Enigme Nombre trahi par sa factorielle @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonsoir à tous,
Une pas trop dure pour ce soir:
Ce multiple de 9 comporte 20 576 127 puissances de 7 dans sa factorielle.
Quel est ce nombre ?

portugal · #2

123456789

On compte d'abord le nombre de fois où 7 est représenté 2,3,..8 fois

Puis on retranche ce nombre de 7 en trop

On a plus qu'à multiplier par 7 et ajouter le complément (entre 1 et 6) pour que la somme des chiffres soit multiple de 9...

fix33 · #3

Je dirais bien 123456789!
Je ne suis pas sûr que mon calcul soit exact mais bon :
N*(7^-1 + 7^-2 + 7^-3 + ... + 7^-8) = 20 576 127
Ce qui donne N = 123456783.
Le premier entier divisible par 9 après N est 123456789.

Franky1103 · #4

Soit N ce nombre et PE la partie entière. Dans la factorielle de N, le chiffre 7 va apparaitre:
- PE(N/7) fois avec un exposant supérieur ou égal à 1,
- dont PE(N/7^2) fois avec un exposant supérieur ou égal à 2,
- dont PE(N/7^3) fois avec un exposant supérieur ou égal à 3,
- etc ... ,
- dont PE(N/7^k) fois avec un exposant supérieur ou égal à k.
On a donc: PE(N/7) + PE(N/7^2) + PE(N/7^3) + ... + PE(N/7^k) = 20 576 127
~~Je trouve 7 solutions: 123 456 788 à 123 456 794.~~

Edit: J'ai oublié la donnée "multiple de 9": c'est donc: 123 456 789

nodgim · #5

Fix33, c'est bon bravo.
Francky, il n'y a qu'une solution, relis l'énoncé, il ne te reste qu'à conclure.

Pour vous deux, le mode de calcul est un peu mystérieux. ça ressemble à du tâtonnement. Une méthode plus rationnelle ?

enigmatus · #6

Bonjour,
123456789

Ajouté : Méthode utilisée

La factorielle de 7^k contient 1 + 7^1 + ... + 7^(k-1) facteurs 7, soit (7^k-1)/6.
On calcule cette expression pour différentes valeurs de k

Code:

  k  (7^k-1)/6

  1          1
  2          8
  3         57
  4        400
  5       2801
  6      19608
  7     137257
  8     960800
  9    6725601
 10   47079208

On décompose 20576127

Code:

20576127 = 3*6725601 + 2*137257 + 6*19608 + 2*2801 + 3*400 + 6*57 + 2*8 + 2*1

Le premier nombre qui va répondre à la question posée (à la divisibilité par 9 près) sera

Code:

 3*7^9 + 2*7^7 + 6*7^6 + 2*7^5 + 3*7^4 + 6*7^3 + 2*7^2 + 2*7^1 = 123456788
L'écriture en base 7 de ce nombre est d'ailleurs 3026236220

Il suffit d'ajouter 1 pour qu'il soit divisible par 9.

nodgim · #7

Enigmatus, c'est parfait !

nodgim · #8

C'est donc OK, Francky, bravo !

Franky1103 · #9

En faisant sauter les parties entières, on a:
S = N/7 + N/7^2 + N/7^3 + ... + N/7^k = (N/6).(1 - 1/7^(k+1))
S tend vers N/6 quand k tend vers l'infini.
Il suffit donc de multiplier 20 576 127 par 6 et de rajouter quelques unités pour tenir compte des parties entières enlevées.
20 576 127 x 6 + 27 = 123 456 789

nodgim · #10

Francky, c'est original, mais ce 27, comment l'obtiens tu réellement ?
J'aime bien ta méthode, mais il faudrait la développer un peu pour la valider.

nodgim · #11

Bravo à tous les participants, qui avez trouvé la solution. J'ai apprecié plus particulièrement la méthode d'Enigmatus, qui était aussi la mienne, qui permet d'obtenir le résultat de façon rationnelle et directe.

On peut juste ajouter un peu de théorie.

Soit Fb(A), la fonction qui compte le nombre de facteurs b dans A! b n'est pas forcément premier.
On prouve facilement que:
Fb(b^n+b^m)=Fb(b^n)+Fb(b^m)
Fb(b^n)=b^(n-1)+b^(n-2)+...b+1=(b^n-1)/(b-1)
Fb(k.b^n)=k Fb(b^n) si k<b.

Partant de ces règles simples, si A est écrit en base b et multiple de b, on a:
A=a1*b^n+a2*b^(n-1)+....
Fb(A)=a1*(b^n-1)/(b-1)+a2*(b^(n-1)-1)/(b-1)+....
Fb(A)=(A-(a1+a2+...))/(b-1)
et donc
A=(b-1)*Fb(A)+(a1+a2+..)

D'où le théorême:
Un nombre multiple de b et écrit en base b est égal à (b-1) fois le nombre de facteurs b dans sa factorielle, augmenté de la somme de ses chiffres.

Pour un nombre écrit en base 2:
F2(A)=A-(1+1+...)
Le nombre de facteurs 2 dans la factorielle d'un nombre écrit en binaire est égal à ce nombre diminué du nombre de 1 de son écriture.

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#1 - 14-10-2015 18:12:07

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#2 - 14-10-2015 19:55:04

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#3 - 14-10-2015 21:26:29

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