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 #1 - 24-11-2015 16:26:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Nombre uunivers

Bonjour à tous,
Une énigme vraiment pas méchante du tout.

Un nombre univers est une suite infinie de chiffres qui contient n'importe quelle suite de chiffres donnée.
Le nombre univers le plus connu est celui ci:
123456789101112...c'est à dire l'écriture de tous les entiers.

La suite de tous les carrés est elle un nombre univers ?
149162536.....

La suite de tous les nombres premiers ?
La suite de tous les cubes ?



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 #2 - 24-11-2015 18:46:44

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

nombre unicers

Je pense avoir  trouvé pour les carrés et les cubes:

Soit un nombre  entier X quelconque
On note Y(X) =  ent( racine ((X+0.5)*10^k)

On constate que pour k suffisamment grand Y ^2 commence par X car pour k suffisamment grand ce chiffre commencera par X4.

Cela semble pourvoir se justifier rigoureusement facilement

X est donc un nombre univers.

Le raisonnement semble rester valable pour toute autre puissance y compris les cubes

Pour les nombres premiers ça semble plus difficile...non ? Y a il des connaissances requises particulières ?

 #3 - 25-11-2015 07:54:01

nodgim
Elite de Prise2Tete
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nombre unovers

Salut Portugal,
L'idée est là, mais comme tu dis, on doit pouvoir faire quelque chose de plus rigoureux....

 #4 - 25-11-2015 11:55:33

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
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Nombre unviers

Je vais essayer...

Est ce juste de dire que le raisonnement d'applique à carré et cube mais que pour les nombres premiers c'est totalement différent (y compris peut être la conclusion)

 #5 - 25-11-2015 12:47:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Nobmre univers

Oui, Portugal.

 #6 - 25-11-2015 21:04:33

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Nombre univer

Je vais essayer de détailler :

Soit A un nombre quelconque.

Notons B=(A+0.5) * 10^(2n) (qui dépend de n, entier) et C=Ent (racine (B ) )

* D'une part, on a par définition C^2<B

* D'autre part , comme ent(X)>X-1, on a :

     C > racine(B)-1 et donc
     C^2 > 10^(2n)*A *  [(1+0.5/A)*(1 - 1/(racine(B)))^2 ]

Quand n tends vers l'infini, (1 - 1/(racine(B)))^2 tends vers 1

et   (1+0.5/A)*(1 - 1/(racine(B)))^2 tends vers (1+0.5/A)

Il existe donc un rang n à partir duquel C^2> 10^(2n)*A

* Il existe donc pour tout A un nombre entier C (défini par n ainsi déterminé) tel que l'écriture de C^2 commence par A ce qui conclut le cas des suites des carrés et de manière analogues toutes les autres puissances dont les cubes...


Pour les suites de nombres premiers, je conjecture que comme:

- on n'a pas de méthode constructive simple pour trouver des nombres premiers contenant des séries de chiffres (pas moi en tout cas)
- la question laisse entendre qu'une réponse peut être apportée

on aura du mal a prouver que c'est un nombre univers. Il serait plus aisé de montrer que ce nombre ne l'est pas en apportant un contre exemple judicieusement choisi. Est ce la bonne direction ?

J'ai juste une petite piste : aucun nombre premier ne se termine par 4,6,8,0 donc si la série de chiffres ne contenait que ces derniers, il faudrait que cette série soit contenue dans l'écriture d'un nombre premier unique de son milieu (ou début) jusqu'à au plus 1 chiffre avant sa fin. Pas gagné...

 #7 - 26-11-2015 09:07:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

nombre unuvers

Portugal,
C'est bon pour la suite des carrés, bravo pour cette première réponse. Pour les cubes, tu indiques que c'est pareil sans vraiment le prouver. J'ai une démo un peu plus "lisible" (pour les carrés et les cubes) qui ne fait pas appel à une limite, tu verras à la fin du temps. 
Pour la suite des nombres premiers, je te laisse conjecturer ce qui te semble le plus plausible.

 #8 - 26-11-2015 12:43:12

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 374

Nombe univers

Je ne comprend pas en quoi le raisonnement est différent pour toute autre puissance ?

Considérons la suite de puissance k
B=(A+0.5) * 10^(k*n) et C = ent (B^(1/k))
C>B^(1/k)-1
C^k > 10^(k*n) * A * [ (1+0.5/A) * (1-1/B^(1/k))^k  ]

or (1+0.5/A)>1 et  (1-1/B^(1/k))^k  tend vers 1 pour n assez grand.

donc à partir d'un certain rang :
[ (1+0.5/A) * (1-1/B^(1/k))^k  ]>1 et C^k > 10^(k*n) * A

Une petite indication pour les nombres premiers serait la bienvenue...

 #9 - 26-11-2015 13:08:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
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nombre unicers

Là d'accord, Portugal, je n'avais pas intégré que ta formule était valable pour toutes les puissances. Bravo.

Pour les premiers, je ne peux rien te dire, tu peux chercher de ton coté si tu veux. Ou pas.

 #10 - 26-11-2015 13:25:10

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 374

Nombre univres

Merci pour les puissances...pour le reste...tu es sans coeur... ;=)
Ne serait ce que chercher quelle solution démontrer ?

Dis juste sans donner d'indice si avec mon niveau BEPC 1984 je peux résoudre ou s'il faut être capable de redémontrer le théorème de Green-Tao et je passerai mon tour d'ici que je sois à la retraite...

Je viens de faire une petite recherche : on en sais pas si racine(2) est "univers", et pour pi (on le pense mais pas sur non plus)....le problème peut donc être très simple..comme très compliqué...

PS : Je  me régale avec ce genre de sujets..Je découvre les math avec plaisir grâce à vos sujets...On en veux d'autres : des gâteaux, des nombres loufoques...

 #11 - 26-11-2015 15:26:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Nmbre univers

Je ne peux pas t'aider pour ce que j'ignore...Je ne connais que la réponse.

 #12 - 26-11-2015 16:19:35

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Nobmre univers

Dans ce cas je n'ai rien dit...A mon avis la réponse est délicate.

Parmi les idées qui pourraient contribuer à "démontrer" qu'il s'agir d'un nombre univers il y a des éléments de densité. En l’occurrence, le théorème de Tchébycheff nous dit que pour tout n entier ≥ 2, il existe au moins un nombre premier strictement compris entre n et 2n. Mais au delà d'essayer des contrôler des fragments de nombres premiers, ça ne me met pas sur une bonne piste...

 #13 - 28-11-2015 10:35:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Nombre univeers

C'est sûr qu'avec le seul théorême de Tchebycheff, on ne pourra pas conclure. Et pourtant, les mathématiciens ont trouvé la réponse et elle est affirmative: la suite des nombres premiers est un nombre univers. On peut le comprendre puisqu'il y a plus de nombres premiers que de carrés. Mais entre le taux de nombres premiers à l'infini et la répartition locale, il y a un abîme....

Sinon pour les carrés, j'ai fait un peu comme toi, mais en comptant le nombre mini de zéros nécessaires.

Soit A nombre de k chiffres, auquel on ajoute k+2 zéros: A00..<10^(2k+3).
(VA00..+1)²-A00..=2VA00..+1<2*10^(k+3/2)+1<10^(k+2).
Comme il y a k+2 zéros, les k chiffres de A ne sont pas affectés par le carré immédiatement supérieur à A00..

Pour les cubes, on ajoute à A de k chiffres 2k+3 zéros.

Ce qu'il y a de fascinant avec le nombre univers, c'est qu'on peut lire un livre dont les lettres sont codées en chiffres. En décodant le nombre univers, on pourra lire d'abord la 1ère page, puis bien plus tard le 1er chapître, puis encore bien plus tard le livre complet. En fait, on pourra le lire page par page avant de le lire entièrement. Et quand on aura pu le lire entièrement, on pourra le relire une infinité de fois, pourvu qu'on soit patient.

 #14 - 28-11-2015 11:53:44

Tao
Visiteur

Nombe univers

Je ne cherche pas à répondre à la question pour le moment, parce qu'elle me dépasse largement hhhh! Ce que je veux ce sont les directives, les conseils de vous qui êtes déjà bien assis sur le sujet afin de découvrir les maths de la meilleure des façons. C'est une passion que je nourris, d'être un bon mathématicien! Donc tous vos conseils sont les bienvenus.

 #15 - 28-11-2015 19:17:36

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Nombre univvers

http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-N40-p64.jpghttp://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-N40-p21.jpghttp://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-N40-p11.jpg

Si je ne m'abuse, le même argument fonctionne pour les nombres premiers, via des encadrements tels celui proposé ici :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o … re_premier

 #16 - 28-11-2015 20:17:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Nombbre univers

Merci pour ce lien Ebichu ! J'en retiendrai ce théorême:

ln n +ln ln n -1 < pn/n < ln n +ln ln n

Ce n'est pas exploitable en l'état pour prouver que la suite des premiers est nombre-univers, il faut creuser ça...

 #17 - 29-11-2015 02:44:50

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Nombre uniivers

Chose "étonnante" et facilement démontrable en utilisant l'argument de le diagonale de Cantor en binaire, l'ensemble des nombres univers est indénombrable.
[TeX]0,23571113...=\sum_{k=1}^{\infty} p_k\times 10^{-\left(k+\sum_{i=0}^{k} E(\log(p_i))\right)}[/TeX]
Donc [latex]0,23571113...[/latex] est un nombre normal, or tout nombre normal est un nombre univers donc 23571113... la concaténation de tous les nombres premiers est un nombre univers.

Shadock cool

PS: Merci wikipédia smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #18 - 29-11-2015 09:23:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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nombre unovers

"Donc 0,23571113... est un nombre normal, or tout nombre normal est un nombre univers donc 23571113... la concaténation de tous les nombres premiers est un nombre univers."

Pas vraiment compris cette pirouette, Shadok. Pourquoi passer au préalable par 0,.... ? Qu'est ce que ça apporte de plus dans le raisonnement le fait de démarrer par une virgule ?

 #19 - 29-11-2015 11:27:24

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Nombre uniivers

J'ai fais tout mon raisonnement grâce à wikipédia si tu préfères c'est une compilation de résultats.
Il se trouve que 0,23571113... est un nombre univers donc tu multiplies le tout par 10^"infini" et tu prouves alors que 23571113... est un nombre univers.
Je ne pense pas qu'il soit trop dur de montrer que tous les multiples de dix d'un nombre univers sont des nombres univers... smile

Sinon il y a un théorème qui dit que pour toute suite [latex](a_n)[/latex] de nombre entier, strictement croissante, telle que [latex]\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=1[/latex] alors pour toute base [latex]b>1[/latex] la concaténation de tout ses termes contient toutes les suites finies de nombre dans n'importe quelle base strictement plus grande que 1.

Donc pour les nombres premiers ça devient évident puisqu'il est clair que :
[TeX]\lim_{n\to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n}=1[/TeX]
Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 30-11-2015 00:03:30

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Nombre uinvers

La dernière formule me dépasse un peu mais permet de conclure immédiatement en effet pour les suites de premiers...

Une chose impressionnante : cela montre par exemple que l'on ne peut pas construire de suite de nombres ne contenant pas, par exemple le chiffre 7, dont le quotient des nombre successifs tendrait vers 1... Au début je trouvais ça bizarre mais en fait ça semble bien vrai...en effet on doit passer de 699..999 à 800..000 ce qui fait un ratio >1 à chaque rang...ce qui donne une preuve simple je crois...C'est probablement l'idée de la preuve car ce qui est vrai pour 1 chiffre l'est pour toute série de chiffre en généralisant l'exemple précédent...C'est ça ?


Mon grain de sel sur les nombres univers :

L'exemple des livres est impressionnant. Mais cela s'applique aussi aux chansons (MP3 ), films (DVD...) passé et...futurs...

D'un point de vue science fiction, le nombre univers est un peu une machine a voir le futur. Assez effrayant façon 1984...

Attention, j'ai déjà la connaissances des photos que vous ferez l'année prochaine...Si si, elles sont quelque part dans mon nombre...

 #21 - 30-11-2015 06:55:30

godisdead
Expert de Prise2Tete
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Messages : 639

nombre unovers

Mouais, c'est une autre façon de dire que le prochain jet de pile ou face fera soit pile ... soit face ! ça aussi, c'est écrit dans un nombre univers. Du coup, ça m'impressionne beaucoup moins.

 #22 - 30-11-2015 12:50:48

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Nombre univer

Dire que mon nombre contient la sex-tape que tu as fait hier soir...sans même la filmer...moi je trouve ça rigolo.. !

(ou en la filmant, je ne sais pas..même si mon nombre le sait ! )

Valbuena tremble quand il entend parler de nombre univers...

 #23 - 30-11-2015 18:36:37

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Noombre univers

J'ai retrouvé le fichier du théorème et de sa démonstration:

C'est ici

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #24 - 30-11-2015 19:28:34

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Nombre universs

Merci Shadock.

 #25 - 30-11-2015 21:27:58

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

nolbre univers

La démonstration est complexe ..trop pour moi. Que pensez vous de cette micro-démo

Soit X le nombre formé de la suite des premiers. Supposons qu'il n'est pas univers, il existe un nombre A n'étant pas dans on écriture

Soit A(q) formé du nombre A suivi de q chiffres
Notons Prev(q) le nombre premier précédent et Next(q) le suivant
On a Next(q)/Prev(q)>(A+1)/A>1  (par exemple si A=337 il n'y aura pas de nombre premier entre 336999 et 338000...)

Il existe donc une sous suite de nombre premiers dont les ratios sont supérieurs à un seuil fixe donc ne peut donc pas avoir lim Prem(k+1) / prem(k) = 1

Ce qui est exactement l'intuition que j'avais présenté précédemment...et correspond à l'intuition initiale de l'élément de densité...

Cette démo permet de résoudre instantanément les cas des puissances vu que :

((1+x)/x)^n =1+n/x + epsilon...

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