x0.    

Dans notre exemple, le 1 au rang 3 dit que x0>1/8, et le zéro suivant que x0<1/8+1/16=3/16.

 

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