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 #1 - 16-09-2009 02:13:32

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

Un autre problème 'dangles

Le problème de Vasimolo sur les angles m'en a rappellé un autre sur lequel je m'étais penché il y a quelques temps.
Quels sont les angles que l'on peut tracer à la regle et au compas :
a) dont la mesure en degrés est un nombre entier
b) dont la mesure en radiant est de la forme 2pi/k avec k entier.

La première partie est plus simple, et je dois préciser que je suis meme pas sur d'avoir été exhaustif sur la seconde



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 #2 - 16-09-2009 14:01:23

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Unn autre problème d'angles

1)On va faire des constructions de polygones réguliers.

Construction du pentagone
   1. Tracer un cercle Γ de centre O et de rayon R (unité quelconque)
   2. Tracer 2 diamètres perpendiculaires
          * les jonctions à Γ formant les point A, B, C, D
          * A étant diamétralement opposé à C
          * B étant diamétralement opposé à D
   3. Tracer un cercle Γ ' de diamètre [OA] (rayon R' = R/2) et de centre I
          * Γ ' passe donc en O et A
   4. Tracer une droite (d) passant par B et I
          * (d) intercepte Γ ' en E et F (E est le plus proche de B)
   5. Tracer 2 (arc de) cercles Γ1 et Γ2 de centre B et de rayons (respectivement) BE et BF
          * Γ1 et Γ2 interceptent Γ en 4 pts (D1, D2, D3, D4)

D, D1, D2, D3, D4 forment un pentagone régulier
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Pentagone_construit.png

Constuction du pentadécagone
A partir du pentagone précédent
Placer les points A', D', G', J', M' symétrique de A, D, G, J, M par rapport à O.

Les points du pentadécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A', D', G', J', M' passant par le centre O.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/Pentadecagone_2.gif
Donc l'angle au centre est de 24° et donc on peut construire tous les angles multiple de 24°
En faisant maintenant les médiatrices de chaque côté et en prenant les intersections avec le cercle on peut avoir un tricontagone (30 côtés) et donc construire tous les angles multiples de 12°

Puis on peut construire tous les angles de 6° en faisant les médiatrices de tous les côtés du tricontagone pour obtenir avec les intersections avec le cercle un hexacontagone (60 côtés)

puis en refaisant la même chose on peut construire tous les angles multiples de 3° en construisant un hectoicosagone (120 côtés)

b) l'angle au centre d'un polygone régulier et de 2pi/k
on va utiliser ces théorèmes

Théorème 1.1 (Gauss) Soit n et m sont deux entiers naturels premiers entre
eux. Le polygone à nm côtés est constructible à la règle et au compas si et
seulement si les polygones à n côtés et à m côtés sont constructibles.

Théorème 1.2 (Gauss)
Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 3, n un entier. Alors le polygone
régulier à p ^n côtés est constructible si et seulement si n = 1 et p est un
nombre de Fermat, i.e. p est de la forme [latex]{2^2}^m [/latex] + 1, avec un entier.

Théorème 1.3: Soit n un entier.
Le polygone régulier à n côtés est constructible à la règle et au compas si et
seulement si l’entier n a une d´ecomposition en facteurs premiers de la forme :
n = 2^mF1 . . . Fr
où les Fi sont des nombres premiers de Fermat deux à deux distincts.

A partir de là on peux construire les angles mesurant 2pi/k avec:
[latex]k=2^i [/latex] avec i un entier strictement positif
[latex]k=3\times2^i [/latex] avec i un entier strictement positif
[latex]k=5\times2^i [/latex] avec i un entier strictement positif
[latex]k=15\times2^i [/latex] avec i un entier strictement positif

Le problème c'est que l'ennéagone et l'heptagone ne sont pas constructibles

Voici une méthode pour construire à la règle et au compas 2pi/7

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_constructible

 #3 - 21-09-2009 16:29:31

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

Un autrre problème d'angles

Bonnes réponses de gabrielduflot et de Vasimolo.

C'est vrai qu'avec le théorème de Gauss, la demonstration du a) et du b) est assez simple. A l'époque où j'ai eu ce probleme sous les yeux, je ne connaissais pas encore ce fameux théorème, voici donc une démo pour le a) qui ne résoud pas le b), mais sans passer par le théorème de Gauss. Dans un premier temps, on va montrer que:
1) tous les angles multiples de 3° sont constructibles
2) 20° n'est pas constructible, et donc seuls les multiples de 3 sont constructibles.
Ca ressemble beaucoup au travail de gabrielduflot.
Le théorème de Gauss est beauccoup plus puissant, surtout dans la 2nde partie, comme le montre Vasimolo.

1) on sait construire: 60° (triangle équilatéral) et 72° (pentagone, au centre).
On peut aussi additionner / soustraire deux angles, et diviser un angle en 2 (bissectrice), donc à partir de 72 on peut constuire 9° (72/2/2/2), à partir de 60 on peut construire 15° (60/2/2), donc en les soustrayant, on peut construire 6° (15-9), donc 3° (6/2) et par la meme tous les nombres de la forme 3k en additionnant 3° k fois.


2) 20° n'est pas constructible
Il existe un théorème appelé théorème de Wantzel, qui donne un condition necessaire mais non suffisante pour déterminer si un nombre est constructible ou pas.
Théorème de Wantzel: Si un réel r constructible, alors son polynôme minimal est de degré 2^n.
Pour faire simple, si on peut construire un réel r, alors on peut trouver un polynome de degré 2^n qui admet r comme racine, mais pas de polynome de degré 2^n-1

Via ce théorème, on montre que 20°, alias pi/9 n'est pas constructible. En effet, si l'angle pi/9 était constructible, on pourrait construire cos(pi/9).
On remarque que cos(4pi/9) + cos(5pi/9) = 0 car ces deux angles sont complémentaires.
Posons x = cos(pi/9), on a

cos (5p/9) + cos (4p/9) = 0
16x5 +8x4 -20x3 -8x2 +5x +1 =0 (formules d'addition ou polynome de Tchebychev pour aller plus vite)
On factorise par x+1 et x-1/2:
(x+1)(x-1/2)(16x3-12x-2) = 0

16x3-12x-2 est irreductible et de degré 3, qui admet comme solution cos(pi/9)
Conclusion: on ne peut pas construire cos(pi/9), pas plus que l'ange pi/9, alias 20°

Donc on ne peut pas construire 1° ou 2° (sinon en l'additionnant 20 fois / 10 fois de suite, on construirait 20°, ce qui est impossible).
Or, supposons un angle 3k+p constructible (k et p entiers, 0<=p<3), alors si on lui retranche 3k (qui lui est constructible), on trouve p constructible, donc p=0.

Tout angle constructible à mesure entière en degré est donc necessairement de la forme 3k, avec k entier

 #4 - 15-12-2009 17:13:11

cuzel
Visiteur

Un autr problème d'angles

COOL on pentagone fastosche  ta superbe méthode big_smile michi

 

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