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 #1 - 17-02-2010 17:40:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4907

billzrd 4

Bonsoir à tous smile

Pour changer un peu tout en restant sur le même thème , un petit problème inspiré du triangle d'EfCeBa .

Pour ranger les boules sur le billard on dispose de triangles équilatéraux de taille 1 , 2 , 3 , 4 , … pouvant contenir exactement 1 , 3 , 6 , 10 , … boules . Les triangles sont parfaitement ajustés c'est-à-dire , qu’une fois toutes les boules placées , aucune d’elles ne peut bouger . Mieux que cela , on peut retirer certaines des boules sans modifier la rigidité de l’ensemble . Par exemple pour un triangle de côté 5 , si on retire les 5 boules blanches , les 10 boules rouges restantes sont parfaitement stables .

http://img696.imageshack.us/img696/8224/trianglep.jpg

Pour un triangle de taille donnée , si on laisse au minimum une boule , quel est le nombre maximum de boules que l’on peut retirer sans briser la cohésion de celles qui restent ?

On demande si possible une formule générale , mais les résultats pour les premiers triangles peuvent constituer un bon début .

Bon courage et amusez-vous bien big_smile

Vasimolo



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 #2 - 19-02-2010 08:33:12

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

BBillard 4

Nous allons commencer par éliminer le coté "mécanique" du problème : une disposition est stable si et seulement si il n'y a pas 2 trous contigus.

Pour un triangle de taille 1 : comme on doit laisser une boule, on peut en retirer 0.

Pour un triangle de taille 2 : on peut en retirer 1.

Pour un triangle de taille 3 : on peut en retirer 3 (les trois sommets).

Pour un triangle de taille 4 : on peut en retirer 4 (les 3 sommets + le centre)

Pour un triangle de taille 5 : on peut en retirer 6 (les 3 sommets + les 3 sommets du triangle de taille 3 du milieu)

pour un triangle de taille impaire : 2n+1, on prend le sous-triangle de taille 2n -1 et on ajoute une rangée de 2n boules + 1 rangées de n+1 trous et n boules alternativement.
En appellant, RI(n) le nombre que l'on peut retirer : RI(n) = RI(n-1) + n+1, avec RI(1) = 3.
Par récurrence, on montre : RI(n) = 1/2 n² + 3/2 n + 1.

Dans le cas d'un triangle de taille paire (2n), on prend le sous-triangle de taille 2n-2, on rajoute une rangée de 2n-1 boules, puis une rangée de n boules et n trous.
on appelle de la même façon RP(n) le nombre de boules que l'on peut retirer : RP(n) = RP(n-1) + n, avec RP(2)=4.

RP(n) = 1/2 n² + 1/2 n + 1.

rem : les RI et RP sont des valeurs minimales. Pour les triangles impairs, on sent bien que la symétrie de la construction est optimale, pour les triangles pairs, c'est moins évident.

 #3 - 21-02-2010 10:35:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4907

Billarrd 4

Bonne réponse de dylasse pour le cas impair smile

Moins bien pour le cas pair hmm

Vasimolo

PS : je n'ai pas de justification précise des résultats ni même de certitude sur les valeurs alors avis aux amateurs smile

 #4 - 21-02-2010 16:12:02

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

bilkard 4

Merci Vasimolo (tu confirmes mes doutes sur le caractère optimal de ma précédente solution)… je vais donc reprendre en ne considérant plus le caractère pair ou impair mais la congruence à 3.

Si le coté fait 3p+1 (donc 1, 4, 7, 10, 13, etc), sur la base du triangle on ôte une boule sur trois (en commençant par le sommet), soit p+1 boules, puis 1 sur 3 sur la rangée suivante décalée pour éviter les contacts (soit p boules), puis encore 1 sur 3 sur la rangées suivantes (soit p-1 boules).
Ensuite, il nous reste le triangle de coté 3 (p-1) + 1 au dessus.

En appelant RT(p) le nombre que l’on peut retirer de cette manière, on a RT(p) = RT(p-1) + p-1 + p + p+1 donc RT (p) = RT (p-1) + 3p, avec RT(1) = 4
Donc RT(p) = 3/2 p² + 3/2 p + 1.

http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-triboule10.JPG

rem : cette formule marche pour les cas impairs 7, 13, 19, etc, pour lesquels le rangement spécifique aux impairs décrit plus haut donne le même résultat pour 7 (RI(3) = RT(2) = 10) mais un résultat inférieur au-delà (donc même pour les impairs j’avais faux !!!).

Pour les cas 3p ou 3p-1, (on nommera RT1 et RT2 le nombre de boules que l’on peut retirer), on part de 3p+1 et on enlève 1 ou 2 lignes.

RT1 (p) = RT (p) – (p+1) = 3/2 p² + ½ p
RT2 (p) = RT1 (p) – p = 3/2 p² - ½ p.

Au final, le tableau suivant synthétise le nombre de boules que l’on peut retirer en fonction du côté. Le ratio otées/nb boules tend vers 1/3 par valeur supérieure.

coté    otées
1    0
2    1
3    3
4    4
5    6
6    7
7    10
8    12
9    15
10    19
11    22
12    26
13    31
14    35
15    40
16    46
17    51
18    57
19    64
20    70
21    77
22    85
23    92
24    100
25    109
26    117
27    126
28    136
29    145
30    155

 #5 - 21-02-2010 19:37:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4907

billaed 4

Suite au dernier message de dylasse ( grandiose big_smile ) un petit indice : commencer par regarder les côtés des triangles dont le reste est 1 modulo 3 . Par exemple un triangle de côté 7 .

http://img22.imageshack.us/img22/1696/75877809.jpg

Vasimolo

PS : je n'avais pas la bonne réponse sad

 #6 - 26-02-2010 16:25:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4907

billaed 4

Je vous laisse lire la solution de dylasse smile

Pas grand-chose à ajouter !!!

Bravo cool

Vasimolo

 

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