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 #1 - 14-10-2015 18:12:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Nombre trahi par sa factorilele

Bonsoir à tous,
Une pas trop dure pour ce soir:
Ce multiple de 9 comporte 20 576 127 puissances de 7 dans sa factorielle.
Quel est ce nombre ?



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#0 Pub

 #2 - 14-10-2015 19:55:04

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

nombre traho par sa factorielle

123456789


On compte d'abord le nombre de fois où 7 est représenté 2,3,..8 fois

Puis on retranche ce nombre de 7 en trop

On a plus qu'à multiplier par 7 et ajouter le complément (entre 1 et 6) pour que la somme des chiffres soit multiple de 9...

 #3 - 14-10-2015 21:26:29

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

nombre trahu par sa factorielle

Je dirais bien 123456789! lol
Je ne suis pas sûr que mon calcul soit exact mais bon :
N*(7^-1 + 7^-2 + 7^-3 + ... + 7^-8) = 20 576 127
Ce qui donne N = 123456783.
Le premier entier divisible par 9 après N est 123456789.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #4 - 14-10-2015 22:30:43

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

Nombre trahi par sa facotrielle

Soit N ce nombre et PE la partie entière. Dans la factorielle de N, le chiffre 7 va apparaitre:
- PE(N/7) fois avec un exposant supérieur ou égal à 1,
- dont PE(N/7^2) fois avec un exposant supérieur ou égal à 2,
- dont PE(N/7^3) fois avec un exposant supérieur ou égal à 3,
- etc ... ,
- dont PE(N/7^k) fois avec un exposant supérieur ou égal à k.
On a donc: PE(N/7) + PE(N/7^2) + PE(N/7^3) + ... + PE(N/7^k) = 20 576 127
Je trouve 7 solutions: 123 456 788 à 123 456 794.

Edit: J'ai oublié la donnée "multiple de 9": c'est donc: 123 456 789

 #5 - 15-10-2015 08:02:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Nombre trahi par sa factoriellle

Fix33, c'est bon bravo.
Francky, il n'y a qu'une solution, relis l'énoncé, il ne te reste qu'à conclure.

Pour vous deux, le mode de calcul est un peu mystérieux. ça ressemble à du tâtonnement. Une méthode plus rationnelle ?

 #6 - 15-10-2015 08:26:17

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

nombre trahi par sa fzctorielle

Bonjour,
123456789

Ajouté : Méthode utilisée

La factorielle de 7^k contient 1 + 7^1 + ... + 7^(k-1) facteurs 7, soit (7^k-1)/6.
On calcule cette expression pour différentes valeurs de k

Code:

  k  (7^k-1)/6

  1          1
  2          8
  3         57
  4        400
  5       2801
  6      19608
  7     137257
  8     960800
  9    6725601
 10   47079208

On décompose 20576127

Code:

20576127 = 3*6725601 + 2*137257 + 6*19608 + 2*2801 + 3*400 + 6*57 + 2*8 + 2*1

Le premier nombre qui va répondre à la question posée (à la divisibilité par 9 près) sera

Code:

 3*7^9 + 2*7^7 + 6*7^6 + 2*7^5 + 3*7^4 + 6*7^3 + 2*7^2 + 2*7^1 = 123456788
L'écriture en base 7 de ce nombre est d'ailleurs 3026236220

Il suffit d'ajouter 1 pour qu'il soit divisible par 9.

 #7 - 15-10-2015 10:09:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Nombre trahi pr sa factorielle

Enigmatus, c'est parfait !

 #8 - 15-10-2015 12:09:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Nombre tahi par sa factorielle

C'est donc OK, Francky, bravo !

 #9 - 15-10-2015 17:11:03

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

Nombre trahi par sa factoriell

En faisant sauter les parties entières, on a:
S = N/7 + N/7^2 + N/7^3 + ... + N/7^k = (N/6).(1 - 1/7^(k+1))
S tend vers N/6 quand k tend vers l'infini.
Il suffit donc de multiplier 20 576 127 par 6 et de rajouter quelques unités pour tenir compte des parties entières enlevées.
20 576 127 x 6 + 27 = 123 456 789

 #10 - 15-10-2015 19:34:32

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

nombre trahi pzr sa factorielle

Francky, c'est original, mais ce 27, comment l'obtiens tu réellement ?
J'aime bien ta méthode, mais il faudrait la développer un peu pour la valider.

 #11 - 17-10-2015 20:00:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

nombre trahi par sa factoriellz

Bravo à tous les participants, qui avez trouvé la solution. J'ai apprecié plus particulièrement la méthode d'Enigmatus, qui était aussi la mienne, qui permet d'obtenir le résultat de façon rationnelle et directe.

On peut juste ajouter un peu de théorie.

Soit Fb(A), la fonction qui compte le nombre de facteurs b dans A! b n'est pas forcément premier.
On prouve facilement que:
Fb(b^n+b^m)=Fb(b^n)+Fb(b^m)
Fb(b^n)=b^(n-1)+b^(n-2)+...b+1=(b^n-1)/(b-1)
Fb(k.b^n)=k Fb(b^n) si k<b.

Partant de ces règles simples, si A est écrit en base b et multiple de b, on a:
A=a1*b^n+a2*b^(n-1)+....
Fb(A)=a1*(b^n-1)/(b-1)+a2*(b^(n-1)-1)/(b-1)+....
Fb(A)=(A-(a1+a2+...))/(b-1)
et donc
A=(b-1)*Fb(A)+(a1+a2+..)

D'où le théorême:
Un nombre multiple de b et écrit en base b est égal à (b-1) fois le nombre de facteurs b dans sa factorielle, augmenté de la somme de ses chiffres.

Pour un nombre écrit en base 2:
F2(A)=A-(1+1+...)
Le nombre de facteurs 2 dans la factorielle d'un nombre écrit en binaire est égal à ce nombre diminué du nombre de 1 de son écriture.

 

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