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 #1 - 23-01-2014 21:57:39

Emigme
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 318

Une limite aps évidente...

Bonsoir à tous ! Ça fait bien longtemps que je ne suis pas repassé par là, mais je vois que ça n'a pas trop changé par ici : toujours cette bonne ambiance et quelques têtes que je reconnais smile

Si je reviens vers vous, c'est parce que j'ai un petit problème à vous soumettre... Contrairement à ce que ça peut sembler, ce n'est pas du soutiens scolaire, je sais que ce n'est pas le genre de la maison, je voudrais juste avoir vos points de vue sur un problème qu'on a eu en classe... Pour l'anecdote, ce n'est à la base qu'un banal exemple de cours que le prof a changé pour le rendre a priori plus intéressant... Il n'a pas été déçu !

Bon, je vous épargne le blabla, l'énoncé est classique, on étudie une fonction avec de l'exponentielle. On la dérive pour pour dresser un tableau de variations... Facile !

Soit [latex]f(x)=x\:e^{-x^{2}+1}[/latex]

Quelques calculs plus tard...
[TeX]f'(x)=e^{-x^{2}+1}(1-2x^{2})[/TeX][TeX]\forall x \in \mathbb{R}, e^{-x^{2}+1}>0[/TeX]
Donc [latex]f'(x)[/latex] est du signe de [latex](1-2x^{2})[/latex]
[TeX]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&\frac{-\sqrt{2}}{2}&&\frac{\sqrt{2}}{2}&&+\infty \\{signe\:de\:f'(x)}& &-&0&+&0&-& \\{variation\:de\:f(x)}&&\searrow&\frac{-\sqrt{2}}{2}e^{\frac{1}{2}}&\nearrow&\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{1}{2}}&\searrow&&\end{array}[/TeX]
(désolé pour la qualité du tableau, j'ai fait ce que j'ai pu...)

Et enfin pour compléter le tableau, on veut y mettre les limites...
Et c'est là que ça pose problème... On tombe sur des formes indéterminées que les théorèmes sur l'exponentielle ne permettent pas de résoudre...

En [latex]+\infty[/latex],

D'une part [latex]\lim_{x\to +\infty} x = +\infty[/latex]
D'autre part [latex]\lim_{x\to +\infty} -x^{2}+1 = -\infty[/latex]
[TeX]\lim_{X\to -\infty} e^{X} = 0^{+}[/TeX]
Donc par composition, [latex]\lim_{x\to +\infty} e^{-x^{2}+1} = 0^{+}[/latex]

Ah... [latex]``+\infty \times 0^{+}"[/latex]... [latex]F.I.[/latex]

Évidemment, intuitivement, on se dit que c'est l'exponentielle qui va gagner ce combat de titans, et donc que ça va tendre vers 0... Il est facile d'avoir une confirmation graphique aussi... Mais comment le montrer proprement ?
On a la même chose de l'autre côté, en [latex]-\infty[/latex].

On sait quelques choses :
[TeX]\lim_{x\to +\infty} \frac{e^{x}}{x}} = +\infty[/TeX][TeX]\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{e^{x}}} = 0^+[/latex] (et oui, logique, si la précédente est vraie wink !)

[latex]\lim_{x\to -\infty} x\:e^{x} = 0^-[/TeX]
J'ai essayé de factoriser, de simplifier... En vain...
Je suis à l'écoute de vos propositions pour réussir à trouver ses limites smile !



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Il n'y a pas de problèmes : il n'y a que des solutions. Si il n'y a pas de solution, il n'y a pas de problème.
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 #2 - 23-01-2014 23:04:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Une limite pas évidnete...

Pour la première il suffit de remarquer que :
[TeX]\forall x \in \mathbb{R} \text{ } exp(x)>x[/TeX]
Puis [latex]exp\left(\frac{x}{2}\right)>\frac{x}{2}[/latex] donc [latex]exp(x)>\frac{x^2}{4}[/latex] tu obtiens le résultat en divisant par x des deux côtés ce qui est autorisé puisque celui ci est non nul smile

Pour la deuxième

[latex]\frac{x}{exp(x)}=\frac{1}{\frac{exp(x)}{x}}[/latex] d'où le résultat d'après la première.

Pour la troisième
J'ai pas l'idée à l'instant t ... hmm mais avec les DL ca tient en deux lignes a peine...

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 23-01-2014 23:20:49

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Une limte pas évidente...

Bonsoir,

Pour la troisième on peut aussi faire le changement de variable y= -x pour se ramener à calculer l'opposé de la deuxième limite.


Il y a sûrement plus simple.

 #4 - 23-01-2014 23:24:53

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

une limute pas évidente...

Si x tend vers plus infinie alors [latex]x^2>x[/latex]

soit
[TeX]-x^2+1<-x+1[/TeX]
En appliquant la fonction exponentielle on a: [latex]0<e^{-x^2+1}<e^{-x+1}[/latex]

soit en en multipliant par x
[TeX]0<xe^{-x^2+1}<xe^{-x+1}[/TeX]
ou
[TeX]0<xe^{-x^2+1}<e*xe^{-x}[/TeX]
Soit A la limite à [latex]+\infty[/latex] de [latex]xe^{-x^2+1}[/latex].

On a alors: [latex]0<A<e*0[/latex] d'où [latex]A=0[/latex] (théorème des gendarmes)

CQFD

 #5 - 23-01-2014 23:32:52

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Une limite psa évidente...

Il est facile de montrer que ta fonction est impaire et donc déduire la limite à moins infini connaissant celle à plus infini trouvée ci-dessus.

 #6 - 24-01-2014 22:39:47

Emigme
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 318

une limite pas écidente...

Merci à vous tous pour vos réponses fort intéressantes.
Oui, le changement de variable est l'une des solutions qui me semblait appropriée cogito, mais c'est vrai que la réponse de kossi_tg est plus simple (pas de changement de variable à faire smile !) et me convient parfaitement cool !

shadock, ce n'est pas les trois propriétés sur les exponentielles que je voulais démontrer (qu'on appelle théorèmes de croissance comparée de l'exponentielle), mais trouver les limites de ma fonction [latex]f(x)=x\:e^{-x^{2}+1}[/latex] wink
Mais merci beaucoup pour tes explications, elles sont quand même très intéressantes big_smile !


Il n'y a pas de problèmes : il n'y a que des solutions. Si il n'y a pas de solution, il n'y a pas de problème.

 #7 - 24-01-2014 23:14:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Une limte pas évidente...

Ah oui désolé, quand j'ai lu ça ça me paraissait évident et j'ai sauté sur le reste lol roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 24-01-2014 23:15:59

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

une limute pas évidente...

Le changement de variable concernait le message de shadock.
Sinon pour la solution à propos de f(x), effectivement celle de kossi_tg est très bien cool.


Il y a sûrement plus simple.
 

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