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 #1 - 24-02-2017 22:20:22

narzax
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Problème 'infini

Bonjour,
Mon professeur m'as posé l'énigme suivante pourriez vous m'aider à la résoudre ?
Un “infini” est la réunion de deux cercles dans le plan, de même rayon (non nul), tangents en un unique
point.
Montrer que l’on peut mettre dans le plan au plus un nombre dénombrable d’infinis deux à deux disjoints.

Merci d'avance pour votre aide



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 #2 - 25-02-2017 11:11:17

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 427

Problème d'infnii

Spoiler : [Afficher le message] On appelle E l'ensemble des "infinis" disjoints qu'on a réussi à placer dans le plan. L'idée de départ est que si deux "infinis" sont l'un dans l'autre, alors le rayon des cercles du plus grand est au moins égal au double de celui des cercles du plus petit.

On peut écrire E comme la réunion : ... E[0,25;0,5[ U E[0,5;1[ U E[1;2[ U E[2;4[ ... où E[a;b[ est l'ensemble des "infinis" de E dont les cercles ont un rayon compris entre a et b.

Considérons uniquement E[1;2[. Deux "infinis" de E[1;2[ ne peuvent être l'un dans l'autre, donc chaque "infini" occupe une aire strictement positive du plan (son intérieur), donc les "infinis" de E[1;2[ sont en nombre dénombrable.

On peut faire la même chose pour chaque E[a;b[, et donc E est une réunion dénombrable d'un nombre dénombrable d'"infinis", c'est donc un nombre dénombrable d'"infinis".

 #3 - 25-02-2017 11:28:10

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 182

Problème d'inffini

Spoiler : [Afficher le message] Supposons qu'un cercle soit de rayon 1, chaque cercle englobe donc au moins un point à coordonnées entières. On peut donc réaliser une injection de l'ensemble des cercles vers N^2 (on choisit un seul des points à coordonnées entières présent dans le cercle). Donc le nombre de cercles est soit fini, soit discret.
Le nombre d"'infini" réalise lui aussi un injection vers les cercles (on choisit un cercle sur  les deux qui composent l'infini)
On en déduit que le nombre d'"infini" est également dénombrable)

(Si le cercle à un rayon plus petit, on choisit un repère avec une échelle plus petite pour être sûr que chaque cercle contiennent un point à coordonnées entière)
Edit:
Désolé, je n'avais pas compris que les "infinis" pouvaient être de taille différente (c'est juste les deux cercles d'un infini qui ont la même taille.
Pour répondre au problème, il suffit d'adapter légèrement la solution, en montrant que tout cercle contient un élément de Q^2 (car Q^2 est dense dans R^2 et est dénombrable)
Edit2:
Si l'on prend en compte que deux "infinis" peuvent être imbriqués, il faut montrer que l'on peut choisir un rationnel qui n'appartiennent à aucun autre "infini"

 #4 - 25-02-2017 14:54:02

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1383
Lieu: Coutiches

rPoblème d'infini

@ Ebichu : Je ne comprends pas pourquoi :

"chaque "infini" occupe une aire strictement positive du plan (son intérieur), donc les "infinis" de E[1;2[ sont en nombre dénombrable."

Pour moi le plan est infini donc on peut y mettre un nombre infini d'infinis non ?

Il doit y avoir dans l'énoncé quelque chose que je n'ai pas compris mais je ne vois pas quoi...

 #5 - 25-02-2017 15:34:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Probèlme d'infini

@ Golgot59 :
Considère une catégorie des " infinis "  qui ne se s'emboitent pas les uns dans les autres (selon la définition d'Ebichu). Tu peux les compter avec un polygone en spirale reliant leur centre.

En revanche, il reste un doute, car il y a tout de même une infinité de catégories. Et je ne sais pas trop si une infinité d'infinis dénombrables est dénombrable....

 #6 - 25-02-2017 16:04:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

problème d'ibfini

C'est bon pour moi, maintenant. A la question une infinité d'infinis dénombrable est elle dénombrable ? La réponse est oui, par récurrence : c'est Ok pour 2 infinis, donc qu'on peut transformer en un seul, et donc c'est bon pour 3, 4,...une infinité.

 #7 - 25-02-2017 16:30:51

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 182

pronlème d'infini

nodgim
Une infinité dénombrable d'infini dénombrable est dénombrable, il suffit de faire une bijection de N^2 vers cet ensemble pour le montrer (et N^2 est bien évidemment dénombrable, résultat connu, voir par exemple la fonction de  couplage de Cantor)

En revanche, Ebichu ne détaille pas beacoup sa démonstration...

L'idée de départ est que si deux "infinis" sont l'un dans l'autre, alors le rayon des cercles du plus grand est au moins égal au double de celui des cercles du plus petit.

On s'en fiche, on n'utilise pas ça dans la suite de la démo, le découpage proposé fournit une partition des infinis, ça suffit pour la suite...

Deux "infinis" de E[1;2[ ne peuvent être l'un dans l'autre, donc chaque "infini" occupe une aire strictement positive du plan (son intérieur), donc les "infinis" de E[1;2[ sont en nombre dénombrable.

Tout les infinis occupent une aire strictement positive, quelles que soient leur catégories, si on avait ce résultat, on déduirait immédiatement le résultat. L'intérêt d'avoir découpé en catégories est que les infinis d'une même catégorie ont leur aire minorée par un réel strictement positif.

Il reste donc juste ça à démontrer, ce qui n'est pas forcément évident. On peut le faire en utilisant la première partie de mon raisonnement, mais je serais intéressé si tu en avais une autre Ebichu

Golgot
Ici, on cherche à montrer qu'on ne peut que mettre une infinité dénombrable d'"infinis", et qu'il est impossible d'en mettre un infini plus grand.
Ca tourne autour de la théorie de Cantor sur les tailles d'infinis.
On remarque qu'il n'est plus possible de caractériser la taille des infinis par leur nombres d'éléments, car il est infini.
L'idée est de revenir à la base: deux ensembles ont la même taille s'il peuvent être mis en bijection, c'est à dire que chaque élément du premier ensemble peut être associé à un unique élément du deuxième ensemble, et tout les éléments sont utilisés.
Par exemple, si je prend les ensembles {rouge, vert, noir} et {voiture, camion, moto}, on peut associer rouge <=>voiture ,  vert <=> camion, noir <=> moto, et tout les éléments ont été utilisés, les deux ensembles ont donc la même taille.

De la, ont dit qu'un ensemble contient n éléments s'il peut être mis en bijection avec [[1,n]]
Par exemple, on peut réaliser les assonciations rouge <=> 2 , vert <=> 3 , noir <=> 1
C'est une bijection entre {rouge, vert, noir} et {1,2,3} = [[1,3]] donc {rouge, vert, noir} est de taille 3.

L'idée est que deux ensembles infinis sont "de même taille", on dira équipotent, s'il peuvent être mis en bijection.

Par exemple, l'ensemble des entiers, et l'ensemble de nombres pairs sont de même taille (équipotent) car on peut réaliser la bijection: 1<=>2, 2<=>4, 3<=>6, ..., n<=>2n, ...
Ca peux sembler bizarre, mais c'est du à notre définition de "même taille". On aurait pu dire qu'un ensemble est plus petit qu'un autre s'il est inclus dedans, et alors les nombres pairs sont moins nombreux que les entiers, mais ce serait une autre définition.

En procédant de la même façon, on peut montrer qu'il y a autant d'entiers que de carrés parfaits, que de couple (n,p) d'entiers, que de fractions... ces ensembles sont appelés dénombrables.

Par contre, Cantor a montré qu'il y avait beacoup moins d'entiers que de nombres réels. L'infinité des nombres réels n'est donc pas dénombrable. L'idée de cet exo est donc de montrer que l'on ne pourra jamais mettre autant d'"infinis" que de nombres réels

 #8 - 25-02-2017 16:49:19

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 427

Prroblème d'infini

@caduk :

On s'en fiche, on n'utilise pas ça dans la suite de la démo

Si : je pense que tu as manqué la chose suivante. Imagine que l'énoncé n'ait pas été donné avec des "infinis", mais avec des cercles. Alors tu peux mettre dans le plan un nombre non dénombrable de cercles disjoints (il suffit de faire des cercles concentriques).

C'est pour ça que j'utilise l'ensemble E[1;2[ : il a la propriété de ne pas pouvoir contenir deux "infinis" l'un dans l'autre. Si j'avais pris E[ 1 ; 2,1 [, ce ne serait plus vrai.

Du coup, tu es sûr que l'intérieur de chaque "infini" de E[1;2[ est vide, et donc qu'il occupe à lui tout seul une aire du plan strictement positive (et même, minorée par 2.π.1²), et donc qu'il n'y a qu'un nombre dénombrable d'éléments dans E[1;2[.

Il reste donc juste ça à démontrer, ce qui n'est pas forcément évident.

Je ne comprends pas bien ce que tu demandes : que reste t-il au juste à démontrer ?

 #9 - 25-02-2017 16:56:27

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 182

Problème d''infini

On ne peut mettre qu'un nombre dénombrable de cercles concentrique, voir ma démo:
En effet, il existe une aire non nulle entre deux cercles successifs, et cette aire contient au moins un point (n,p) où n et p sont rationnels.
On peut donc réaliser une injection de l'ensemble des cercles vers l'ensemble des rationnels. donc il y a moins de cercles que de rationnels, donc un nombre dénombrable de cercles.

Ce que tu n'as pas démontré, c'est que l'on ne peut mettre qu'un ensemble dénombrable d'objets possédant une aire positive dans le plan, ce qui ne semble pas évident au premier abord...

 #10 - 25-02-2017 17:01:02

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 182

Problme d'infini

My god, non, ma démo est fausse, effectivement, on peut mettre un nombre non dénombrable de cercles concentriques... yikes

 #11 - 25-02-2017 18:34:14

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 157

Problème d'innfini

On sait que [latex]\mathbb{R}^2[/latex] est indénombrable.

Si on peut placer un nombre indénombrable d'infinis dans [latex]\mathbb{R}^2[/latex] alors il existe une bijection entre l'ensemble des infinis et [latex]\mathbb{R}^2[/latex] : autrement dit je peux placer un infini en chaque point de [latex]\mathbb{R}^2[/latex]. Or cela est impossible puisqu'un infini occupe un sous-espace non ponctuel de [latex]\mathbb{R}^2[/latex] et qu'ils doivent être 2 à 2 disjoints.

 #12 - 25-02-2017 18:53:53

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 182

Problème d'inini

Ce ne me semble pas très convaincant, si on reprend l'exemple des cercles, d'après ta démonstration, il ne peuvent pas être en nombre indénombrable, or c'est possible...

 #13 - 25-02-2017 19:04:49

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Problème dinfini

Personnellement, un ensemble infini qui est dénombrable me parait d'une absurdité totale. Pas la peine d'essayer de me démontrer le contraire...

Les mathématiciens ont parfois le ciboulot complètement dérangé, pour arranger les notions avec des notions et en inventer une s'il n'y en a pas ...
Et Spoiler : [Afficher le message] Pas la peine d'essayer de me démontrer le contraire... lol 

 #14 - 26-02-2017 00:44:59

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 427

Problèem d'infini

@caduk :

Ce que tu n'as pas démontré, c'est que l'on ne peut mettre qu'un ensemble dénombrable d'objets possédant une aire positive dans le plan, ce qui ne semble pas évident au premier abord...

En fait, il y a un théorème classique qui dit : la somme d'un nombre indénombrable de termes strictement positifs vaut +infini (je peux fournir la démo si besoin est). Ici, si tu te restreints à la partie du plan [-n;n]² qui est d'aire finie, elle ne peut contenir qu'un nombre dénombrable d'"infinis" du fait de ce théorème. Comme le plan est égal à la réunion (dénombrable) des [-n;n]², l'ensemble des "infinis" est une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables, et est donc dénombrable.

D'ailleurs, on peut se passer de ce théorème. Chaque "infini" de E[1;2[ occupe à lui tout seul une aire du plan minorée par 2.π.1², donc il n'y a qu'un nombre fini d'"infinis" de E[1;2[ dans [-n;n]², et donc il n'y a qu'un nombre dénombrable d'"infinis" de E[1;2[ dans le plan qui est la réunion (dénombrable) des [-n;n]².

 #15 - 26-02-2017 08:12:01

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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problème d'onfini

gwen27 a écrit:

Personnellement, un ensemble infini qui est dénombrable me parait d'une absurdité totale. Pas la peine d'essayer de me démontrer le contraire...

Les mathématiciens ont parfois le ciboulot complètement dérangé, pour arranger les notions avec des notions et en inventer une s'il n'y en a pas ...
Et Spoiler : [Afficher le message] Pas la peine d'essayer de me démontrer le contraire... lol 

C'est effectivement difficile à ingurgiter cette drôle de notion d'infini dénombrable. Il faut juste se mettre en tête que "dénombrable" signifie ici qu'on peut mettre en bijection avec les entiers. La cèlèbre diagonale de Cantor prouve que les réels entre 0 et 1 ne sont pas dénombrables: Même si tu penses en faire la liste (infinie) exhaustive, il t'en manquera. Perso, il y a des jours où je suis convaincu de la véracité de cette preuve, d'autres jours non. Mais c'est sans doute dû au fait que je l'ai apprise seul, hors cadre scolaire.

 #16 - 26-02-2017 11:45:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Prooblème d'infini

Bon bah je trace des cercles de dimensions comprise entre 0 et 1 , tous de diamètre différents. tongue

Je peux en tracer autant que de réels entre 0 et 1 , et donc, c'est indénombrable lol

 #17 - 26-02-2017 13:25:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Problème d'infin

Justement non.
Tu peux faire la liste complète de tous les cercles concentriques, ta liste fut elle infinie, il t'en manquera une infinité.

 #18 - 26-02-2017 14:02:32

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 182

Problème d'infnii

Voila la preuve apportée par Cantor:
supposons par l'absurde que l'on puisse trouver une bijection entre les nombres entiers et les nombres réels entre 0 et 1.
On aura alors une correspondance
[TeX]0 <=> a_0 = 0,a_{0,0}a_{0,1}a_{0,2}a_{0,3}...[/TeX]
[TeX]1 <=> a_1 = 0,a_{1,0}a_{1,1}a_{1,2}a_{1,3}...[/TeX]
...
[TeX]n<=>a_n = 0,a_{n,0}a_{n,1}a_{n,2}a_{n,3}...[/TeX]
...
en écrivant les réels sous forme décimale.

Maintenant construisons un nombre qui n'est pas dans cette liste:
soit b = 0,b_0b_1b_2b_3...
tel que b_0 soit différent de a_{0,0} , b_1 soit différent de a_{1,1}, ..., b_n soit différent de a_{n,n}...
On a alors b différent de a_0 car sa première décimale est différente,
b différent de a_1 car sa deuxième décimale est différente
...
Ainsi, b n'est pas dans notre liste, ce qui est absurde puisque c'est un réel compris entre 0 et 1...

 #19 - 26-02-2017 15:22:29

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Problème d'nfini

nodgim a écrit:

Justement non.
Tu peux faire la liste complète de tous les cercles concentriques, ta liste fut elle infinie, il t'en manquera une infinité.

Euh , tu répètes ce que je dis en disant que c'est faux roll

 #20 - 26-02-2017 15:51:13

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 182

problème d'indini

Ta remarque "Je peux en tracer autant que de réels entre 0 et 1 , et donc, c'est indénombrable" est tout à fait juste.
En effet, à chaque cercle de rayon r, on peut associer le réel r, donc les cercles concentriques sont indénombrables.

Par contre, il est impossible d'en faire une liste, ou plus précisément, une liste numérotée par les entiers (voir la démo de Cantor plus haut).
Ceci justifie l'appellation dénombrable: sur une liste numérotée par les entiers, on peut lire chaque ligne de la suite l'une après l'autre, et compter ses lignes. (même si on n'arrivera jamais au bout du compte), d'où le terme dénombrable.

Par contre, si tu prétendais me sortir une telle liste de tout les réels, je pourrais toujours t'en trouver un qui n'est pas dans ta liste.

 #21 - 26-02-2017 16:36:00

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Problème d'inffini

Chacun d'entre vous s'enterre un peu plus...

Mes cercles de rayon compris entre 0 et 1 sont-ils traçables dans un plan ?

 #22 - 26-02-2017 16:48:29

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 182

Problèe d'infini

La seule manière pour placer tout les cercles ayant tout les diamètres possibles est de les disposer de manière concentriques (au moins une partie).
Si l'on place tout les cercles de manières concentriques, il seront disjoints. En effet, au premier abord, il semblent se toucher puisque ces cercles remplissent entièrement l'intérieur d'un disque de rayon 1. Mais si tu prend un point quelconque de ce disque, il n'appartient qu'à un et un seul cercle. Aucun cercle ne partage de point en commun avec un autre, ils sont donc tous disjoints.

En revanche, si tu essayes de placer tout ces cercles dans le plan, sans qu'il n'y en ait jamais l'un dans l'autre, c'est impossible.
(voir par exemple ma demo, en remarquant que chaque cercle possède en son intérieur un rationnel, ou la démo d'Ebichu du message #14)

 #23 - 26-02-2017 16:58:50

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Problème d'ifini

C'est juste idiot.

Un infini est moins infini, donc il n'est pas infini.

Je peux tous les placer, le plan est infini.

 #24 - 26-02-2017 17:16:32

caduk
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 182

provlème d'infini

Non, ça peut paraitre non intuitif, mais tu ne pourras pas tous les placer, cf les preuves apportées plus haut...
Sinon, propose moi un placement de tous les cercles dans le plan, et je te prouverais qu'il en manques...
(bon courage lol)

C'est l'un des paradoxes de l'infini, il existe des ensembles possédant une infinités d'éléments, mais pourtant beaucoup plus petits que d'autres...

 #25 - 26-02-2017 17:26:53

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3136

Problème d'innfini

Personne ici ne s'enterre. Tout au moins ceux qui ont déja étudié les infinis mathématiques.
Rien ne t'empêche d'imaginer tous les cercles tracés, ce qui correspond, pour les diamètres, à toutes les valeurs possibles entre 0 et 1 (si ton cercle initial vaut 1). Autrement dit, tous les points du segment, autrement dit le segment lui même : tu as atteint le continu. Si tu veux te référer aux seuls cercles en bijection avec les entiers, tu peux par exemple prendre les cercles de diamètre les nombres décimaux compris entre 0 et 1, c'est à dire les valeurs à écriture décimale finie. J'espère que tu comprends bien qu'entre les nombres décimaux et les nombres réels, il y a tout de même une différence. Et bien c'est de cette différence là qu'on parle.

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