Enigme Série "Pi" @ Prise2Tete

scarta · #1

Un petit résultat auquel je viens de penser: que vaut la somme suivante ?

\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n.\pi^{2n}}{(2n)!}

$\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n.\pi^{2n}}{(2n)!}$
Je précise que je ne sais pas si c'est un résultat connu ou pas, je viens juste d'y penser.

Antouziast · #2

Wolfram dit -1 mais je n'ai pas encore vu les séries donc je serais curieux de voir comment cela se montre.

L00ping007 · #3

C'est le développement en série entière de cosinus :

$cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$
La somme vaut donc

$\fbox{cos(\pi)=-1}$

J'avoue que je me suis pas foulé

rivas · #4

C'est le DL (développement limité) de cos(x) appliqué à $\pi$ .

Le résultat est donc $cos(\pi)=-1$ , ce qui est validé par la case réponse.

Ce qui est amusant, c'est que la case réponse valide aussi 1 comme réponse

Yanyan · #5

On reconnait la série entière du cosinus, c'est donc $cos(\pi)=-1$ .

BilouDH · #6

Bonjour,

Ca ressemble à la série entière du cos, je dirais donc cos(pi) soit -1.

esereth · #7

Bonjour,

Ma calculatrice me dit -1 qui est validé par la case réponse.

En réfléchissant un peu, la formule proposée est le développement en série entière du cosinus.
Et cos pi = -1

Donc tout va bien.
Merci de me faire réviser mes formules.

fabb54 · #8

La série proposée est la série de Taylor de la fonction cosinus appliquée en $\pi$ et $cos(\pi)$ = -1

scarta · #9

J'ai honte de moi... Dire que ça tient sur une ligne (j'était parti sur autre chose à la base et je suis tombé là dessus par hasard^^)
Y'a des jours comme ça où je suis un peu à côté de la plaque

rivas · #10

Il ne faut pas (avoir honte)

clement.boulonne · #11

On reconnaît le développement en série entière de $\cos$

$3$ \cos(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n!)}$
qu'on évalue en

$\pi$ , c'est-à-dire

$\cos(\pi) = -1$

gabrielduflot · #12

c'est le developpement de la série entière du cos donc cos(pi)=0

snapy · #13

He ben alors, on ne connait pas par coeur ses séries entières ?

Ta somme vaut $\cos(\pi)=-1$ .

shadock · #14

Bon ça converge vers une valeur limite de -1 mais comment le démontrer...

dhrm77 · #15

Je trouve $i^2$ ...

Yanyan · #16

Rivas a écrit:
C'est le DL (développement limité) de cos(x) appliqué à $\pi$ .

Je dirais développement en série entière de cox(x) en...

rivas · #17

Tout à fait. Mais pourquoi ai-je écrit ça?

L00ping007 · #18

gabrielduflot a écrit:
c'est le developpement de la série entière du cos donc cos(pi)=0

C'est dommage de rater la fin après avoir bien commencé

SHTF47 · #19

Yanyan a écrit:
Je dirais développement en série entière de cox(x)

On écrit coccyx

Yanyan · #20

Bien vu!

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#1 - 23-08-2011 10:05:01

Série "Pi&quo;

#0 Pub

#2 - 23-08-2011 10:44:53

Série "i"

#3 - 23-08-2011 11:13:00

Série "Pi&qut;

#4 - 23-08-2011 11:37:27

série &suot;pi"

#5 - 23-08-2011 11:46:18

Sérei "Pi"

#6 - 23-08-2011 12:36:18

Série &qquot;Pi"

#7 - 23-08-2011 14:34:40

série &qyot;pi"

#8 - 23-08-2011 15:09:48

série "oi"

#9 - 23-08-2011 15:47:05

Série "Pi&qot;

#10 - 23-08-2011 15:47:58

Série "i"

#11 - 23-08-2011 20:39:24

Série &uqot;Pi"

#12 - 23-08-2011 21:25:01

série &qiot;pi"

#13 - 23-08-2011 21:42:13

Série &qout;Pi"

#14 - 23-08-2011 22:30:10

Série "Pi&qout;

#15 - 24-08-2011 02:08:57

Série "P&iquot;

#16 - 26-08-2011 10:35:03

série &qiot;pi"

Rivas a écrit:

#17 - 28-08-2011 08:50:35

sétie "pi"

#18 - 28-08-2011 15:47:20

éSrie "Pi"

gabrielduflot a écrit:

#19 - 28-08-2011 18:06:31

Série "PPi"

Yanyan a écrit:

#20 - 28-08-2011 18:18:10

série "pi&qiot;

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