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 #1 - 20-12-2015 11:23:26

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Au fond de l'univers

des nombres binairzs

Salut à tous!

Une énigme rapide, je n'ai pas eu le temps de me pencher sur la dernière question

-On considère les nombres écrits en base deux
-La symétrie miroir consiste à inverser l'ordre des chiffres: 00111 devient 11100


Combien de nombres à n bits restent inchangés après une symétrie miroir? (010 n'est pas un nombre, un nombre commence par 1)

-On tolère désormais les "nombres" commençant par 0

Combien de nombres à 3 bits sont doublés après une symétrie miroir? Les citer
Combien de nombres à 5 bits sont doublés après une symétrie miroir? Les citer
Combien de nombres à 7 bits sont doublés après une symétrie miroir?

Peut on généraliser à 2n+1 bits?

Bonne chance! smile



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 #2 - 20-12-2015 12:55:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Des nombres binairess

"(010 n'est pas un nombre, un nombre commence par 1)
-On tolère désormais les "nombres" commençant par 0"

Ces 2 lignes sont contradictoires, Promath.

 #3 - 20-12-2015 16:11:11

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

Des nomres binaires

Pour que le nombre reste inchangé après une symétrie miroir (on va l'appeler nombre miroir)  il doit respecter cette règle si le nombre est écrit sur 2n+1 bits le chiffre qui est dans une k ème position doit être le même que le chiffre qui est dans la (2n+2-k) position.
Pour 3 bits les nombres miroirs sont 111 et 101 donc il y a 2 nombres.
Pour 5 bits les nombres miroirs sont 11111,11011,10101,10001 donc il y a 4 nombres.
Pour 7 bits les nombres miroirs sont:
1111111,1110111,1101011,1100011,1011101,1010101,1001001,1000001
donc il y a 8 nombres.
On considère Un le nombre des nombres miroirs lorsqu'on a des nombres écrits sur 2n+1 bits.
Pour 2n+1 bits on pose 1 pour respecter la règle (le nombre doit commencer par 1)
Alors on a 1x1 tel que x un nombre miroir binaire (et qui peut commencer par 0) codé sur 2n-1 bits.
Maintenant posons un autre 1 le nombre devient 11x11 avec x est codé sur 2n-3 bits avec cette combinaison le nombre des nombres miroirs en changeant x à chaque fois va être égal à U(n-1),maintenant si on pose 0 le nombre devient 10x01 dans ce cas aussi le nombre des nombres miroirs va être égal à U(n-1).
On a seulement ces 2 cas donc Un=2U(n-1).
Donc Un=2ⁿ pour n≥0
Bonne journée.

 #4 - 20-12-2015 16:35:59

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 400

des npmbres binaires

Bonjour,

Combien de nombres à n bits restent inchangés après une symétrie miroir?


Les bits gauche et droit valent 1.
Si n est pair, on peut choisir arbitrairement [latex](n/2 - 1)[/latex] bits, ce qui fait [latex]2^{n/2-1}[/latex] nombres symétriques.
Si n est impair, on peut choisir arbitrairement [latex]((n-1)/2 - 1)[/latex] bits qui ont un symétrique, plus celui du milieu. On obtient [latex]2^{(n-1)/2}[/latex] nombres symétriques.

Combien de nombres à 3 bits sont doublés après une symétrie miroir?


2

Combien de nombres à 5 bits sont doublés après une symétrie miroir?


4

Combien de nombres à 7 bits sont doublés après une symétrie miroir?


8

Peut on généraliser à 2n+1 bits?


Oui
Le bit de gauche doit être égal à 0, et les 2n autres bits sont symétriques. Un raisonnement analogue à celui de la question 1 montre que [latex]2^n[/latex] nombres vont doubler.
D'ailleurs, pour 2n bits, on trouve aussi [latex]2^n[/latex].

 #5 - 20-12-2015 16:56:13

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Ds nombres binaires

Nodgim: je ne vois pas pourquoi.

dbab3000: Tu n'as pas bien lu les questions, relis bien smile

enigmatus: je ne suis pas d'accord lorsque n est impair. Je ne trouve pas 4 d'ailleurs, peux tu les citer?


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 #6 - 20-12-2015 17:43:08

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 400

des nombees binaires

je ne suis pas d'accord lorsque n est impair. Je ne trouve pas 4 d'ailleurs, peux tu les citer?

As-tu compté le 0 ?

Code:

Pour 3 bits
  0 000   0 000
  3 011   6 110

Pour 5 bits
  0 00000   0 00000
  6 00110  12 01100
  9 01001  18 10010
 15 01111  30 11110

Pour 7 bits
  0 0000000   0 0000000
 12 0001100  24 0011000
 18 0010010  36 0100100
 30 0011110  60 0111100
 33 0100001  66 1000010
 45 0101101  90 1011010
 51 0110011 102 1100110
 63 0111111 126 1111110

 #7 - 20-12-2015 17:54:09

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

des nomvres binaires

-On considère les nombres écrits en base deux
-La symétrie miroir consiste à inverser l'ordre des chiffres: 00111 devient 11100

Combien de nombres à n bits restent inchangés après une symétrie miroir? (010 n'est pas un nombre, un nombre commence par 1)

n pair : 2^(n/2-1)
n impair : 2^((n-1)/2)

-On tolère désormais les "nombres" commençant par 0

Combien de nombres à 3 bits sont doublés après une symétrie miroir? Les citer

000
011

Combien de nombres à 5 bits sont doublés après une symétrie miroir? Les citer

00000 , 00110 , 01001 01111       

Combien de nombres à 7 bits sont doublés après une symétrie miroir?

0000000 0001100 0010010 0011110 0100001 0101101 0110011 0111111       

Peut on généraliser à 2n+1 bits?

On dirait 2^n

 #8 - 20-12-2015 18:45:13

7nyguita7
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Messages : 155
Lieu: Lognes

Des nombres binaies

Intuitivement pour la question 1 je dirais 2^((n/2)-1) lorsque n est pair et 2^((n-1)/2) lorsque n est impair.

Pour la question 2, j'ai une observation mais je ne sais pas comment la prouver mathématiquement...
Ils s'agit des nombres commençant par x 0 et y 1 et se terminant par y 1 et x-1 0
J'en oublie peut-être

Voilà un bout de raisonnement

Édit :

Pour 3 bits : 000 (0) -> 000 (0) et 011 (3) -> 110 (6) => deux nombres
Pour 5 bits : 00000 -> 00000, 00110 (6) -> 01100 (12), 01001 (9) -> 10010 (18) et 01111 (15) -> 11110 (30) => quatre nombres

Pour la question 2 il s'agit en fait de 0+combinaison qui reste inchangée avec miroir

Du coup, il y aurait 2^n nombres qui seraient doublés avec une transformation miroir.


Même une feuille de papier est plus légère à deux (Proverbe coréen)

 #9 - 21-12-2015 08:03:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

des nombred binaires

Je n'avais pas compris que les 2 phrases s'adressaient à des parties différentes du problème, c'est bon maintenant.

Pour la 1ère question:

le nombre doit être de la forme 1abc...cba1.
Si n pair, il y a 2^(n/2-1) nombres qui sont égaux à leurs miroirs.
Si n impair, il y en a 2^(n/2-1/2).

Pour la seconde question:

Même format de nombres que ci dessus, avec un 0 en tête, soit
01abc...cba1

Détail pour n chiffres
011 (1 chiffre)
01a1 (2)
01aa1 (2)
01aba1 (4)
01abba1 (4)
01abcba1 (8)
01abccba1 (8)
...

Si n pair-------->2^(n/2-2)
Si n impair---->2^(n/2-3/2)


NB: valable si un seul 0 en tête.

 #10 - 21-12-2015 10:17:29

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Des nombres binares

Avec des nombres qui commencent par 1, les nombres satisfaisant la symétrie doivent s’écrire :

2k chiffres :  1 a(1) a(2)…a(k-1) a(k-1)…a(2) a(1) 1  soit 2^(k-1) possibilités

2k+1 chiffres :  1 a(1) a(2)…a(k-1) a(k) a(k-1)…a(2) a(1) 1  soit 2^(k) possibilités

De manière générale, les couples de nombres de 2k+1 chiffres (A,B) tels que B=2*A et A symétrique de B vérifient :

A= 0 a(1) a(2) …a(k) a(k)…a(1)
B= a(1) a(2) …a(k) a(k)…a(1) 0
Soit 2 ^k possibilités

Applications :
K=1  A= 000 ou 011
K=2  A= 00000 , 01001 ,01111, 00110
K=3  A= 0000000, 0100001, 0010010, 0001100, 0110011, 0101101, 0011110, 0111111

 #11 - 21-12-2015 17:08:58

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

des nomvres binaires

C'est vrai je n'ai pas bien lu les questions, je retente pas chance:
Pour la première question:
Combien de nombres à n bits restent inchangés après une symétrie miroir?
On considère [latex]U_{k}[/latex] le nombre des nombre miroirs pour les nombres à n bits.
La formule [latex]U_{k}=2U_{k-1}[/latex] est toujours valable
Si n=2k (pair)
n=2 et U₁=1 alors [latex]U_{k}=2^{k-1}[/latex]
Si n=2k+1 (impair)
n=1 et U₀=1 alors [latex]U_{k}=2^{k}[/latex]
Pour la deuxième question:
Combien de nombres à 3 bits sont doublés après une symétrie miroir?
Les nombres sont: 000 et 011 donc il y a 2 nombres.
Pour la troisième question:
Combien de nombres à 5 bits sont doublés après une symétrie miroir?
Les nombres sont: 00000,00110,01001 et 01111 donc il y a 4 nombres.
Pour la quatrième question:
Combien de nombres à 7 bits sont doublés après une symétrie miroir?
Les nombres sont: 0000000,0100001,0010010,0001100,0110011,0101101,0011110 et 0111111 donc il y a 8 nombres.
Pour la cinquième question:
Peut on généraliser à 2n+1 bits?
On considère X₁ le nombre avant le changement miroir et X₂ le nombre après le changement.(Les nombres sont codés sur 2n+1 bits)
Pour avoir X₂=2X₁ alors X₂ doit être pair donc X₂=(A0)₂
Ce qui implique que  X₁=(0A)₂ avec A est un nombre binaire codé sur 2n bits
On a:
X₁=(0A)₂=[latex]A=\sum_{k=0}^{2n-1}a_{k} 2^{k}[/latex]
[TeX]X_{2}=\sum_{k=0}^{2n-1}a_{k}2^{2n-k}=2X_{1}[/TeX]
Alors
[TeX]\sum_{k=0}^{2n-1}a_{k}2^{2n-k}=\sum_{k=0}^{2n1}a_{k}2^{k+1}
[/TeX]
Alors [latex]a_{k}=a_{2n-1-k}[/latex]
Alors A est un nombre miroir
Donc pour que X₁ soit doublé après un changement miroir il suffit que X₁=(0A)₂ avec A un nombre miroir codé sur 2n bits
On considère [latex]V_{n}[/latex] le nombre des nombres qui sont doublés après un changement miroir et qui sont codés sur 2n+1 bits
La formule [latex]V_{n}=2V_{n-1}[/latex] est encore valable dans ce cas
On a n=0 V₀=1
Donc [latex]V_{n}=2^{n}[/latex]
J'espère que j'étais assez clair.
Bonne soirée.

 #12 - 21-12-2015 17:25:45

Franky1103
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Des nombres binaire

Nombre de nombres à n bits restant inchangés après une symétrie miroir:
2^{ent[(n-1)/2]} pour n>0, "ent" représentant la partie entière.

Nombres à 3 bits doublés après une symétrie miroir:
un seul: 011 (soit 3 en base 10).

Nombres à 5 bits doublés après une symétrie miroir:
trois: 00110; 01001 et 01111 (soit 6; 9 et 15 en base 10).

Nombres à 7 bits doublés après une symétrie miroir:
sept: 0001100; 0010010; 0011110; 0100001; 0101101; 0110011 et 0111111 (soit 12; 18; 30; 33; 45; 51 et 63 en base 10).

Généralisation à 2n+1 bits:
affaire à suivre …

 #13 - 21-12-2015 19:12:40

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Des nombres biaires

enigmatus: non effectivement, dans ce cas c'est bon! smile

gwen: bien, conjecture juste! smile

7nyguita7: ta conjecture est juste aussi, c'est ok!

nodhim: je ne suis pas d'accord avec toi dans le cas impair. La suite n'est pas juste, je pense qu'il faut que tu revoies la 1ère partie

portugal: concis et juste, c'est très bien!

dbab: Très bien, rien à ajouter!

Franky: c'est juste! bon courage pour la suite!


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 #14 - 21-12-2015 19:51:43

dbab3000
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des nombres binzires

Je ne savais pas que Vasimolo et moi on est la même personne lol
Bonne soirée.

 #15 - 21-12-2015 20:47:17

Franky1103
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Des nombrse binaires

Généralisation: nombres à 2n+1 bits doublés après une symétrie miroir = 2^n - 1
quant à le démontrer ...

 #16 - 22-12-2015 08:58:03

nodgim
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Des nombres biniares

Mince alors, je croyais être sûr de moi.
Dans mon calcul j'ai exclu les nombres du genre 0010, c'est à dire ceux qui commencent par plus de 1 zéro. Ai je eu tort ?

 #17 - 22-12-2015 09:07:22

Promath-
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des nombres binaores

dbab: Mon dieu! étourderie corrigée! lol

Franky: Conjecture juste

Nodgim: Oui, pour la partie deux. Non, sinon.


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 #18 - 22-12-2015 13:00:38

nodgim
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Des nomrbes binaires

0n progresse, donc c'est normal que je n'ai pas trouvé ce que tu attendais.

Revenons à la 1ère question pour laquelle tu as émis un doute.

Les nombres en question sont de la forme:

1abba1 si  nb de chiffres pair (variables: a et b)
1abcba1 si nb de chiffres impair (variables: a,b et c)

J'espère qu'on est d'accord là dessus.

 #19 - 22-12-2015 17:33:54

nodgim
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des nombres bonaires

Bon, pour la 2ème question, avec 2n+1 chiffres, on totalise 2^n nombres dont le miroir est le double.

Exemple avec 2n+1=9:

01abccba1---->8 nombres
001abba10---->4
0001aa100---->2
000011000---->1
000000000---->1

On trouve 16 nombres.

On obtient le même résultat avec 2n chiffres.

 #20 - 22-12-2015 18:29:20

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Des nombres biinaires

Je pensais démontrer la généralisation par récurrence avec: F(n+1) = 2.F(n) + 1, mais c'est loin d'être évident.

 

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