Je dirais bien 123456789!
Je ne suis pas sûr que mon calcul soit exact mais bon :
N*(7^-1 + 7^-2 + 7^-3 + ... + 7^-8) = 20 576 127
Ce qui donne N = 123456783.
Le premier entier divisible par 9 après N est 123456789.

Fix33, c'est bon bravo.
Francky, il n'y a qu'une solution, relis l'énoncé, il ne te reste qu'à conclure.

Pour vous deux, le mode de calcul est un peu mystérieux. ça ressemble à du tâtonnement. Une méthode plus rationnelle ?

Enigmatus, c'est parfait !

En faisant sauter les parties entières, on a:
S = N/7 + N/7^2 + N/7^3 + ... + N/7^k = (N/6).(1 - 1/7^(k+1))
S tend vers N/6 quand k tend vers l'infini.
Il suffit donc de multiplier 20 576 127 par 6 et de rajouter quelques unités pour tenir compte des parties entières enlevées.
20 576 127 x 6 + 27 = 123 456 789

Bravo à tous les participants, qui avez trouvé la solution. J'ai apprecié plus particulièrement la méthode d'Enigmatus, qui était aussi la mienne, qui permet d'obtenir le résultat de façon rationnelle et directe.

On peut juste ajouter un peu de théorie.

Soit Fb(A), la fonction qui compte le nombre de facteurs b dans A! b n'est pas forcément premier.
On prouve facilement que:
Fb(b^n+b^m)=Fb(b^n)+Fb(b^m)
Fb(b^n)=b^(n-1)+b^(n-2)+...b+1=(b^n-1)/(b-1)
Fb(k.b^n)=k Fb(b^n) si k<b.

Partant de ces règles simples, si A est écrit en base b et multiple de b, on a:
A=a1*b^n+a2*b^(n-1)+....
Fb(A)=a1*(b^n-1)/(b-1)+a2*(b^(n-1)-1)/(b-1)+....
Fb(A)=(A-(a1+a2+...))/(b-1)
et donc
A=(b-1)*Fb(A)+(a1+a2+..)

D'où le théorême:
Un nombre multiple de b et écrit en base b est égal à (b-1) fois le nombre de facteurs b dans sa factorielle, augmenté de la somme de ses chiffres.

Pour un nombre écrit en base 2:
F2(A)=A-(1+1+...)
Le nombre de facteurs 2 dans la factorielle d'un nombre écrit en binaire est égal à ce nombre diminué du nombre de 1 de son écriture.