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 #26 - 30-07-2015 23:10:24

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

un pronlème de carré

J'ai rajouté en page 2 de mon pdf une seconde méthode pour prouver que pour tout n>=1, il existe exactement 2 entiers a>1 tels que 10^n divise a^2-a.
Et j'ai indiqué une méthode simple pour calculer les uns après les autres les chiffres des solutions, en partant des chiffres des unités 5 et 6.



Télécharger cette dernière version de mon pdf (31-07-2015  7h 10mn)

#0 Pub

 #27 - 31-07-2015 11:37:09

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un prroblème de carré

nobodydy: C'est ça
masab: c'est ça aussi!
gwen: c'est ça encore
masab: Autan pour moi, c'est excellent, à vrai dire je croyais que c'était un pdf pris sur internet, je l'avais parcouru en diagonale, mais pour l'instant je n'ai pas vu d'erreur mais j'ai deux fois le même pdf c'est normal?

Un médaillon d'or pour masab donc!


Un promath- actif dans un forum actif

 #28 - 31-07-2015 12:35:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un prbolème de carré

On voit assez vite qu'il y a quatre solutions : 0 ; 1 ; .....5 et .....6 .

Combien à n chiffres , ce n'était pas la question ?

Vasimolo

 #29 - 31-07-2015 13:49:43

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

un probmème de carré

Promath : j'ai deux fois le même pdf, c'est normal ?

Oui, c'est le même pdf, avec la même url ; j'ai rajouté une 2ème page au 1er pdf ; ensuite j'ai remplacé le 1er pdf par le pdf modifié.

Merci pour le médaillon d'or !!!

 #30 - 31-07-2015 14:10:22

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

un priblème de carré

Si Vasimolo! smile

D'accord je n'avais pas compris masab!


Un promath- actif dans un forum actif

 #31 - 31-07-2015 23:36:36

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un problème de caré

Masab ne donne donne pas vraiment la solution puisqu'il accepte que le premier chiffre soit nul . Si on enlève les cas x=0 ou x=1 ( que tu évacues en disant que le nombre n'est pas égal à son carré ) on a exactement deux solutions dont le dernier chiffre est 5 et 6 . Mais il y a plein de cas ou les solutions ne sont pas réellement à n chiffres et le problème n'est pas complètement résolu smile

Vasimolo

 #32 - 01-08-2015 11:59:51

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

yn problème de carré

Effectivement si l'on veut des nombres à n chiffres tels que 10^n divise a^2-a, il faut chercher où sont les 0 dans les 2 suites infinies
5, 2, 6, 0, 9, 8,...
6, 7, 3, 9, 0, 1,...
On pourrait aussi chercher si ces suites sont périodiques ou non.
On a là 2 problèmes qui peuvent être ardus...

PS1 Il faut modifier la fin de ma 2ème méthode en remplaçant d=10-u par d=-b(2a-1) mod 10). J'ai rectifié le pdf.

PS2 Notons a1>1 et a2>1 les 2 solutions avec au plus n chiffres telles que 10^n divise a^2-a. On a vu que a1+a2=10^n+1. Cela entraîne que a1 et a2 ne peuvent pas avoir un chiffre 0 au même rang. Donc il y a toujours au moins une solution a ayant exactement n chiffres. Si a1 a pour chiffre 0 à un certain rang, alors a2 a pour chiffre 9 au même rang.

PS3 Une solution a peut avoir plusieurs 0 consécutifs. Il existe une solution à 4985 chiffres commençant par 7000002669...6 . Elle a donc 5 zéros consécutifs ! L'autre solution à 4985 chiffres commence donc par 2999996330...5
(car 9999999999-7000002669=2999996330)

 #33 - 02-08-2015 08:02:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

un problème de varré

nobodydy a écrit:

Les maths m'éclatent parfois
je viens de me rendre compte que la somme des 2 nombres trouvés

109376       
890625

donne 1000001
et je ne sais pas pourquoi mais je trouve cela beau  wink

Même si Masab en a fait la démo dans son pdf, on peut retrouver cette propriété en 3 lignes.....

 #34 - 02-08-2015 17:06:56

masab
Expert de Prise2Tete
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Messages : 681

Unn problème de carré

nodgim : on peut retrouver cette propriété en 3 lignes...

Encore faudrait-il écrire ces 3 lignes pour convaincre tous les participants !

Idée : si 10^n divise a^2-a (a avec au plus n chiffres), on pose
a' = 10^n+1-a
Pour prouver que a' est solution, on vérifie (facile) que 10^n divise a'^2-a' .
Par ailleurs les solutions a et a' sont distinctes sinon 2a=10^n+1, ce qui n'est pas possible  pour des questions de parité.
Zut ! Ca ne tient pas en 3 lignes malgré que tout ne soit pas explicité...

 #35 - 02-08-2015 17:20:35

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Un poblème de carré

Vasimolo a écrit:

Masab ne donne donne pas vraiment la solution puisqu'il accepte que le premier chiffre soit nul . Si on enlève les cas x=0 ou x=1 ( que tu évacues en disant que le nombre n'est pas égal à son carré ) on a exactement deux solutions dont le dernier chiffre est 5 et 6 . Mais il y a plein de cas ou les solutions ne sont pas réellement à n chiffres et le problème n'est pas complètement résolu smile

Vasimolo

Effectivement mais il me l'a stipulé par mp, donc il mérite quand même son médaillon :p


Un promath- actif dans un forum actif

 #36 - 02-08-2015 18:39:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Un prolème de carré

masab a écrit:

nodgim : on peut retrouver cette propriété en 3 lignes...

Encore faudrait-il écrire ces 3 lignes pour convaincre tous les participants !

Idée : si 10^n divise a^2-a (a avec au plus n chiffres), on pose
a' = 10^n+1-a
Pour prouver que a' est solution, on vérifie (facile) que 10^n divise a'^2-a' .
Par ailleurs les solutions a et a' sont distinctes sinon 2a=10^n+1, ce qui n'est pas possible  pour des questions de parité.
Zut ! Ca ne tient pas en 3 lignes malgré que tout ne soit pas explicité...

Pas convaincu tout à fait, masab, surtout par le "facile" de la division de a'(a'-1) par 10^n. Je ne dis pas que ce n'est pas bon, mais que ce n'est pas aussi évident que ça. Une petite précision serait utile, tant pis pour les 3 lignes. Sinon, j'ai plus court.

 #37 - 02-08-2015 19:57:21

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

nU problème de carré

C'est bon masab, après relecture.
Ma démo est peut être plus directe:
Soit a=....5 et b=....6
a est multiple de 5 et non multiple de 2. Inverse pour b.
a(a-1)=k*10^n
b(b-1)=j*10^n
la valeur absolue de la différence vaut Ia²-b²-(a-b)I=I(a-b)(a+b-1)I=Ik-jI*10^n
a-b n'est divisible ni par 5, ni par 2.
C'est donc a+b-1 qui divise 10^n.

au chiffre près, donc:  a+b=10^n+1.

 #38 - 03-08-2015 14:02:54

masab
Expert de Prise2Tete
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U nproblème de carré

A la fin de votre demo il faut écrire 10^n divise a+b-1 donc a+b=10^n+1.

Votre demo est exacte mais exige de savoir qu'il y a une seule solution terminant par 5 et une seule solution terminant par 6 (partie difficile de la preuve) ; en effet si a et b sont 2 soluions terminant par 5, alors a-b est divisible par 10.

Ma preuve ci-dessus n'exige rien de connu. Elle prouve que si a est une solution et si l'on pose a' = 10^n -a + 1 , alors a' est aussi une solution (cette construction sur a' redonne a). Donc on peut associer les solutions 2 par 2. Cela prouve sans autre considération que le nombre de solutions est pair (éventuellement nul).

 #39 - 03-08-2015 16:33:53

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Un problèem de carré

j'avais la solution de masab, et effectivement je suis d'accord avec lui, c'est la plus courte que j'ai trouvée, du moins celle où il y a le moins de polémique en plus possible


Un promath- actif dans un forum actif

 #40 - 04-08-2015 14:54:41

masab
Expert de Prise2Tete
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Un problème e carré

Notons que la solution de nodgim entraîne d'avantage de conséquences.
On suppose qu'il exite au moins une solution a à au plus n chiffres terminant par 5 et au moins une autre par 6. Alors d'après la preuve de nodgim on a  a+a' = 10^n+1.
En faisant varier a' il en résulte qu'il n'existe qu'une solution terminant par 6.
En faisant varier a il en résulte qu'il n'existe qu'une solution terminant par 5.

Conclusion. La preuve de nodgim prouve facilement que s'il exite au moins une solution a à au plus n chiffres terminant par 5 et une autre par 6, alors il existe un seule solution a à au plus n chiffres terminant par 5 et une seule solution aussi terminant par 6.

 #41 - 04-08-2015 17:48:45

nodgim
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Un problèmme de carré

Bien vu Masab, ce que j'avais remarqué également !  L'existence des solutions qui se terminent par 5 et 6 est tout de même évidente par le test des unités.

Une autre chose: on doit pouvoir par ce biais prouver que les 2 nombres (...5 et ...6) sont infinis, c'est à dire que ni l'un ni l'autre ne donne 0 une infinité de fois à partir d'un certain rang. C'est intuitivement évident, mais pas simple à montrer.

 #42 - 04-08-2015 17:52:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Un porblème de carré

En revanche, masab, je ne comprends pas ta remarque sur l'unicité de la solution se terminant par 5 ou 6. Pour moi, c'est évident et ça se prouve par la construction de ce nombre.

 #43 - 04-08-2015 18:53:02

masab
Expert de Prise2Tete
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U problème de carré

Soit a une solution se terminant par 5.
Soient b et c deux solutions se terminant par 6.
Alors
a+b = 10^n+1
a+c = 10^n+1
Par différence b-c=0, c-à-d b=c .
On a ainsi montré qu'il n'y a qu'une solution se terminant par 6.

nodgim : Pour moi, c'est évident et ça se prouve par la construction de ce nombre.

Je ne crois pas que ce soit évident... C'est ce que j'ai fait dans la 2ème méthode de mon pdf.

 #44 - 05-08-2015 08:32:11

nodgim
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Un probèlme de carré

C'est évident par construction; quand on a trouvé n chiffres, il n'y a qu'une seule solution pour le (n+1) ième chiffre.

 #45 - 06-08-2015 07:45:07

nodgim
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Un problèmee de carré

Quand on fait une multiplication, par exemple abc*def, on peut faire la somme des "produits en faisceau".
abc*
def=
cf+
10*(bf+ec)+
100*(af+be+dc)+
1000*(ae+bd)+
10000*ad

Application numérique:
000564*
000229=

000036+
000620+
006500+
022000+
100000=

129156


Application à notre problème du carré ....5 :
e5*e5=100*e+25=10*e+5
100*e+20=10*e
seul le chiffre des dizaines nous intéresse:
e=2

d25*d25=25+10*20+100*(10*d+4) =100*d
625+1000*d=100*d
seul le chiffre des centaines nous intéresse:
6=d

etc....

 

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