Enigme Deux suites imbriquées @ Prise2Tete

Promath- · #1

Bonjour à tous

On considère deux suites définies par récurrence telles que
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_0%3D0%2C6$
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_0%3D0%2C2$
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_%7Bn&plus;1%7D%3Dx_n%28x_n&plus;y_n%29$
$http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_%7Bn&plus;1%7D%3Dy_n%28y_n&plus;x_n&plus;1%29&plus;x_n-1$

Pour un certain i, on a $http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_i%5Csimeq%201%2C372*10%5E%7B-5%7D$
Quelle est la valeur de $http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_i$ ?

La case réponse valide les 4 premiers chiffres différents de 9 dans l'écriture décimale: 9.9959632 devient 5632

On attend une démonstration sans calculatrice

Bonne chance!

nodgim · #2

En posant Yn=yn+1 alors yn=Yn-1
Comme y(n+1)=yn(yn+xn+1)+xn-1, alors
Y(n+1)-1=(Yn-1)(Yn+xn)+xn-1=Yn(Yn-1)+xnYn-xn+xn-1=Yn(xn+Yn-1)-1
Y(n+1)=Yn(xn+Yn-1)=Yn(xn+yn)

On a par ailleurs:
x(n+1)=xn(yn+xn)
Donc: Y(n+1)/x(n+1)=Yn/xn=Y0/x0=(0,2+1)/0,6=2
Yn=2xn
yn=2xn-1

Si xi=1,372*10^-5 alors yi=2,744*10^-5-1=-0,99997256.

NB: le rapport yn/xn n'est valable que si xn+yn=3xn-1<>0, c'est à dire xn<>1/3. Comme on peut réécrire x(n+1)=xn(3xn-1) la suite converge vers 0, et xn n'atteint pas la valeur 1/3.

Promath- · #3

C'est excellent nodgim!

Pour ceux qui cherchent, il faut introduire un invariant sur xn et yn, pour aider essayez de développer puis factoriser yn, ensuite un résultat vient assez facilement comme l'a remarqué nodgim

enigmatus · #4

Bonjour,

On a x' = x*(x+y)
On montre facilement que y'+1 = (y+1)*(x+y)

Le rapport (y+1)/x est donc constant, et vaut (y0+1)/x0 = 2

Si xi est voisin de 1.372E-5, yi sera voisin de 2*xi - 1, soit -0.99997256

On a aussi la relation de récurrence : x' = x*(3*x-1)

dbab3000 · #5

On a:
X(n+1)=Xn(Xn+Yn) qui implique 1) Xn+Yn= X(n+1)÷Xn
Y(n+1)=Yn(Xn+Yn+1)+Xn−1=Yn(Xn+Yn)+Xn+Yn−1=(Xn+Yn)(Yn+1)−1 qui implique que 2) Xn+Yn=(Y(n+1)+1)÷(Yn+1)
De 1 et 2 on a X(n+1)÷Xn=(Y(n+1)+1)÷(Yn+1)
On pose Un=Yn+1 l'égalité devient X(n+1)÷Xn=U(n+1)÷Un
X₁÷X₀=U₁÷U₀
X₂÷X₁=U₂÷U₁
De la même façon jusqu'à Xn÷X(n−1)=Un÷U(n−1)
En multipliant tous les égalités on trouve que :
Un÷U₀=Xn÷X₀ ce qui implique que Yn=(Xn(Y₀+1)÷X₀)−1
En remplaçant n par i on a Yᵢ=(Xᵢ(Y₀+1)÷X₀)−1=−0,99997256
Les 4 premiers chiffres différents de 9 dans l'écriture décimale sont 7256

Promath- · #6

Très bien aussi!

Félicitations aux trois participants et à tous ceux qui ont cherché!

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#1 - 10-05-2015 18:19:45

Deux suites imbriquuées

#0 Pub

#2 - 12-05-2015 13:15:26

Deux suites imbriquéees

#3 - 12-05-2015 17:52:43

Deux ssuites imbriquées

#4 - 13-05-2015 07:44:02

Deux suites immbriquées

#5 - 13-05-2015 11:51:02

deux suites imvriquées

#6 - 14-05-2015 16:49:36

deux suites imbrisuées

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