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 #1 - 07-03-2015 19:06:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâetau 95

Bonjour à tous smile

Après l'aiguille de Buffon , le gâteau du bouffon lollollol

Sans doute parce qu'ils sont souvent un peu chauds , il a pris l'habitude de balancer ses gâteaux sur la paillasse sans se poser de question .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateaudebuffon.png

Ça ne l'empêche pas de m'en poser et par ricochet ...

Ses gâteaux sont des triangles équilatéraux et le maillage de la paillasse vaut trois fois le côté du gâteau .

Il semblerait qu'il y ait à peu près une chance sur deux pour que le gâteau balancé ne chevauche aucun joint ...

Ca se discute smile

Bon courage .

Vasimolo

PS : La paillasse est supposée illimitée .



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 #2 - 07-03-2015 22:15:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gââteau 95

Si c'est pour dire à peu près 1/2 je suis d'accord. Maintenant, si c'est pour trouver la valeur exacte, il y a un calcul d'intégrale pas piqué des vers à sortir, et c'est pas pour moi...

 #3 - 08-03-2015 00:03:22

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Gâteeau 95

Par calculs relativement simples en prenant des rapport de surface, je trouve que le pourcentage où aucun joint n'est chevauché est :

minoré par: 31/27-4*racine(3)/9 = 0.378347789228647 et

majoré par : 28/27-2*racine(3)/9 = 0.652136857577287.

A partir d'un milliard de lancées aléatoires de gâteaux, mon petit code me donne les résultats suivants:

Cas où ça coupe un joint : 0.474116261
Cas où ça ne coupe aucun joint : 0.525883739

Reste à retrouver ces résultats par calcul d'ici la fin du temps imparti hmm

 #4 - 08-03-2015 10:26:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âGteau 95

@Nodgim : le calcul est un peu long mais surtout méticuleux , la seule intégrale à calculer est :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Arccos.png

Le résultat s'obtient facilement avec un changement de variable et une intégration par partie .

@Kossi : j'ai une différence de 1 millième par rapport à ton résultat . J'ajouterai du temps au besoin smile

Bon courage , c'est un peu laborieux mais le résultat exact est simple ( si je ne me suis pas trompé ) .

Vasimolo

 #5 - 08-03-2015 10:53:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteau 5

Merci Vasimolo, mais je n'ai jamais fait ce genre de choses. Bon, je regarderai la solution avec plaisir.
@+

 #6 - 10-03-2015 10:44:57

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Luxembourg

âGteau 95

Quand le barycentre du triangle équilatéral est éloigné de plus de (2/3).h = V3/3.c [respectivement de moins de (1/3).h = V3/6.c], alors il y a une probabilité de 100% [respectivement de 0%] que le gâteau ne chevauche aucun joint. Entre ces deux valeurs, je cherche toujours la fonction correspondante. Affaire à suivre ...

Edit: En approximant linéairement la zone intermédiaire, j’obtiens la valeur fausse de:
{(3-2.V3/3)².1 + [(3-V3/3)²-(3-2.V3/3)²].0,5 + [(3-V3/3)²-(3-2.V3/3)²].0} / 9
= [(31/3-4V3) + (V3-1/2)] / 9 = 59/54 - V3/3 = 0,5152 env.

 #7 - 10-03-2015 19:54:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâyeau 95

Je m'étais posé ce problème lorsque j'étais en terminale ( j'ai trouvé une solution l'année suivante ) quand j'ai découvert l'aiguille de Buffon .

L'approche de Franky était aussi la mienne ( à l'époque je n'avais pas de calculatrice et bien sûr pas d'ordinateur ) .

Vasimolo

 #8 - 11-03-2015 19:29:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea u95

Je donne un petit indice visuel pour ceux que le calcul intéresse :

Voici un quart de maille de la paillasse :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-95solution1.png

J'ai choisi un triangle de côté 2 pour une maille de 6 , r est le rayon du cercle inscrit dans le triangle .

Vasimolo

 #9 - 12-03-2015 17:31:49

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Gâtea u95

Le problème c'est ce sale petit carré numéroté "5". Une jolie courbe en forme de slip le partage en 5 zones, dont deux symétriques. Mais impossible de me dépatouiller de ces 5 intégrales ; je m'en sors pour deux d'entre elles, mais c'est tout.

Je suis également curieux de voir la solution, je dois avoir raté une astuce d'intégration.

 #10 - 12-03-2015 17:58:37

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteua 95

C'est en effet les zones 3 , 4 et 5 qui sont les plus délicates ( attention j'ai changé la numérotation du petit carré ) .

Les zones 1 et 2 ne posent aucun problème smile

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-95solution2.png

Vasimolo

 #11 - 12-03-2015 19:13:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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hâteau 95

Les zones 3 et 4 ne sont-elles pas les mêmes ? Je pensais qu'il y aurait une symétrie par rapport à la diagonale.

 #12 - 12-03-2015 21:51:13

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtteau 95

Oui, les zones sont symétriques par rapport à la diagonale . J'ai choisi deux noms différents car a intervient dans les zones 4 et 5 et b dans 3 et 5 .

Vasimolo

 #13 - 14-03-2015 19:55:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâyeau 95

J'ai repris mes calculs qui dataient de Mathusalem et il y a une erreur dans la zone 5 que je voyais découpée en quatre parties bordées par quatre segments et un douzième de cercle . Deux des segments sont en fait des quarts d'ellipses le calcul est donc "un peu" plus compliqué ( et explique sans-doute le millième d'écart avec Kossi ) . D'autre part je ballotte un peu dans le slip d'Echibu (  il me manque la partie basse ) , j'ai sans doute encore raté quelque chose smile

Une illustration ?

Pour résumer : le problème est ouvert smile

Vasimolo

 #14 - 14-03-2015 20:27:01

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

Gâteu 95

Ok, vasimolo
Faut que je m'y remette hmm

 #15 - 15-03-2015 12:37:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtrau 95

J'ai bricolé une petite illustration pour les quatre parties de la zone 5 :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-95solution3.png

Si on exprime en degrés les angles a et b du message #10 alors la probabilité pour que le triangle traverse les joints vaut selon la position de son centre :

zone rouge : 1

zone bleue supérieure : b/60 .

zone bleue inférieure : a/60 .

zone jaune : 1/4+(a+b)/120 .

S'il n'y a pas d'erreur il ne reste plus que quelques intégrales doubles à calculer .

C'est marrant , on se croirait dans la guerre des mondes avec un tripode qui bousille les lignes lollollol

A suivre ...

Vasimolo

 #16 - 15-03-2015 15:35:55

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

gâyeau 95

Si on donnait de la hauteur aux points en fonction du pourcentage d'échappement du triangle en rotation, ça doit donner une drôle de forme dans les angles: pas d'arêtes d'angle, que de l'arrondi.

 #17 - 15-03-2015 17:41:31

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

gâtezu 95

@Vasimolo

Ton dernier message m'a fait prendre conscience d'une erreur de ma part qui compliquait mes intégrales. Je vais donc retourner à mes calculs des fois que maintenant, ce soit possible.

Par contre, à voir ton dessin, j'ai l'impression qu'il y a aussi une erreur dans ton raisonnement. D'abord, je ne suis pas sûr de la forme des parties bleues, mais surtout, je pense qu'il manque une toute petite 5e zone, en haut à droite, où la proba serait plutôt (a+b)/60. Concrètement, c'est la zone où placer le centre du triangle pour qu'il ne soit jamais possible de couper en même temps les deux lignes, quelle que soit l'orientation du triangle.

C'est peut-être ça qui explique le millième manquant ?

 #18 - 15-03-2015 18:04:52

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Gâetau 95

Quand la distance du barycentre du triangle équilatéral au bord de cette grille est comprise entre (V3/6).c et (V3/3).c, alors le gâteau a une "liberté angulaire" de: pi/3-Arccos(x.V3/c), soit une proportion de: 1-Arccos(x.V3/c)/(pi/3)
J’intègre: 1-Arccos(x.V3/c)/(pi/3), entre (V3/6).c et (V3/3).c,
ce qui revient à intégrer: 1-Arccos(x)/(pi/3), entre 1/2 et 1,
ce qui donne: 1/2-[(pi/3)-V3/2]/(pi/3)=3V3/2.pi-1/2

Au final, j’obtiens une probabilité de:
{(3-2.V3/3)².1+[(3-V3/3)²-(3-2.V3/3)²].[3V3/2.pi-1/2]+[(3-V3/3)²-(3-2.V3/3)²].0}/9
=[(31/3-4V3)+(2V3-1).(3V3/2.pi-1/2)]/9=65/54-5V3/9+1/pi-V3/6.pi=0,467875 env.

 #19 - 15-03-2015 18:28:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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âGteau 95

@Echibu : dans la case 5 , le triangle peut être en contact avec les deux bords .

@Franky : ta formule semble trop simple et ta probabilité est trop forte ou trop faible ( la probabilité de quoi ? ) .

Un petit agrandissement de la case 5 :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-95solution4.png

Les demi-axes des quarts d'ellipses 6 et 7 sont définis par les milieux des segments et les points de contact avec l'arc de cercle rouge .

Il suffirait d'intégrer dans la zone 6 ou 7 pour terminer l'affaire ( je n'ai pas fait ça depuis au moins 20 ans lollollol ) .

Vasimolo

 #20 - 15-03-2015 19:09:42

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Luxembourg

Gâtteau 95

C'est la probabilité que le gâteau balancé ne chevauche aucun joint.
Mon erreur provient surement de la zone d'angle (la n°5).
Je vois à peu près comment corriger ça, mais je reviendrai demain.
Affaire à suivre ...

 #21 - 15-03-2015 19:20:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâtea 95

Il est clair que cette zone 5 pose problème et je ne suis absolument pas convaincu qu'elle ne soit constituée que de 4 parties .

Vasimolo

 #22 - 16-03-2015 14:38:15

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Gâteeau 95

@Vasimolo : la zone 8 pose problème, puisque si on fait tendre un point vers le coin supérieur droit, la probabilité tend vers 1/4 au lieu de 0.

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-case5.png

Voici à quoi ressemble ma case 5. Dans la zone E, il y a la proba (a+b)/60.

Sinon, j'ai enfin terminé mes intégrales. À la fin, je tombe sur une proba de Spoiler : [Afficher le message] 33/(18pi) - racine(3)/36 , mais les calculs sont tellement horribles que je serais surpris que ce soit juste.

 #23 - 16-03-2015 20:32:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âGteau 95

Beau travail Echibu smile

Je suis d'accord avec ton découpage ( je n'avais pas vu que dans la partie E le triangle décollait deux fois des joints dans sa rotation de 120° ) .

La bordure des parts C et D sont des quarts d’ellipse , celle de B est un arc de cercle . Je pense que le bord de E est aussi un arc de cercle mais je n'ai pas encore pris le temps de vérifier .

Le calcul des intégrales dans les parties C et D est sûrement la plus délicate .

A suivre ...

Vasimolo

PS : j'ai du mal à croire en ta formule mais je peux me tromper .

 #24 - 16-03-2015 21:33:51

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 303

gâreau 95

D'après mes calculs, la frontière entre A et B est effectivement un arc de cercle centré sur l'intersection du quadrillage. Quant aux autres frontières (entre A et C, D, E), il s'agit d'une seule et même courbe, un morceau d'ellipse tournée à 45°, et elle aussi centrée sur l'intersection du quadrillage.

Pour vérification, je soumets les contributions de chaque morceau à la probabilité totale :

* zones de type 1 : Spoiler : [Afficher le message] \frac{2\sqrt{3}}{9}-\frac{1}{27}
* zones de type 3 et 4 : Spoiler : [Afficher le message] \frac{2}{\pi}-\frac{2\sqrt{3}}{9}-\frac{4\sqrt{3}}{9\pi}+\frac{4}{27}
* 4 zones B : Spoiler : [Afficher le message] \frac{1}{27}-\frac{\sqrt{3}}{27}+\frac{\pi}{81}
* 4 zones de chaque type C, D, E : Spoiler : [Afficher le message] -\frac{4}{27}+\frac{4\sqrt{3}}{9\pi}-\frac{1}{6\pi}-\frac{\pi}{81}
* 4 zones de type A : Spoiler : [Afficher le message] \frac{\sqrt{3}}{108}

* total : Spoiler : [Afficher le message] \frac{11}{6\pi}-\frac{\sqrt{3}}{36}

 #25 - 16-03-2015 22:14:17

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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gâreau 95

Une grosse boulette dans mon code, un signe moins qui traiait à un endroit où il n'a rien à y faire hmm

J'écrivais ceci:

A partir d'un milliard de lancées aléatoires de gâteaux, mon petit code me donne les résultats suivants:

Cas où ça coupe un joint : 0.474116261
Cas où ça ne coupe aucun joint : 0.525883739

ce résultat est donc erroné. mea maxima culpa sad sad sad

Après une bonne vérification et toujours sur le milliard de lancées aléatoires, je trouve ceci:

Cas où ca coupe : 0.535469636
Cas où ca ne coupe pas : 0.464530364

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