Je vais commencer mes recherches, cependant j'aimerais que tu rajoutes du temps

Edit 1: Je pars sur une recherche à partir d'équations de droite

Je dirais, comme ça au vu de ce qui se passe quand on fait tourner une droite autour du point départ, que l'arrivée n'est pas tjs accessible (sauf bien sûr si l'arrivée est sur le 2ème segment), mais que quand elle l'est, elle l'est par 2 chemins différents. En effet, à partir du 3ème segment, seule une partie de la droite qui prolonge ce segment est accessible. Et c'est pareil pour les suivants. Donc toute arrivée située sur les parties de droite (prolongeant les segments) accessibles peut être atteinte 2 fois.

Je conjecture le résultat suivant sans le démontrer pour le moment: il y a au maximum N-1 chemins de rang N-1. Dans chaque cas on aboutit à une équation polynomiale d'ordre N-1

Bonjour Sydre

Je n'ai pas participé au sujet parce que je n'avais pas compris la question et je ne suis toujours pas de l'avoir comprise .

Je résume à ma façon

On a un réseau de droites numérotées de façon à ce que chacune soit perpendiculaire à sa précédente . On part d'un point A sur la première droite et on rejoint la deuxième selon le trajet de son choix . Ensuite il n'y a plus de liberté , on rejoint la deuxième droite perpendiculairement à la trajectoire précédente et ainsi de suite jusqu'au dernier point . On cherche de combien de façon on peut arriver au point B donné lui aussi sur la dernière droite .


Il me semble que si on fait varier le point M sur son axe , le point P va faire un aller et retour de l'infini vers un des points ( c'est la projection d'une parabole ) . Le point P va générer le même phénomène sur son successeur .

A priori le nombre de solutions peut être aussi grand que l'on veut

Vasimolo

@Vasimolo :

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Ta reformulation est tout à fait correcte

Par contre je ne comprends pas comment tu trouves une infinité de chemins ?

Par exemple pour ce chemin de rang 3 :



On ne peut pas construire de chemin de rang 2 reliant A et B !


@Promath- :

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Tu parlais dans ton précédent message d'une équation polynomiale de degré N-1.

Quelle est la condition sur ce polynôme pour que le chemin relie A et B ?

@Promath- :

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En fait les chemins possibles sont caractérisés par quelque chose de bien précis

On peut s'en rendre compte via les équations de droites en se disant "Pour que mon chemin joigne A et B il faut et il suffit que le dernier segment de mon nouveau chemin, dont je peut calculer l'équation, passe par B" mais les calculs sont vraiment moches.

Il y a une autre caractérisation qui mène à des calculs beaucoup plus simples et qui porte sur l'évolution d'une certaine longueur dans certains triangles ...

@Promath- :

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Non, tu n'as pas choisi le bon coté Mais il en reste 2 autres !

L'idée est de trouver une relation entre une grandeur qui permet de caractériser le fait que le chemin relie A et B et une autre grandeur qui elle détermine de manière unique le chemin.


Edit : MàJ des indices !

@Promath- :

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Ok ! Donc ta conclusion est qu'il y a autant de chemins que de racines réelles d'un certain polynôme

Reste à trouver la forme générale du polynôme en question ...

Essaie avec la pente caractéristique du chemin au lieu de l'angle au sommet

Tout d'abord bravo à Promath- pour avoir répondu à la question

Le problème reposait en fait sur la méthode de Lill qui permet de déterminer graphiquement les racines d'un polynôme de degré quelconque.

Il y avait autant de chemins reliant A et B que de racines réelles du polynôme a(n)*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + ... + a(0) ou les a(n) sont les longueurs des segments du chemin.

En fait, trouver un chemin revient à trouver une racine réelle du polynôme car la pente caractéristique p du chemin est solution (se démontre par un raisonnement analogue à celui de Promath-).