Enigme American problem @ Prise2Tete

SaintPierre · #1

Vue du dessus du parc du Pentagone (un pentagone régulier).
Calculer le rapport entre l'aire hachurée et l'aire de sa partie noire.

halloduda · #2

0.9610875 environ

looozer · #3

Je trouve un truc totalement crasseux : [latex]\frac{4}{55} \sqrt{37+\frac{82}{\sqrt{5}}} \pi-1[/latex]

Je pose AB=1, ça ne changera rien aux proportions

Par la trigono :

dans le triangle ABC : BC = 2 x sin36°
dans le triangle JBC : JB = tg36°
dans le triangle JKB : JK= 2 x tg36° x sin18°

Aire de JBC : sin³36°/cos36°
Aire du petit pentagone central : 5 x tg36° x sin²18°

Aire de la partie claire : a = 5(sin³36°/cos36° + tg36° x sin²18°) = [latex]\frac{5}{4} \sqrt{185-82 \sqrt{5}}[/latex] (dixit WolframAlpha)

Aire du cercle : Pi x 1²

Rapport demandée : (Pi - a)/a = [latex]\frac{4}{55} \sqrt{37+\frac{82}{\sqrt{5}}} \pi-1[/latex] = 0,961087513455143...

SaintPierre · #4

@looozer: en simplifiant, ça donne quoi ton truc ?

@halloduda: bonne réponse !

looozer · #5

Ben justement ce truc ne se simplifie pas!
En gros, ça donne 0,9610875

SaintPierre · #6

looozer, c'est la bonne réponse... mais je suis curieux de savoir comment tu en es arrivé là !

looozer · #7

J'en ai rajouté un peu

gwen27 · #8

L'aire du grand pentagone est 5 fois celle de ABG soit
AG x BE/4 = r^2 /2 cos18°

L'aire d'un triangle est
OH x OA = r^2 cos 54° (1-sin 54°)

L'aire est 5 fois celle de ABG soit
AG x BE/4 = r^2 /2 cos18°

L'aire d'un triangle est
OH x OA = r^2 cos 54° sin18° (1-sin 18°) / sin54°

Donc l'aire de la partie hachurée est
r^2 (PI – 5/2 cos 18 + 5cos 54° sin18° (1-sin 18°) / sin54° )

Le rapport entre les 2 aires est donc
(PI – 5/2 cos 18 + 5cos 54° sin18° (1-sin 18°) / sin54° ) / (5/2 cos 18 - 5cos 54° sin18° (1-sin 18°) / sin54° )
=pi / (5/2 cos 18 - (5cos 54° sin18° (1-sin 18°) / sin54°) ) -1

= 0,9610875...

~~Il doit me manquer un truc! Ca ne parait pas crédible à vue d'oei~~l.
Maintenant , ça me parait mieux.

SaintPierre · #9

Ton 1 est en trop, Gwen...

SaintPierre · #10

J'apporte ma pierre à l'édifice, moi aussi...

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#1 - 26-04-2011 00:07:23

Amrican problem

#0 Pub

#2 - 26-04-2011 11:47:44

americab problem

#3 - 26-04-2011 23:11:19

Americaan problem

#4 - 26-04-2011 23:30:47

American problemm

#5 - 27-04-2011 07:42:21

American proble

#6 - 27-04-2011 10:34:10

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#7 - 27-04-2011 17:03:44

Americn problem

#8 - 27-04-2011 19:27:37

American pproblem

#9 - 27-04-2011 21:28:37

zmerican problem

#10 - 30-04-2011 11:42:20

american provlem

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