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 #1 - 26-07-2015 17:14:29

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

le tennis, c'zst de la balle !

J'emmène mes enfants jouer au tennis. Ce sont des débutants. Ce sujet m'est venu
en allant chercher les balles non rattrapées. lol

On considérera qu'une "balle perdue" se placera de façon équiprobable entre 0 et 100 pieds.
Il est évident qu'en jouant avec 1 seule balle, sur une infinité de recherches on devra en moyenne parcourir 50 pieds...

Question :
Mais en jouant avec 4 balles, et en supposant qu'on va toujours chercher la plus proche, combien de pieds devra-t-on en moyenne parcourir ? Toujours 50 ?

Question Bonus :
Si on s'autorise à aller chercher plusieurs balles à la fois (on suppose qu'il n'y a qu'1 seule dimension), quelle stratégie serait la meilleure pour marcher le moins possible ? Et pour combien de pieds parcourus en moyenne ?
On suppose que prendre N balles à la fois revient à N recherches, dont N-1 de longueur nulle.

Pas facile, facile !
J'espère que ça vous inspirera car je n'ai pas réponse à tout ! smile



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Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
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 #2 - 26-07-2015 17:26:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,610E+3

le tennis, c'est de la bakle !

Je dirais oui, car les balles les plus éloignées le seront de plus en plus en moyenne et tendront vers 100.

On retombera sur le problème à une balle.

 #3 - 26-07-2015 21:47:25

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 154

le tennis, c'est dz la balle !

Algorithmiquement je trouve que le parcours moyen est toujours de 50 pieds, reste à le démontrer lol

 #4 - 26-07-2015 22:04:44

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

L etennis, c'est de la balle !

Je suis d'accord avec vous 2 pour la 1ère question.

Vous ne voulez pas tenter votre chance sur la question bonus ?


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #5 - 26-07-2015 23:02:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2801
Lieu: Luxembourg

Le tenis, c'est de la balle !

En jouant avec n balles, la plus proche se trouvera en moyenne à: 50/n pieds (soit 12,5 pieds pour 4 balles). Pour la question bonus, je reviendrai plus tard.

 #6 - 27-07-2015 01:07:08

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

me tennis, c'est de la balle !

J'ai d'abord compris le problème comme ça : on joue avec 4 balles et on va en chercher UNE lorsque les 4 sont perdues. Quelle est la distance moyenne de la balle la plus proche ?

La proba que la balle 1 soit à la distance x est dx/100 (loi uniforme sur 0-100).
La proba que la balle 2 soit au-delà de x est (100-x)/100, idem pour la 3 et la 4.
Donc la proba que la balle 1 soit à la distance x et soit la plus proche est dp1(x) = dx/100 [(100-x)/100]^3.
Les 4 balles jouent des rôles symétriques, donc la proba que la balle la plus proche soit à la distance x est dp(x) = 4 dp1(x).

La valeur moyenne M de la distance de la balle la plus proche est l'espérance de x, c'est à dire Intégrale[x dp(x)] entre 0 et 100.

Le calcul donne M = 20 pieds.

On peut aussi comprendre le problème autrement. On commence à jouer avec 4 balles et dès que les 4 sont perdues, on va chercher la plus proches (M=20) puis on rejoue et dès que l'on perd la seule balle en jeu, on retourne chercher la plus proche.
A part la première fois, la répartition des balles n'est plus uniforme.
Au fur et à mesure, la balle la plus proche parmi les 3 restantes sera de plus en plus loin (elle recule à chaque fois que la nouvelle balle perdue la dépasse et ne se rapproche jamais).

La position limite des 3 balles restantes est donc à 100 pieds.
Et à la fin (au bout d'un certain temps), on ne va plus chercher que la dernière balle perdue, la moyenne est donc de 50 pieds (comme lorsque l'on joue avec une seule balle).

Pour la question Bonus, je ne suis pas sure que l'on pourra démontrer que l'on a trouvé le minimum parmi toutes les stratégies possibles.
Une stratégie basique consiste à aller chercher les 4 balles à chaque fois que l'on a perdu les 4. Dans ce cas, la plus loin sera à une distance moyenne de 80 pieds (par symétrie de la plus proche calculée au début). Et donc, la distance moyenne parcourue sera 80 pieds pour 4 balles donc de 20 pieds par balle.

Je vais réfléchir à des stratégies où on laisserait la ou les balles les plus loin pour ne les ramasser que lors d'un voyage suivant.
Si les lancers successifs sont à 98,5,3,4,97,99,100,2,30 etc... prendre 3,4 et 5 au premier voyage, puis 97,98,99 et 100 au second donne une distance de 105 pour 7 balles, soit 15 pieds par balle alors que la stratégie basique (4 à chaque fois) donne 199 pour 8 balles, soit 24,875 pieds par balle. Mais ça c'est facile à dire a postériori. Quelle règle proposer ? a suivre...

 #7 - 28-07-2015 11:01:29

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 405

Le tenns, c'est de la balle !

Question : Je dirais 100/(4+1) soit 20 pieds. Méthode : calcul avec des intégrales casse-pieds à écrire (il y a peut-être plus simple ?)

Question Bonus :avec B balles au total, prendre une balle fait marcher en moyenne 100/(B+1) pieds, ... prendre N balles fait marcher en moyenne N*100/(B+1) pieds. Donc on peut choisir a priori d'en ramasser autant qu'on veut, ça n'aura pas d'influence sur la distance parcourue.

Ce raisonnement tient tant que la stratégie est choisie a priori. Si j'ai le droit à chaque tour d'observer la répartition des balles avant de partir les ramasser, je peux être plus efficace (mais je n'ai pas fait le calcul).

 #8 - 29-07-2015 08:11:11

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

le tznnis, c'est de la balle !

@Ebichu : la distance moyenne relève aussi de la répétition à l'infini des échanges. Là tu n'a considéré pour la 1ère question que la répartition quand on a perdu les 4 balles au tout début.
Pour ce qui est de la question bonus : bien sûr qu'il faut avoir une stratégie fonction de la répartition des balles perdues.

@dylasse : la distance moyenne relève aussi de la répétition à l'infini des échanges. Donc c'est ta 2nde proposition qui est juste.

@TOUS : il me paraît évident cette fois qu'on peut améliorer significativement la distance moyenne.
Voici le début de stratégie avec quelques évidences :
- jouer toujours toutes ses balles (on en garde pas sur soi quand on va chercher les autres balles).
- avoir une stratégie fonction de la répartition des balles perdues : laisser les balles "trop" éloignées. Le tout est de trouver cette fonction, fonction qui pourrait être relative à la distance entre une balle n et la suivante n+1...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #9 - 31-07-2015 21:49:24

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Le tenins, c'est de la balle !

J'ai contourné la difficulté mathématique à l'aide d'un tableur.

Voici le résultat de mes investigations statistiques :

Stratégie "la plus proche" :
On ramasse toujours une seule balle, la balle la plus proche.
Comme prévu, la distance tend vers : 50 pieds.

Stratégie "on ramasse tout" :
On ramasse toujours toutes les balles.
Comme prévu par certains, la distance tend vers : 20 pieds.

Stratégie "si la suivante n'est pas trop loin" :
Lorsqu'on ramasse une balle, on regarde si la suivante n'est pas trop loin (<x). Si c'est le cas, on va la ramasser. Et ainsi de suite.
La distance tend vers : environ 17 pieds.
La valeur est minimisée pour x à peu près égal à 33 pieds.
C'est donc pour moi la meilleure stratégie.

Si quelqu'un sait démontrer et affiner ces résultats, cela m'intéresse vivement ! big_smile

Avez-vous en tête un autre type de stratégie ?


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #10 - 09-08-2015 00:58:00

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3330

Le tennis, ce'st de la balle !

Un autre type de stratégie est d'utiliser les intégrales de chemin de Richard Feynman mais je doute fort de la compréhension de 99.99% des gens d'ici du genre de calculs que l'on peut faire, moi-même n'y comprenant pas grand chose lol

Enfin je comprends le raisonnement, mais l'application est délicate smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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