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#1 - 29-08-2015 12:48:27
- Promath-
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le parallélépipèfe
Une dernière énigme! ![smile](img/smilies/smile.png)
Mathias dispose d'un certain nombre de cubes 1*1*1. Il les colle ensemble pour faire un pavé droit plein. Puis il découpe ce pavé en suivant un plan passant par 2 arêtes opposées du pavé. Durant cette manipulation, il a coupé 50 petits cubes (ils ont été divisés en 2)
Quel était le volume du pavé?
Il existe plusieurs solutions, à vous d'en trouver le plus possible ![smile](img/smilies/smile.png)
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#2 - 29-08-2015 16:01:51
- enigmatus
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Le parallélépiipède
Bonjour,
La section passe par une diagonale de la face supérieure. J'obtiens les volumes suivants : 50, 100, 250, 500, 1250, 2500
#3 - 29-08-2015 16:20:41
- Vasimolo
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Le paraallélépipède
Si je ne me suis pas trompé , il faut trouver trois entiers A , B et C tels que :
A[B+C-PGCD(B,C)]=50 .
Il doit y avoir un bon paquet de solutions ![tongue](img/smilies/tongue.png)
Vasimolo
#4 - 29-08-2015 16:30:38
- shadock
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le paralkélépipède
Je trouve six solutions possibles. Partant du fait que 50=2*5² la diagonale entre deux arrêtes comportera soit 2*25 cubes, soit 10*5 cubes, soit enfin 50*1 cubes.
Les six parallélépipèdes auront donc les volume suivants:
2*2*25=100 , 2*25*25=1250, 5*5*10=250, 5*10*10=500, 1*1*50=50, 1*50*50=2500 tous en unité de cubes ![smile](img/smilies/smile.png)
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#5 - 29-08-2015 16:33:25
- Promath-
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Le paraallélépipède
Enigmatus: c'est juste! As tu un raisonnement "à la main"?
Vasimolo: Un bon paquet, je ne sais pas, mais il y en a un certain nombre! Sauf qu'on cherche le volume, pas les côtés, et plusieurs dimensions amènent un même volume!
shadock: Exact, quelle élégance! ![smile](img/smilies/smile.png)
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#6 - 29-08-2015 17:20:46
- enigmatus
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Le pparallélépipède
As tu un raisonnement "à la main"?
La hauteur ne peut pas être qu'un diviseur de 50. La longueur ne peut être supérieure à 50/hauteur. Si la largeur est un sous-multiple de la longueur, c'est bon.
Je n'ai pas démontré qu'une longueur inférieure à la valeur ci-dessus, et une largeur non sous-multiple de la longueur, ne peut peut pas amener au résultat.
#7 - 29-08-2015 20:12:21
- Promath-
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le parallélépipèdr
D'accord enigmatus ![smile](img/smilies/smile.png)
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#8 - 30-08-2015 03:03:34
- kossi_tg
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Le paralléllépipède
il y a 50 volumes possibles qui sont 50*k où k varie de 1 à 50.
#9 - 30-08-2015 07:34:01
- Promath-
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Le paralélépipède
Donne moi un petit exemple de dimensions pour k=3
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#10 - 30-08-2015 11:30:32
- nodgim
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Le paraallélépipède
J'ai trouvé 39 volumes possibles: 50 90 98 100 120 138 140 150 188 210 230 250 266 276 300 306 308 330 344 410 420 440 450 494 500 518 532 560 600 608 612 620 638 644 650 660 700 750 1250
#11 - 30-08-2015 14:20:11
- Promath-
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Le parlalélépipède
Je suis extrêmement sceptique, nodgim. Explique moi comment tu fais pour les obtenir
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#12 - 30-08-2015 14:57:27
- gwen27
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Le paralléélépipède
Juste comme ça... Ca existe un parallépipède ? ![lol](img/smilies/lol.png)
#13 - 30-08-2015 17:36:20
- Promath-
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le parallélépioède
Effectivement je ne savais pas qu'on disait parallélépipède merci gwen, tu peux faire le problème maintenant cette erreur corrigée ![wink](img/smilies/wink.png)
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#14 - 30-08-2015 17:58:11
- gwen27
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Le prallélépipède
Bah non, trop long à chercher pour moi, surtout en une heure, d'autant que je n'ai pas compris l'énoncé.
#15 - 30-08-2015 18:53:04
- Promath-
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Le parllélépipède
Je m'excuse d'avoir mal formulé, les énoncés c'est pas mon truc. En gros il fallait trouver le volume à partir du nombre de cubes que coupait un plan passant par 4 sommets du pavé
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#16 - 30-08-2015 18:53:06
- nodgim
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le parallélépupède
J'ai pu faire des erreurs ou omissions, bien entendu....
D'abord, si n et m sont les 2 cotés d'un rectangle, s'ils sont premiers entre eux, la diagonale coupera m+n-1 carrés 1*1. A partir de là, on définit toutes les possibilités à partir d'une épaisseur.
Pour une épaisseur 50: (1,1)
Pour une épaisseur 25: (2,1) et (2,2)
Pour une épaisseur 10: (5,5) et ceux qui ont une somme 6: (2,3)(1,5), en éliminant les couples non premiers entre eux.
Pour une épaisseur 5: Il y a tous ceux qui ont une somme 11 (1,10)(2,9).... Il y a tous ceux qui ont 2 fois une somme 6, en éliminant les couples non premiers entre eux. il y a tous ceux qui ont 5 fois une somme 3. et il y a (10,10)
Pour une épaisseur 2: Il y a tous qui ont une somme 26, en éliminant les couples non premiers entre eux. il y a tous ceux qui ont 5 fois une somme 6, en éliminant les couples non premiers entre eux. et il y a (25,25)
Pour une épaisseur 1: Il y a tous ceux qui ont une somme 51, en éliminant les couples non premiers entre eux. il y a tous ceux qui ont 2 fois une somme 26, en éliminant les couples non premiers entre eux. il y a tous ceux qui ont 5 fois une somme 11. il y a tous ceux qui ont 10 fois une somme 6, en éliminant les couples non premiers entre eux. il y a tous ceux qui ont 25 fois une somme 3. il y a aussi (50,50)
Après reste à éliminer les redondances.
#17 - 30-08-2015 18:54:35
- Vasimolo
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#18 - 30-08-2015 19:18:30
- Vasimolo
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L eparallélépipède
Promath- a écrit:Je m'excuse d'avoir mal formulé, les énoncés c'est pas mon truc. En gros il fallait trouver le volume à partir du nombre de cubes que coupait un plan passant par 4 sommets du pavé
D'accord , c'est bien ce que j'avais compris , alors je ne suis pas d'accord avec la solution "officielle" ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#19 - 30-08-2015 19:25:42
- shadock
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Le paralllélépipède
gwen27 a écrit:Bah non, trop long à chercher pour moi, surtout en une heure, d'autant que je n'ai pas compris l'énoncé.
J'ai mis environ 5 minutes ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
Et sinon Vasimolo tu nous expliques ce qui ne va pas dans la solution "officielle" ?
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#20 - 30-08-2015 19:51:32
- Promath-
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Le paarallélépipède
J'avais trouvé exactement 6 solutions, là jai pas le temps, j'essaie de repasser dans la soirée ![smile](img/smilies/smile.png)
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#21 - 30-08-2015 19:52:46
- gwen27
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Le paarllélépipède
Bah tu aurais du prendre plus de 5 mn... ![tongue](img/smilies/tongue.png)
3 * 8 * 5 ça marche.
Sauf si c'est EXACTEMENT coupé en 2 . Auquel cas, la diagonale de coupe est carrée et fait donc 1*1 2*2 5*5 10*10 25*25 ou 50*50
#22 - 30-08-2015 21:10:52
- shadock
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Le paralléélpipède
En coupant selon deux arrêtes opposées sachant qu'il faut 50 cubes dans le plan passant par ces deux arrêtes je vois pas comment tu obtiens 3*5*8... ni les autres d'ailleurs.
Un dessin?
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#23 - 30-08-2015 21:21:28
- Promath-
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Le parallléépipède
Re
Voici la solution que j'avais rédigée en créant le problème
Dimensions: m,n,p Cubes coupés: k On ne prend pas en compte p qui multiplie simplement la coupe par le facteur p
Quand on trace la diagonale du rectangle m*n: soit d=pgcd(m,n) on a pgcd(m/d;n/d)=1 on peut alors écrire k=p*d*k' où k' est le nombre de carrés traversés par la diagonale tracée dans un rectangle m*n soit n'=n/d La diagonale de ce petit rectangle ne passe que par deux coins de carré: elle traverse la longueur donc m'=m/d cubes mais coupe de temps en temps les lignes horizontales: elle effectue donc n'-1 "sauts". Cette diagonale coupe donc n'+m-1 carrés
donc k=p*d*(m'+n'-1) k=p(m+n-d) 50=p(m+n-d) donc m+n-d divise 50, donc d divise 50
Il n'y a plus qu'à égrainer les cas avec d variant, ce qui va trèèès vite, pour obtenir les 6 solutions
Un promath- actif dans un forum actif
#24 - 30-08-2015 21:35:21
- gwen27
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Le paralllélépipède
shadock a écrit:En coupant selon deux arrêtes opposées sachant qu'il faut 50 cubes dans le plan passant par ces deux arrêtes je vois pas comment tu obtiens 3*5*8... ni les autres d'ailleurs.
Un dessin?
Si tu ne vois pas les autres, je me pose des questions vu que ce sont tes solutions.
Un carré de 1*1 coupé en diagonale et de 50 de long... etc
Si le "exactement coupé en deux" est remis en question , Bah coupe un rectangle de 3 x 8 selon sa diagonale et tu couperas dix carrés.
#25 - 30-08-2015 21:42:43
- Vasimolo
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eL parallélépipède
C'est un peu ce que je disais dans mon premier message , mais je n'avais apparemment rien compris : il y a un grand nombre de solutions . Je laisse la suite du travail aux informaticiens .
Vasimolo
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