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 #1 - 09-07-2009 01:03:22

adn237
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 17

construcrions numériques

Considérons les couples de nombres entiers [latex](m,n)[/latex].  On admet pouvoir effectuer sur ces couples les trois opérations suivantes : la première opération transforme le couple [latex](m,n)[/latex] en [latex](m+n,n)[/latex] ; la deuxième transforme le couple [latex](m,n)[/latex] en [latex](m-n,n)[/latex] et la troisième opération transforme le couple [latex](m,n)[/latex] en [latex](n,m)[/latex].

Question : est-il possible, à l'aide des opérations citées ci-dessus, d'obtenir, à partir du couple [latex](19,98)[/latex], le couple [latex](5,11)[/latex] ?
Peut-on obtenir à partir du même couple initial [latex](19,98)[/latex] le couple [latex](12,183)[/latex] ? et le couple [latex](35,119) [/latex]?

Généralisation : Quels sont les couples que l'on peut lier l'un à l'autre par les transformations admises et pour quels couples est-ce impossible ?

Bonne chance à tous !



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 #2 - 09-07-2009 04:53:14

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

constructions numériqyes

j'ai un peu chercher au debut, et je me suis dit "ca me rappel quelque chose" .... et oui en effet, un illustre mathématicien (Euclide) a démontrer qu'avec ces transformations on peut (uniquement) obtenir tout couple ayant le même pgcd.

19, 98 ayant 1 (19 étant premier) il est possible d'obtenir tout couple de nombre premier entre eux, 5-11 marche donc.
12 183 (2*2*3 et 3*61) non, car leur pgcd est 3,
35, 119 (5*7 et 17*7)   non, car leur pgcd est 7.

 #3 - 09-07-2009 11:02:48

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

constructiins numériques

Ma premiere constatation est que les opérations inverses des opérations autorisées sont le meme ensemble d'opérations donc si il existe une transformation d'un couple vers un autre alors il existe une transformation dans l'autre sens.

De plus il est trivial que les opérations admises conservent le pgcd. Ceux sont les étapes élémentaires qu'on utilise dans l'algorithme d'Euclide.
Donc deux couples n'ayant pas le meme pgcd ne peuvent pas etre obtenus l'un a l'aide de l'autre.
Voilà déja une condition necessaire (mais pas suffisante) pour qu'il existe une transformation.

Le pgcd de [latex]19[/latex] (premier) et [latex]98 = 2*7*7[/latex] est [latex]1[/latex]. Donc on peut éliminer tous les candidats ayant un pgcd différents de [latex]1[/latex].

Donc [latex](12,183)[/latex] et [latex](35,119)[/latex] ne sont pas atteignables car ils ont comme pgcd respectivement 3 et 7.

Pour [latex](19,98)[/latex] et [latex](5,11)[/latex] comme leur pgcd est 1 je peux les transormer tous les deux en un couple [latex](a,1)[/latex] et [latex](b,1)[/latex]en appliquant l'algorithme d'euclide.
Ensuite passer de [latex](a,1)[/latex] a [latex](b,1)[/latex] est trivial en ajoutant/retranchant ce qu'il faut de 1.


En fait on peut appliquer ce procédé de maniere générale lorsque les pgcd sont égaux :
On applique l'algorithme d'euclide pour faire apparaitre le pgcd dans chaque couple. Le second élément de chaque couple est forcément un multiple du pgcd (vu que c'est le pgcd :-p) donc il suffit de l'ajouter/retrancher autant de fois qu'il faut pour se ramener au meme couple. Comme les opérations sont réversibles on a notre transformation.

Donc de maniere générale il existe une transformation si et seulement si les pgcd des couples sont égaux.

 #4 - 09-07-2009 19:06:17

yoshi2402
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 132

constructions numériqued

Ça ressemble drôlement à des recherches de PGCD avec l'algorithme d'Euclide...
Je dirais que chaque couple peut en devenir un autre du moment que ce dernier à le même PGCD!

 #5 - 10-07-2009 12:37:09

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Constructoins numériques

pour le premier, on peut faire:
19,98
98,19
79,19,
60,19
41,19
22,19
3,19
19,3
16,3
13,3
10,3
7,3
4,3
1,3
3,1
4,1
5,1
1,5
6,5
11,5
5,11
On peut réduire 19,98 a 1,1 mais on ne peut réduire 12,183 que jusqu'à 3,3
et 3,3 ne peut pas etre réduit à 1,1
donc on peut former des groupes qui se reduisent tous à la meme valeur, cette valeur etant le PGCD. Et à l'interieur de ces groupes, chaque couple de nombre peut etre lié l'un à l'autre.
19,98 se réduit à 1,1
5,11 se réduit à 1,1, soit le même groupe que 19,98
12,183 se réduit à 3,3 soit un groupe différent
35,119 se réduit à 7,7 soit un autre groupe différent


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 24-07-2009 14:22:37

adn237
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 17

Constructios numériques

Bravo à tous les 4 !
Il s'agissait évidemment de voir que l'on ne peut obtenir, à partir d'un certain couple donné, qu'un autre couple possédant le même PGCD !

 

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