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 #1 - 09-08-2015 20:50:47

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

chemins polynomiayx

On appelle chemin orthogonal de rang N une succession de N segments qui relient deux points du plan et telle que chaque segment est orthogonal au précédent.

Soient A et B deux points du plan reliés par un chemin orthogonal de rang N.

On fait partir un nouveau chemin orthogonal de A dans une direction arbitraire avec les règles suivantes :

- Si, lors du tracé du n-ième segment, on rencontre le n+1-ième segment du chemin original alors on continue dans la direction orthogonale réfléchie :

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-OR.png

- Si, lors du tracé du n-ième segment, on rencontre le prolongement du n+1-ième segment du chemin original alors on continue dans la direction orthogonale transmise :

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-OT.png

Pour une situation donnée, combien de chemins orthogonaux de rang N-1 reliant A et B peut-on ainsi construire ?

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-OEx.png

Indices :

Spoiler : [Afficher le message]
Cherchez une caractérisation simple du fait que le chemin relie A et B.


Spoiler : [Afficher le message]
On s'intéresse à l'évolution d'une certaine longueur dans certains triangles ...


Spoiler : [Afficher le message]
http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-indicepoly.png

h, i, j ?



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 #2 - 12-08-2015 16:14:12

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Chemins polyynomiaux

Je vais commencer mes recherches, cependant j'aimerais que tu rajoutes du temps

Edit 1: Je pars sur une recherche à partir d'équations de droite


Un promath- actif dans un forum actif

 #3 - 13-08-2015 00:29:41

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

chemins polynpmiaux

J'ai rajouté du temps !

@Promath- :

Spoiler : [Afficher le message]
C'est une bonne idée smile


Je pense que le problème n'est pas si difficile. Il repose en fait sur une méthode mathématique surprenante que j'ai découvert récemment big_smile

Je rajoute quelques indices dans l'énoncé.

 #4 - 13-08-2015 08:51:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2956

chemins pplynomiaux

Je dirais, comme ça au vu de ce qui se passe quand on fait tourner une droite autour du point départ, que l'arrivée n'est pas tjs accessible (sauf bien sûr si l'arrivée est sur le 2ème segment), mais que quand elle l'est, elle l'est par 2 chemins différents. En effet, à partir du 3ème segment, seule une partie de la droite qui prolonge ce segment est accessible. Et c'est pareil pour les suivants. Donc toute arrivée située sur les parties de droite (prolongeant les segments) accessibles peut être atteinte 2 fois.

 #5 - 13-08-2015 10:05:14

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

chemins pomynomiaux

@nodgim:

Spoiler : [Afficher le message]
Tu as raison, dans certains cas il n'existe pas de chemin orthogonal de rang N-1 qui relie A et B smile

Par contre lorsqu'il en existe 1 il n'y en a pas forcément un 2ème pour autant ! Il peut aussi y en avoir plus de 2.


http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-3s.png

 #6 - 13-08-2015 10:27:09

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Chemins polynomiauxx

Je conjecture le résultat suivant sans le démontrer pour le moment: il y a au maximum N-1 chemins de rang N-1. Dans chaque cas on aboutit à une équation polynomiale d'ordre N-1


Un promath- actif dans un forum actif

 #7 - 13-08-2015 10:37:43

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

Chemins polynomiux

@ Promath- :

Spoiler : [Afficher le message]
Oui tout à fait !

Il ne doit pas te manquer grand chose pour conclure big_smile

 #8 - 13-08-2015 12:38:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Chemins polynnomiaux

Bonjour Sydre

Je n'ai pas participé au sujet parce que je n'avais pas compris la question et je ne suis toujours pas de l'avoir comprise .

Je résume à ma façon smile

On a un réseau de droites numérotées de façon à ce que chacune soit perpendiculaire à sa précédente . On part d'un point A sur la première droite et on rejoint la deuxième selon le trajet de son choix . Ensuite il n'y a plus de liberté , on rejoint la deuxième droite perpendiculairement à la trajectoire précédente et ainsi de suite jusqu'au dernier point . On cherche de combien de façon on peut arriver au point B donné lui aussi sur la dernière droite .
http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-polygone1.png

Il me semble que si on fait varier le point M sur son axe , le point P va faire un aller et retour de l'infini vers un des points ( c'est la projection d'une parabole ) . Le point P va générer le même phénomène sur son successeur .

A priori le nombre de solutions peut être aussi grand que l'on veut

Vasimolo

 #9 - 13-08-2015 13:24:06

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Cemins polynomiaux

Hélas si puisque je peux démontrer pour les rangs faibles (3,4) mais pas pour tous les rangs en fait...


Un promath- actif dans un forum actif

 #10 - 13-08-2015 14:05:46

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

Cheminns polynomiaux

@Vasimolo :

Spoiler : [Afficher le message]
Ta reformulation est tout à fait correcte smile

Par contre je ne comprends pas comment tu trouves une infinité de chemins ?

Par exemple pour ce chemin de rang 3 :

http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-nos0.png

On ne peut pas construire de chemin de rang 2 reliant A et B !


@Promath- :

Spoiler : [Afficher le message]
Tu parlais dans ton précédent message d'une équation polynomiale de degré N-1.

Quelle est la condition sur ce polynôme pour que le chemin relie A et B ?

 #11 - 13-08-2015 14:46:19

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Chemins pollynomiaux

Qu'il ait une solution au moins, donc que ce polynôme soit de rang impair, donc un nombre N pair, mais ça c'est une propriété évidente car le premier segment tracé sera parallèle au dernier et comme on peut donner toutes les directions au premier le résultat en découle...

J'ai trouvé une autres solution, moins rigoureuse peut-être (je n'ai pas développé, si tu ne comprends pas je pourrai ajouter des phrases). Si certains signent disparaissent, c'est normal, puisque je ne parle pas de mesures algébriques mais de longueurs! Cela permet de conclure plus rapidement je pense

http://img11.hostingpics.net/thumbs/mini_876122img052k1.jpg

J'ai une autre idée qui consiste à partir sur une recherche d'équations avec des cercles, à voir!

C'est dingue comme les gens se jettent sur le problème dès qu'il reste peu de temps big_smile

J'ai remarqué dans le dessin que tu as fourni qu'il y a une sorte de point où tous les chemins se croisent... Hasard?

Edit2: c'est un hasard effectivement


Un promath- actif dans un forum actif

 #12 - 13-08-2015 16:48:50

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

chemons polynomiaux

@Promath- :

Spoiler : [Afficher le message]
En fait les chemins possibles sont caractérisés par quelque chose de bien précis tongue

On peut s'en rendre compte via les équations de droites en se disant "Pour que mon chemin joigne A et B il faut et il suffit que le dernier segment de mon nouveau chemin, dont je peut calculer l'équation, passe par B" mais les calculs sont vraiment moches.

Il y a une autre caractérisation qui mène à des calculs beaucoup plus simples et qui porte sur l'évolution d'une certaine longueur dans certains triangles ...

 #13 - 13-08-2015 18:05:18

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Chemins polynomiax

"Il y a une autre caractérisation qui mène à des calculs beaucoup plus simples et qui porte sur l'évolution d'une certaine longueur dans certains triangles ..."

Ce n'est pas ce que j'ai évoqué dans la deuxième partie de ma feuille?

Édit:Lapidez moi! Comment je n'ai pas pu y penser plus tôt ! Les triangles sont semblables...


Un promath- actif dans un forum actif

 #14 - 13-08-2015 18:23:49

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

Cheimns polynomiaux

@Promath- :

Spoiler : [Afficher le message]
Non, tu n'as pas choisi le bon coté big_smile Mais il en reste 2 autres !

L'idée est de trouver une relation entre une grandeur qui permet de caractériser le fait que le chemin relie A et B et une autre grandeur qui elle détermine de manière unique le chemin.


Edit : MàJ des indices !

 #15 - 13-08-2015 19:13:53

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Chemnis polynomiaux

Les triangles sont semblables, ça aide pas mal

http://img15.hostingpics.net/pics/113605img053.jpg


Un promath- actif dans un forum actif

 #16 - 13-08-2015 20:39:02

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

chemins polynimiaux

@Promath- :

Spoiler : [Afficher le message]
Ok ! Donc ta conclusion est qu'il y a autant de chemins que de racines réelles d'un certain polynôme smile

Reste à trouver la forme générale du polynôme en question ...

Essaie avec la pente caractéristique du chemin au lieu de l'angle au sommet wink

 #17 - 14-08-2015 12:50:21

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

chemins polynomiayx

Mmh je ne vois pas ce que tu veux dire par pente caractéristique? Et ce n'est pas possible de trouver le polynôme avec l'équation que j'ai mise en haut de la feuille?


Un promath- actif dans un forum actif

 #18 - 14-08-2015 14:22:14

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

Chmins polynomiaux

Tout d'abord bravo à Promath- pour avoir répondu à la question smile

Le problème reposait en fait sur la méthode de Lill qui permet de déterminer graphiquement les racines d'un polynôme de degré quelconque.

Il y avait autant de chemins reliant A et B que de racines réelles du polynôme a(n)*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + ... + a(0) ou les a(n) sont les longueurs des segments du chemin.

En fait, trouver un chemin revient à trouver une racine réelle du polynôme car la pente caractéristique p du chemin est solution (se démontre par un raisonnement analogue à celui de Promath-).

 #19 - 14-08-2015 18:30:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

chemins pokynomiaux

Un très joli problème et une très jolie solution smile

Il me semble qu'il y a quelques petites nuances à apporter à la solution . Le nombre de chemins est inférieur ou égal au nombre de racines réelles du polynôme . Les racines multiples ne donne qu'un seul chemin et certains chemins peuvent être un peu "dégénérés" ( voir le -0,5 pour 4x^3+2x^2-2x-1 sur le lien ) .

Heureusement que je n'ai pas cherché trop longtemps , je n'aurais jamais pensé à ça lol

Vasimolo

 

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