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 #1 - 10-05-2015 18:19:45

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Duex suites imbriquées

Bonjour à tous smile

On considère deux suites définies par récurrence telles que
http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_0%3D0%2C6
http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_0%3D0%2C2
http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_%7Bn+1%7D%3Dx_n%28x_n+y_n%29
http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_%7Bn+1%7D%3Dy_n%28y_n+x_n+1%29+x_n-1

Pour un certain i, on a http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_i%5Csimeq%201%2C372*10%5E%7B-5%7D
Quelle est la valeur de http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_i?

La case réponse valide les 4 premiers chiffres différents de 9 dans l'écriture décimale: 9.9959632 devient 5632

On attend une démonstration sans calculatrice

Bonne chance!



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 #2 - 12-05-2015 13:15:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

deux quites imbriquées

En posant Yn=yn+1 alors yn=Yn-1
Comme y(n+1)=yn(yn+xn+1)+xn-1, alors
Y(n+1)-1=(Yn-1)(Yn+xn)+xn-1=Yn(Yn-1)+xnYn-xn+xn-1=Yn(xn+Yn-1)-1
Y(n+1)=Yn(xn+Yn-1)=Yn(xn+yn)

On a par ailleurs:
x(n+1)=xn(yn+xn)
Donc: Y(n+1)/x(n+1)=Yn/xn=Y0/x0=(0,2+1)/0,6=2
Yn=2xn
yn=2xn-1

Si xi=1,372*10^-5 alors yi=2,744*10^-5-1=-0,99997256.

NB: le rapport yn/xn n'est valable que si xn+yn=3xn-1<>0, c'est à dire xn<>1/3. Comme on peut réécrire x(n+1)=xn(3xn-1) la suite converge vers 0, et xn n'atteint pas la valeur 1/3.

 #3 - 12-05-2015 17:52:43

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

deux suiteq imbriquées

C'est excellent nodgim! smile

Pour ceux qui cherchent, il faut introduire un invariant sur xn et yn, pour aider essayez de développer puis factoriser yn, ensuite un résultat vient assez facilement comme l'a remarqué nodgim


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 #4 - 13-05-2015 07:44:02

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

deux suites imnriquées

Bonjour,

On a x' = x*(x+y)
On montre facilement que y'+1 = (y+1)*(x+y)

Le rapport (y+1)/x est donc constant, et vaut (y0+1)/x0 = 2

Si xi est voisin de 1.372E-5, yi sera voisin de 2*xi - 1, soit -0.99997256

On a aussi la relation de récurrence : x' = x*(3*x-1)

 #5 - 13-05-2015 11:51:02

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

deux suited imbriquées

On a:
X(n+1)=Xn(Xn+Yn) qui implique 1) Xn+Yn= X(n+1)÷Xn
Y(n+1)=Yn(Xn+Yn+1)+Xn−1=Yn(Xn+Yn)+Xn+Yn−1=(Xn+Yn)(Yn+1)−1 qui implique que 2) Xn+Yn=(Y(n+1)+1)÷(Yn+1)
De 1 et 2 on a X(n+1)÷Xn=(Y(n+1)+1)÷(Yn+1)
On pose Un=Yn+1 l'égalité devient X(n+1)÷Xn=U(n+1)÷Un
X₁÷X₀=U₁÷U₀
X₂÷X₁=U₂÷U₁
De la même façon jusqu'à Xn÷X(n−1)=Un÷U(n−1)
En multipliant tous les égalités on trouve que :
Un÷U₀=Xn÷X₀ ce qui implique que Yn=(Xn(Y₀+1)÷X₀)−1
En remplaçant n par i on a Yᵢ=(Xᵢ(Y₀+1)÷X₀)−1=−0,99997256
Les 4 premiers chiffres différents de 9 dans l'écriture décimale sont 7256

 #6 - 14-05-2015 16:49:36

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Deux uites imbriquées

Très bien aussi! smile

Félicitations aux trois participants et à tous ceux qui ont cherché! smile


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