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 #1 - 03-10-2015 00:20:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Gtâeau 107

Bonjour à tous smile

Pour mon anniversaire mon pâtissier m'a offert quatre gâteaux identiques :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau105(0).png

Pour dessiner la partie centrale , il a disposé trois baguettes parallèlement aux côtés du triangle :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau105(1).png

Il a ensuite distribué les coupes rouges et bleus à ses deux fistons ( une couleur pour chacun ) . Comme ils ont hérité de certaines manies de leur père , ils se sont amuser à construire des gâteaux avec leurs petits bâtonnets :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau105(2).png 

Les deux gâteaux semblent avoir le même volume ???

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 03-10-2015 02:11:28

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Gâteau 017

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-TriangleGateau.png
ou
http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-TriangleGateau2.png

A, B et C désignent à la fois les sommets et les angles à ces sommets,

les lettres d à i désignent les longueurs des coupes de baguettes,

m, n et v désignent la distances des côtés aux points de croisement des baguettes (voir les figures)

Par définition, les gâteaux rouges et bleus ont le même volume si et seulement si d*f*h=e*g*i.

A partir des reports d'angle dus aux différents parallélismes, on a:

sin(A)=m/d donc d=m/sin(A)

sin(A)=n/e donc e=n/sin(A)

sin(C)=n/f donc f=n/sin(C)

sin(C)=v/g donc g=v/sin(C)

sin(B)=v/h donc h=v/sin(B)

sin(B)=m/i donc i=m/sin(B)

d*f*h=m/sin(A)*n/sin(C)*v/sin(B)=m*n*v/[sin(A)*sin(B)*sin(C)]

e*g*i=n/sin(A)*v/sin(C)*m/sin(B)=m*n*v/[sin(A)*sin(B)*sin(C)]

d*f*h=e*g*i  CQFD

 #3 - 03-10-2015 02:40:08

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Gâtaeu 107

On remarque que les 3 "petits" triangles formés de la portion centrale des bords respectifs prolongés des bâtonnets de couleurs adjacents sont homothétiques.

Notons ABCDEF les longueurs des bâtons rouges et bleus (pris dans le sens de aiguilles d'une montre à partir du bâton rouge de gauche ) et XYZ les longueurs des portions centrales (pris dans le même sens en partant également de celui de gauche), on a :

A/X=D/C=Z/F
A/B=D/Y=Z/E

et de petites manipulations  élémentaires afin de supprimer les XYZ (qui ne servent à rien) montrent donc ACE=BDF ce qui répond  à la question.

 #4 - 03-10-2015 07:36:18

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,510E+3

Gtâeau 107

J'avoue ne pas trop comprendre l'artifice par lequel sont "construits" les gateaux bleu et rouge roll ni comment on passe du gateau 106 au 105 big_smile mais bon, si j'ai bien saisi ce à quoi tu cherches à arriver, ça se résout en 30 secondes avec Thalès :

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g105.JPG

 #5 - 03-10-2015 08:58:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Gâtaeu 107

C'est bon pour tous smile

On peut passer par la trigo , Thalès ou les triangles semblables .

@Gwen : Il s'agit simplement de construire le squelette des petits gâteaux avec les baguettes . J'ai rectifié le numéro du problème .

Vasimolo

 #6 - 03-10-2015 12:17:47

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

gâtzau 107

On remarque que si les bâtonnets rouges ou bleus étaient remplacés par les "3 petits segments centraux des bords ",  ça marcherait aussi...que d'homothéties...

 #7 - 03-10-2015 21:04:35

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2750
Lieu: Luxembourg

GGâteau 107

http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Gateau107.png
Un dessin vaut mieux qu'un long discours: on a affaire à 5 triangles semblables dont on écrit la proportionnalité des côtés. On voit que le produit des rouges et celui des bleus sont égaux: (cA).(dB).(bC) = (bcd).(ABC) = (bA).(cB).(dC)

 #8 - 04-10-2015 18:52:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

âGteau 107

Oui Franky smile

Vasimolo

 #9 - 05-10-2015 01:35:09

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

gâtrau 107

On a
http://www.prise2tete.fr/upload/dbab3000-Reponse.png
V₁ le volume du gâteau avec les bâtonnets bleus
avec V₁=BE×HI×GJ
V₂ le volume du gâteau avec les bâtonnets rouges
avec V₂=CE×FG×HK
En utilisant le théorème de thalès
BC et GH sont parallèles alors BE/EH=CE/EG ce qui implique que ⁽¹⁾ BE=CE×EH/EG
IK et EG sont parallèles alors HI/GH=HK/EH ce qui implique que ⁽²⁾ HI=HK×GH/EH
FJ et EH sont parallèles alors GJ/EG=FG/GH ce qui implique que ⁽³⁾ GJ=FG×EG/GH
⁽¹⁾×⁽²⁾×⁽³⁾ donne BE×HI×GJ=CE×HK×FG×(EH×EG×GH)/(EH×EG×GH)
qui donne l'égalité BE×HI×GJ=CE×HK×FG qui est V₁=V₂
Donc ils ont le même volume.
Bonne nuit.

 #10 - 05-10-2015 15:00:00

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 481
Lieu: Ardèche

Gtâeau 107

Ils ont bien le même volume.
http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-gateau107.png
Les côtés parallèles permettent d'écrire :
i/l=a'/b'
g/j=c'/a'
h/k=b'/c'
En faisant le produit
igh/jkl =1
cqfd

 #11 - 05-10-2015 15:32:45

looozer
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Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

gâyeau 107

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-gateau107.jpg

Le triangle central est semblable aux 3 triangles formés par les côtés du gâteau et les segments de couleur. Leur côtés sont donc proportionnels.

Donc
r1/b = b1/a
r2/c = b2/b
r3/a = b3/c

En multipliant membre à membre ces trois égalités on obtient :

r1r2r3/abc = b1b2b3/abc donc r1r2r3 = b1b2b3 cqfd smile

Merci pour cette amusante propriété!

 #12 - 05-10-2015 19:50:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Gâteau 017

Que du bon smile

C'est vrai que ce n'est pas difficile , il m'arrive ( trop rarement ) d'apprécier les plaisirs simples lol

Vasimolo

 #13 - 06-10-2015 17:04:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Gâteau 17

Je vous laisse admirer les réponses smile

Merci à tous .

Pour ceux qui ont aimé l'idée , un petit prolongement à peine plus difficile :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-etoile.png

Montrer que le produit des longueurs rouges est égal à celui des longueurs bleues .

Vasimolo

 #14 - 14-10-2015 22:40:34

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2750
Lieu: Luxembourg

âteau 107

A peine plus difficile ? Si quand même. Il n'y a plus de triangles semblables et je ne trouve aucune démonstration simple. Une piste ? Merci.

 #15 - 15-10-2015 17:09:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Gâteu 107

On peut écrire la loi des sinus dans chaque petit triangle smile

Vasimolo

 #16 - 15-10-2015 18:02:54

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2750
Lieu: Luxembourg

Gâteau 07

http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Etoile.png
Ah ben oui, merci, Vasimolo.
La loi des sinus dans les cinq triangles s’écrit:
a1/sinB = a2/sinA
b1/sinC = b2/sinB
c1/sinD = c2/sinC
d1/sinE = d2/sinD
e1/sinA = e2/sinE
En multipliant ces cinq relations entre elles et
en simplifiant par sinA.sinB.sinC.sinD.sinE, on
obtient: a1.b1.c1.d1.e1 = a2.b2.c2.d2.e2
Et voilà.

 #17 - 15-10-2015 19:37:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3022

gâtezu 107

Ah oui celle-là elle est excellente ! Ultra courte et lumineuse.

 

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