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 #1 - 14-07-2020 19:09:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

Le 2020 ièmme

Bonsoir @ tous

Dans l'ensemble des entiers naturels qui totalisent chacun exactement 10 chiffres 1 quand ils sont écrits en binaire, quel est le 2020 ième ?

A trouver à la main, cela va de soi.



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 #2 - 15-07-2020 11:19:47

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1656

Le 2020 ièm

27879 - j'aurais dit plus, intuitivement

On commence par trouver le nombre de bits nécessaires : C(n,10) >= 2020
(comment placer 10x1, tous les autres sont des zéros)
On trouve n = 15 - on peut aller jusqu'à 3003

On cherche la place du premier zéro
- On le place au tout début, reste C(14,4) possibilité pour les autres ==> 1001
- En seconde place (après un premier 1), reste C(13,4) pour les autres ==> 715
- En troisième place reste C(12,4) ==> 495 ==> total > 2020, on place le premier 0
On a donc 110xxx avec xxx qui comporte 8x1 et 4x0

On cherche donc le 2020 - 1001 - 715 = 304ème xxx, on recommence pour le zéro suivant, et ainsi de suite
110110011100111, soit 27879

 #3 - 15-07-2020 11:22:57

Orsa
Visiteur

Le 2020 ime

27879 hmm

 #4 - 15-07-2020 14:03:38

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 446

ke 2020 ième

En calculant le nombre de permutation possible entre 10 un et 0 zéro, on trouve une possibilité. Evidemment, 1111111111.
La formule à utiliser est :
[TeX]\frac{\left ( 10 + n \right )!}{\left ( 10!  n! \right )}[/TeX]
avec n = le nombre de zéros.

En suivant le même calcul pour 1 zéro, on trouve 11 possibilités.
Et ainsi de suite :
- 0 zéro donne 1 possibilité
- 1 zéro donne 11 possibilités
- 2 zéros donnent 66 possibilités
- 3 zéros donnent 286 possibilités
- 4 zéros donnent 1001 possibilités

Pour 0, 1, 2, 3 ou 4 zéros, on a donc 1365 possibilités.

Comme avec 5 zéros on a 3003 possibilités, on peut dire que le 2020ème comporte 5 zéros. Il ne reste plus qu'à trouver le 655ème (2020 - 1365).

Voici les premiers dans l'ordre croisant :

100000111111111
100001011111111
100001101111111
100001110111111
100001111011111
100001111101111
100001111110111
100001111111011
100001111111101
100001111111110
100010011111111
100010101111111
...

En gardant le premier 1 fixe, on peut faire le même excercice avec 9 un en utilisant :
[TeX]\frac{\left ( 9 + n \right )!}{\left ( 9!  n! \right )}[/TeX]
On trouve que, pour 9 un:

- 0 zéro donne 1 possibilité
- 1 zéro donne 10 possibilités
- 2 zéros donnent 55 possibilités
- 3 zéros donnent 220 possibilités
- 4 zéros donnent 715 possibilités

Donc les 9 un suivant sont mélangé avec 4 zéros, ce qui donne 101 comme premiers chiffres.

Et ainsi de suite, on fixe les uns et les zéros en utilisant les formules :
[TeX]\frac{\left ( 8 + n \right )!}{\left ( 8!  n! \right )}[/TeX]
puis
[TeX]\frac{\left ( 7 + n \right )!}{\left ( 7!  n! \right )}[/TeX]
etc...

Je trouve :

101101111000111

 #5 - 15-07-2020 16:44:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

LLe 2020 ième

@ Scarta: parfait !

@ Milou : j'ai cherché où est ton erreur. Je crois que tu as dû cumuler à tort. Par exemple les possibilités avec 4 zéros englobent celles avec 2 zéros, il ne faut pas les additionner. Mais l'idée est bien là.

 #6 - 16-07-2020 16:35:09

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 718

Le 2200 ième

Je commence par mettre le nombre 11 1111 1111
Puis je trouve 2020  en binaire 111 1110 0100
Je l'inverse : 000 00011011
J'y ajoute les 1 qui vont bien => 1 1111 1000 0001 1011
Et ... ça ne fonctionne pas (ce n'est pas forcement le 2020 ième !)

Bon je reprends mes réflexions smile

 #7 - 16-07-2020 16:48:12

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 718

Lee 2020 ième

Bon, de retour avec une feuille excel !
calcul de X 0 parmi Y chiffres.
Un rapide calcul me dit que Y = 11
La somme de X entre C(X;Y) de 1 à 11 fait 2047 auquel j'ajoute un pour le nombre sans 0 !
Donc le résultat est proche de 1 1111 1111 1000 0000 0000 (2048 ième ?)
1 1111 1111 0000 1000 0000 est le 1981 ? (oui, je commence à douter de mon analyse)
Bon, je fini ma journée de boulot, je reprends ce soir smile

 #8 - 16-07-2020 20:27:26

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3063
Lieu: Luxembourg

Le 2020 ème

Avec aucun zéro, on en a qu’un (c'est 1111111111).
Avec un seul zéro, on en a 10 (en cumul donc 11).
Avec deux zéros, on en a 55 (en cumul donc 66).
Avec trois zéros, on en a 220 (en cumul donc 286).
Avec quatre zéros, on en a 715 (en cumul donc 1001).
Avec cinq zéros, on en a 2002 (en cumul donc 3003).
Donc on sait que le nombre cherché comporte cinq zéros (et bien sûr dix uns).
Après je me sers un peu d’un tableur pour bien compter, même si c’est interdit par le règlement: LOL
Et je trouve: 110110011100111 en binaire, correspondant à 27879 en décimal.

 #9 - 17-07-2020 10:07:18

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

Le 220 ième

@ Francky : un tableur est une aide au calcul, ce n'est pas de la programmation.
C'est le bon résultat, bravo !

@ Orsa : c'est bon !

@ Godisdead : j'ajoute un peu de temps.

 #10 - 17-07-2020 17:33:55

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 718

Le 20200 ième

Bon, je reprends à partir de
1 1111 1111 1000 0000 0000 (2048 ième ?)
je vais compter à l'envers les 28 nombres de trop (je ferais plus joli un autre jour !)
1 1111 1111 0000 0000 0001 => 2037
1 1111 1110 1000 0000 0001 => 2026
1 1111 1110 0100 0001 0000 => 2020
Sans certitude smile

 #11 - 17-07-2020 17:39:35

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 393

L e2020 ième

le premier 1111111111
10 nombres avec un 0
2 parmi 11 avec deux 0. En effet, si on en prend 2 nombre dans 1-11, le premier nombre donne la position dans le nombre binaire (il ne peut dépasser 10). Le second - 1 donne la position du deuxième.

De manière générale, le nombre de façons de placer k billes dans n boites est [latex]n + k -1 \choose k[/latex]
Le nombre de façons de placer k billes ou moins dans n boites est [latex]n + k \choose k[/latex]

On en déduit la formule suivante :

Soit n un nombre binaire à 10 1.
Soit m son nombre de 0.
Soit ak la position du k-ième 0 en partant de la fin. (par exemple a1 vaut 1 si le dernier 0 est situé entre le 9ième et le 10ième 1, a5 vaut 10 si le 5ième 0 en partant de la fin est situé avant le premier 1.
Le nombre de nombres binaires à 10 1 strictement inférieurs à n est :
[TeX]{10+m-1\choose m-1} + \sum_{k>0} {a_{k+1}+k-1\choose k}-{a_{k} + k - 1\choose k}[/TeX]
On peut cherche les coefficients de manière gloutonne, car ils agissent de la même manière que les coefficients en écriture décimale par exemple.

On veut donc chercher le nombre qui a 2020nombres binaires à 10 1 inférieur ou égal à lui, donc on veut décomposer 2020.
Soit [latex]n[/latex] le nombre de zéros pour le 2020-ème chiffre.
On a donc [latex]a_{n+1} = 10[/latex]
calculons [latex]10+m \choose m-1[/latex] pour [latex]m[/latex] incrémenté.
1 1
2 11
3 66
4 286
5 1001
6 3003

Donc on aura 5 zéros.

a_{6} vaut 10
Calculons [latex]{10+m \choose m-1} +  {a_{6}+5-1\choose 5}-{a_{5} + 5-1\choose 5}[/latex] en incrémentant [latex]a_5[/latex]
0 10001 + 2002- 0 = 3003
1 3003 - 1 = 3002
2 2982 - 6 = 2997
3 2982
4 2947
5 2877
6 2751
7 2541
8 1716

Donc le 1er 0 est situé entre le 2ème et le 3ème 1.

Calculons [latex]{10+m \choose m-1} +  {a_{6}+5-1\choose 5}-{a_{5} + 5-1\choose 5} +  {a_{5}+4-1\choose 4}-{a_{4} + 4-1\choose 4}[/latex] en incrémentant [latex]a_4[/latex]
[TeX]{a_{5}+4-1\choose 4}=330[/TeX]
0 1716 + 330 - 0 = 2046
1 2046 - 1 = 2045
2 2046 - 5 = 2041
3 2046 - 15 = 2031
4 2011

Donc le 2ième 0 est situé entre le 6ième et le 7ième 1.

Calculons [latex]{10+m \choose m-1} +  {a_{6}+5-1\choose 5}-{a_{5} + 5-1\choose 5} +  {a_{5}+4-1\choose 4}-{a_{4} + 4-1\choose 4} +  {a_{4}+3-1\choose 3}-{a_{3} + 3-1\choose 3}[/latex] en incrémentant [latex]a_3[/latex]
[TeX]{a_{4}+3-1\choose 3}=20[/TeX]
0 2011 + 20 = 2031
1 2031 - 1 = 2030
2 2031 - 4 = 2027
3 2021
4 2011

Donc le 3ième 0 est situé entre le 6ième et le 7ième 1.

Calculons [latex]{10+m \choose m-1} +  {a_{6}+5-1\choose 5}-{a_{5} + 5-1\choose 5} +  {a_{5}+4-1\choose 4}-{a_{4} + 4-1\choose 4} +  {a_{4}+3-1\choose 3}-{a_{3} + 3-1\choose 3}+  {a_{3}+2-1\choose 2}-{a_{2} + 2-1\choose 2}[/latex] en incrémentant [latex]a_2[/latex]
[TeX]{a_{3}+2-1\choose 2}=10[/TeX]
0 2011 + 10 = 2021
1 2021 - 1 = 2020

Donc le 4 ième 0 est situé entre le 9ième et le 10 ème 1, et le dernier 0 est situé derrière le dernier 1. On obtient donc :

110111100111010

Bon, j'ai surement fait une erreur de calcul (comme d'hab...), mais sait-on jamais...

 #12 - 18-07-2020 09:04:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3786

me 2020 ième

@ Godisdead: non. Ton nombre initial est beaucoup trop grand, il comporte bien plus que 2048 nombres à 10 chiffres 1. Maintenant, si tu ne connais pas le calcul des combinaisons, ça risque d'être un peu compliqué.

@ Caduk: bon début mais ça s'embrouille assez vite. Ce n'est pas le bon résultat, mais tu as tout de même le bon nombre de chiffres.

 

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