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 #1 - 29-08-2015 12:48:27

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Au fond de l'univers

le parallélépopède

Une dernière énigme! smile

Mathias dispose d'un certain nombre de cubes 1*1*1. Il les colle ensemble pour faire un pavé droit plein. Puis il découpe ce pavé en suivant un plan passant par 2 arêtes opposées du pavé. Durant cette manipulation, il a coupé 50 petits cubes (ils ont été divisés en 2)

Quel était le volume du pavé?

Il existe plusieurs solutions, à vous d'en trouver le plus possible smile



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 #2 - 29-08-2015 16:01:51

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Le paralléléépipède

Bonjour,

La section passe par une diagonale de la face supérieure. J'obtiens les volumes suivants : 50, 100, 250, 500, 1250, 2500

Code:

Largeur      Longueur     Hauteur      Volume

   1            1           50           50

   1            2           25           50
   2            2           25          100

   1            5           10           50
   5            5           10          250

   1           10            5           50
   2           10            5          100
   5           10            5          250
  10           10            5          500

   1           25            2           50
   5           25            2          250
  25           25            2         1250

   1           50            1           50
   2           50            1          100
   5           50            1          250
  10           50            1          500
  25           50            1         1250
  50           50            1         2500

 #3 - 29-08-2015 16:20:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

L eparallélépipède

Si je ne me suis pas trompé , il faut trouver trois entiers A , B et C tels que :

A[B+C-PGCD(B,C)]=50 .

Il doit y avoir un bon paquet de solutions tongue

Vasimolo

 #4 - 29-08-2015 16:30:38

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Le parallélépipde

Je trouve six solutions possibles. Partant du fait que 50=2*5² la diagonale entre deux arrêtes comportera soit 2*25 cubes, soit 10*5 cubes, soit enfin 50*1 cubes.

Les six parallélépipèdes auront donc les volume suivants:

2*2*25=100 , 2*25*25=1250, 5*5*10=250, 5*10*10=500, 1*1*50=50, 1*50*50=2500 tous en unité de cubes smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 29-08-2015 16:33:25

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

le paralmélépipède

Enigmatus: c'est juste! smile As tu un raisonnement "à la main"?

Vasimolo: Un bon paquet, je ne sais pas, mais il y en a un certain nombre! Sauf qu'on cherche le volume, pas les côtés, et plusieurs dimensions amènent un même volume!

shadock: Exact, quelle élégance! smile


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 #6 - 29-08-2015 17:20:46

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Le paralléélépipède

As tu un raisonnement "à la main"?

La hauteur ne peut pas être qu'un diviseur de 50.
La longueur ne peut être supérieure à 50/hauteur.
Si la largeur est un sous-multiple de la longueur, c'est bon.

Je n'ai pas démontré qu'une longueur inférieure à la valeur ci-dessus, et une largeur non sous-multiple de la longueur, ne peut peut pas amener au résultat.

 #7 - 29-08-2015 20:12:21

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

Le aprallélépipède

D'accord enigmatus smile


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 #8 - 30-08-2015 03:03:34

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

le parallélépipèse

il y a 50 volumes possibles qui sont 50*k où k varie de 1 à 50.

 #9 - 30-08-2015 07:34:01

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

le parallélépioède

Donne moi un petit exemple de dimensions pour k=3


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 #10 - 30-08-2015 11:30:32

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

LLe parallélépipède

J'ai trouvé 39 volumes possibles:
50
90
98
100
120
138
140
150
188
210
230
250
266
276
300
306
308
330
344
410
420
440
450
494
500
518
532
560
600
608
612
620
638
644
650
660
700
750
1250

 #11 - 30-08-2015 14:20:11

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

le oarallélépipède

Je suis extrêmement sceptique, nodgim. Explique moi comment tu fais pour les obtenir


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 #12 - 30-08-2015 14:57:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
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le paralléléoipède

Juste comme ça... Ca existe un parallépipède ? lol

 #13 - 30-08-2015 17:36:20

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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eL parallélépipède

Effectivement je ne savais pas qu'on disait parallélépipède lol merci gwen, tu peux faire le problème maintenant cette erreur corrigée wink


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 #14 - 30-08-2015 17:58:11

gwen27
Elite de Prise2Tete
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le parallémépipède

Bah non, trop long à chercher pour moi, surtout en une heure, d'autant que je n'ai pas compris l'énoncé.

 #15 - 30-08-2015 18:53:04

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

le parallémépipède

Je m'excuse d'avoir mal formulé, les énoncés c'est pas mon truc. En gros il fallait trouver le volume à partir du nombre de cubes que coupait un plan passant par 4 sommets du pavé


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 #16 - 30-08-2015 18:53:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Le parallélpéipède

J'ai pu faire des erreurs ou omissions, bien entendu....

D'abord, si n et m sont les 2 cotés d'un rectangle, s'ils sont premiers entre eux, la diagonale coupera m+n-1 carrés 1*1.
A partir de là, on définit toutes les possibilités à partir d'une épaisseur.

Pour une épaisseur 50: (1,1)

Pour une épaisseur 25: (2,1) et (2,2)

Pour une épaisseur 10:
(5,5) et ceux qui ont une somme 6: (2,3)(1,5), en éliminant les couples non premiers entre eux.

Pour une épaisseur 5:
Il y a tous ceux qui ont une somme 11 (1,10)(2,9)....
Il y a tous ceux qui ont 2 fois une somme 6, en éliminant les couples non premiers entre eux.
il y a tous ceux qui ont 5 fois une somme 3.
et il y a (10,10)

Pour une épaisseur 2:
Il y a tous qui ont une somme 26, en éliminant les couples non premiers entre eux.
il y a tous ceux qui ont 5 fois une somme 6, en éliminant les couples non premiers entre eux.
et il y a (25,25)

Pour une épaisseur 1:
Il y a tous ceux qui ont une somme 51, en éliminant les couples non premiers entre eux.
il y a tous ceux qui ont 2 fois une somme 26, en éliminant les couples non premiers entre eux.
il y a tous ceux qui ont 5 fois une somme 11.
il y a tous ceux qui ont 10 fois une somme 6, en éliminant les couples non premiers entre eux.
il y a tous ceux qui ont 25 fois une somme 3.
il y a aussi (50,50)

Après reste à éliminer les redondances.

 #17 - 30-08-2015 18:54:35

Vasimolo
Le pâtissier
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Le paarllélépipède

On peut m'expliquer le problème , je crois que je n'ai rien compris lollollol

Vasimolo

 #18 - 30-08-2015 19:18:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le paralélépipède

Promath- a écrit:

Je m'excuse d'avoir mal formulé, les énoncés c'est pas mon truc. En gros il fallait trouver le volume à partir du nombre de cubes que coupait un plan passant par 4 sommets du pavé

D'accord , c'est bien ce que j'avais compris , alors je ne suis pas d'accord avec la solution "officielle" smile

Vasimolo

 #19 - 30-08-2015 19:25:42

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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le paralmélépipède

gwen27 a écrit:

Bah non, trop long à chercher pour moi, surtout en une heure, d'autant que je n'ai pas compris l'énoncé.

J'ai mis environ 5 minutes big_smile

Et sinon Vasimolo tu nous expliques ce qui ne va pas dans la solution "officielle" ?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 30-08-2015 19:51:32

Promath-
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le paralkélépipède

J'avais trouvé exactement 6 solutions, là jai pas le temps, j'essaie de repasser dans la soirée smile


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 #21 - 30-08-2015 19:52:46

gwen27
Elite de Prise2Tete
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lz parallélépipède

Bah tu aurais du prendre plus de 5 mn... tongue

3 * 8 * 5 ça marche.

Sauf si c'est EXACTEMENT coupé en 2 . Auquel cas, la diagonale de coupe est carrée et fait donc 1*1 2*2 5*5 10*10 25*25 ou 50*50

 #22 - 30-08-2015 21:10:52

shadock
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Le parallélépipdèe

En coupant selon deux arrêtes opposées sachant qu'il faut 50 cubes dans le plan passant par ces deux arrêtes je vois pas comment tu obtiens 3*5*8... ni les autres d'ailleurs.

Un dessin?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #23 - 30-08-2015 21:21:28

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Le parallélépiède

Re

Voici la solution que j'avais rédigée en créant le problème

Dimensions: m,n,p  Cubes coupés: k
On ne prend pas en compte p qui multiplie simplement la coupe par le facteur p


Quand on trace la diagonale du rectangle m*n:
soit d=pgcd(m,n)
on a pgcd(m/d;n/d)=1
on peut alors écrire k=p*d*k' où k' est le nombre de carrés traversés par la diagonale tracée dans un rectangle m*n
soit n'=n/d
La diagonale de ce petit rectangle ne passe que par deux coins de carré: elle traverse la longueur donc m'=m/d cubes mais coupe de temps en temps les lignes horizontales: elle effectue donc n'-1 "sauts". Cette diagonale coupe donc n'+m-1 carrés

donc k=p*d*(m'+n'-1)
k=p(m+n-d)
50=p(m+n-d)
donc m+n-d divise 50, donc d divise 50

Il n'y a plus qu'à égrainer les cas avec d variant, ce qui va trèèès vite, pour obtenir les 6 solutions


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 #24 - 30-08-2015 21:35:21

gwen27
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Le parallélépiipède

shadock a écrit:

En coupant selon deux arrêtes opposées sachant qu'il faut 50 cubes dans le plan passant par ces deux arrêtes je vois pas comment tu obtiens 3*5*8... ni les autres d'ailleurs.

Un dessin?

Si tu ne vois pas les autres, je me pose des questions vu que ce sont tes solutions.

Un carré de 1*1 coupé en diagonale et de 50 de long... etc

Si le "exactement coupé en deux" est remis en question , Bah coupe un rectangle de 3 x 8 selon sa diagonale et tu couperas dix carrés.

 #25 - 30-08-2015 21:42:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Le parallélépipèdde

C'est un peu ce que je disais dans mon premier message , mais je n'avais apparemment rien compris : il y a un grand nombre de solutions . Je laisse la suite du travail aux informaticiens .

Vasimolo

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