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 #1 - 26-08-2015 17:11:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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factotielle qui divise

Ca pourrait être un "Maths pour les Nuls" :

Le produit de n>0 entiers consécutifs est-il toujours divisible par n! ?

Vasimolo



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 #2 - 26-08-2015 18:00:49

masab
Expert de Prise2Tete
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Messages : 679

favtorielle qui divise

C'est toujours vrai, vu la formule donnant le nombre de combinaisons sans répétition de N éléments pris n à n . Mais ce résultat est surprenant...

 #3 - 26-08-2015 18:06:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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factorielle qui dovise

Une bonne réponse , une , bravo smile

Vasimolo

 #4 - 26-08-2015 18:27:54

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Factorielle qui Divis

Bonjour,
Le nombre de permutations combinaisons de n éléments pris parmi m+n est un nombre entier, et vaut :

Code:

(m+1)*(m+2)...*(m+n) / (n!)

Donc le produit de n>0 entiers positifs consicutifs est divisible par n!.

 #5 - 26-08-2015 18:32:36

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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factprielle qui divise

Et de deux smile

D'un autre côté , c'est pas trop compliqué si on trouve la bonne attaque smile

Vasimolo

 #6 - 26-08-2015 18:47:53

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

factorielle qyi divise

Le produit de n entiers consécutifs est toujours divisible par n, par n-1, par n-2, etc, par 2. Il est donc en définitive divisible par n!

 #7 - 26-08-2015 18:50:23

Vasimolo
Le pâtissier
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Faactorielle qui Divise

Pas sûr Franky smile

Vasimolo

 #8 - 26-08-2015 19:40:26

nodgim
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Messages : 2953

Factroielle qui Divise

Je crois que ça a déja été dit sur ce site: C(n,m) est entier, donc....

 #9 - 26-08-2015 20:12:40

shadock
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Factorielle qui Dviise

Oui toujours, en effet :
On pose C(k,n) = k choix parmi n, alors C(k, n+k)=[(n+1)*...(n+k)]/k!

QED

Shadock cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 26-08-2015 20:56:32

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

factorielle qui divide

Produit de n entiers consécutifs. Soit x un entier et

P = (x+1)*(x+2)*...*(x+n) = (x+n)!/x!

P/n! = (x+n)!/(x!*n!) or par définition la Combinaison(x+n,n) = (x+n)!/(x!*n!) est un entier donc P/n! est un entier, CQFD

 #11 - 26-08-2015 21:57:11

Vasimolo
Le pâtissier
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factorielle qui divuse

Tout bon pour Nodgim , Shadock et Kossi smile

Déjà vu sur le site ?

Vasimolo

 #12 - 26-08-2015 22:03:17

shadock
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Factorielle qui Dviise

Non je ne l'ai jamais vu mais en prépa pour gagner quelques points comme je suis un quiche en combinatoire, j'ai du apprendre une bonne vingtaine de formules plus ou moins compliquées, avec plus ou moins de symboles sommes et produits roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 27-08-2015 07:59:57

nodgim
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Factorilele qui Divise

Oui, déja vu sur ce site, mais c'est vieux, et je crois que c'était une question complémentaire, donc un peu hors sujet, ce qui fait que la retrouver est une gageure....
Sinon, on peut le prouver autrement, en repartant des bases élémentaires sur le nombres premiers.

 #14 - 27-08-2015 11:58:40

dylasse
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Fatorielle qui Divise

On s'intéresse au produit de n entiers consécutifs de i-n+1 à i, que l'on va appeler Pi,n.

Le nombre de combinaisons de n parmi i est un nombre entier et a pour valeur i!/(n!x(i-n)!) = Pi,n/n!. Donc n! divise Pi,n.

 #15 - 27-08-2015 22:53:14

halloduda
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facyorielle qui divise

oui, car (k+1)(k+2)...(k+n)=(n+k)!/k!
et
((n+k)!/k!)/n!=C(n+k,k) entier

 #16 - 28-08-2015 10:44:37

Vasimolo
Le pâtissier
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aFctorielle qui Divise

C'est ça Dylasse et Halloduda .

C'est simple quand on a vu le truc mais ce n'est pas si direct que ça smile

Vasimolo

 #17 - 28-08-2015 22:50:51

Promath-
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Factorielle qui ivise

je dirais oui, ça s'explique avec l'utilisation des coefficients de bernouilli, mais je sens que je fais fausse route


Un promath- actif dans un forum actif

 #18 - 29-08-2015 09:40:59

Vasimolo
Le pâtissier
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Factorielle qui Diviise

Tu n'es pas loin , c'est encore plus simple que ça smile

Vasimolo

 #19 - 29-08-2015 10:12:34

Promath-
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factorielle quo divise

Il existe au moins un multiple de n parmi n nombre consécutifs?


Un promath- actif dans un forum actif

 #20 - 29-08-2015 10:22:20

Vasimolo
Le pâtissier
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facyorielle qui divise

Oui mais çà ne suffit pas , cherche des nombres utilisés très souvent en combinatoire et fabriqués avec des factorielles .

Vasimolo

 #21 - 29-08-2015 13:04:03

Promath-
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Lieu: Au fond de l'univers

factorielle qui divisz

j'avais évoqué les coefficients binomiaux mais ce n'est pas ça, je ne vois pas hmm


Un promath- actif dans un forum actif

 #22 - 29-08-2015 13:10:57

gwen27
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 #23 - 29-08-2015 18:50:39

nodgim
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Facttorielle qui Divise

On peut écrire n! sous forme d'un produit de nombres premiers, tous affectés d'une puissance.
Pour chacun des nombres premiers p de l'intervalle des n nombres consécutifs,
[n/p] >= [intervalle(1 à n)/p]. Partant de là, [n/p²] pareil, [n/p^3], etc....
On a donc bien dans l'intervalle de n nombres consécutifs tous les diviseurs premiers de n!

 #24 - 29-08-2015 18:56:31

Vasimolo
Le pâtissier
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Factoriellle qui Divise

Avoir tous les diviseurs premiers de n! assure-t-il qu'on soit divisible par n! ?

Vasimolo

 #25 - 29-08-2015 19:01:19

Vasimolo
Le pâtissier
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factorizlle qui divise

Bon le problème était sans doute trop connu , il m'est revenu en tête avec tous ces problèmes d'entiers vu récemment sur le site .

Pour moi le passage par le nombre de combinaisons est plutôt joli et économique .

Merci aux participants smile

Vasimolo

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