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#1 - 29-12-2015 17:02:47
- portugal
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triqkaidekaphobia
Tout nombre formé de 78 répétitions d'un nombre quelconque est il divisible par 13 ?
#2 - 29-12-2015 17:13:12
- Vasimolo
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Trsikaidekaphobia
Oui car [latex]10^{78}\equiv 1[/latex] modulo 13 .
Vasimolo
#3 - 29-12-2015 17:17:54
- portugal
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triskaidekaphobua
La remarque est vraie mais je ne fais pas le lien direct. Avec cette assertion, toute répétition sextuple marche aussi ?
#4 - 29-12-2015 17:30:27
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Triskadiekaphobia
[latex]x\equiv \frac{a(10^{78n}-1)}{10^n-1}\equiv 10^{78}-1\equiv 0 [/latex] modulo 13 .
Vasimolo
#5 - 29-12-2015 17:43:14
- portugal
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triskaidekaphibia
C'est la répétition d'un chiffre que tu ecris non ? moi je parle de répéter un nombre potnetiellement composé de plusieurs chiffres...
#6 - 29-12-2015 17:45:04
- Vasimolo
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triskaidekzphobia
a est un nombre .
Vasimolo
#7 - 29-12-2015 17:46:45
- portugal
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Triskaidekaphobi
Ah oui...je comprends...Bravo la solution est bien plus simple que ce que j'imaginais..ma méthode partait de la même observation mais prenait quelques détours...bien inutiles...
#8 - 29-12-2015 18:56:04
- godisdead
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Triskaiedkaphobia
777 * 13 = 10101 Donc 111111 est divisible par 13. Tout nombre avec 6 répétitions sera déjà divisible par 13. 78 est divisible par 6 Donc oui, tout nombre de 78 répétitions sera divisible par 13.
#9 - 29-12-2015 19:14:56
- portugal
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triskaidekaohobia
@nodgim Oui c'est une enigme. 1111111111111 / 13 ?
C'est probablement l'idée godisdead mais j'ai un doute sur ce que tu veux dire précisément
#10 - 30-12-2015 01:18:36
- dhrm77
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Triskaiedkaphobia
A la main, je trouve qu'il suffit de former une repetition de 6 fois n'importe quel nombre de 1, 2, 3, 4 ou 5 chiffres pour que le resultat soit divisible par 13... Pour ca il suffisait de montrer que 111111, 10101, 1001, 100010001 et 10000100001000010000100001 sont tous divisible par 13, comme tous les nombres de 1 a 5 chiffres qui se repetent sont forcement divisible par un de ces nombres.
Ensuite, avec un petit programme, je trouve que si on continue: avec des nombres à 6 chiffres, il faut 13 repetitions. Donc, pour des nombres à: - 1 chiffre, il faut au minimum 6 repetitions - 2 chiffres, il faut au minimum 3 repetitions - 3 chiffres, il faut au minimum 2 repetitions - 4 chiffres, sil faut au minimum 3 repetitions - 5 chiffres, il faut au minimum 6 repetitions - 6 chiffres, il faut au minimum 13 repetitions puis au dela, pour des nombres de 7 à 12 chiffres on repete le motif de 6, 3, 2, 3, 6 et 13 repetitions... et ansi de suite, si on rajoute 6 chiffres au nombres de 7 a 12 chiffres, on a à nouveau 6, 3, 2, 3, 6, 13 repetitions necessaire.
Le plus petit commum multiple de 2, 3, 6 et 13 est bien sur 78.
Donc, oui il semblerait qu'il suffice que l'on repete n'importe quel nombre 78 fois pour qu'il soit divisible par 13. pour le prouver.... Considerons que 999999 est un multiple de 13. Donc 1000000 et 1 ont le meme reste, modulo 13. Donc si 111111 est divisible par 13, alors 100000010000001000000100000010000001000000 est aussi divisible par 13.
Pour generaliser.. pour qu'un nombre de x=6*n+1 chiffres que l'on repete 6 fois soit divisible par 13, il suffit de montrer que 1(6*n zeros)1(6*n zeros)1(6*n zeros)1(6*n zeros)1(6*n zeros)1 soit divisible par 13. (par exemple 111111 ou 100000010000001000000100000010000001) si on divise ce nombre en sections de 6, 1000000 nous donne 1, qui ajouté au 1 suivant donne 11, 11000000 donne 11, qui ajouté au 1 suivant donne 111, et ansi de suite.... quant on arrive a la fin, on trouve 1111111, qui, on le sait deja est divisible par 13. Si on rajoute 6 zeros a chaque section, on retombe sur le meme reste modulo 13 et donc le meme motif....
Bon je sais c'est pas tres clair... mais ca marche...
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#11 - 30-12-2015 07:50:39
- nodgim
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triskaidekzphobia
J'ai effacé tout ce que j'ai écrit hier, c'était un peu hors sujet.
Preuve:
1) Si le nombre comporte k chiffres, k multiple de 6.
S'écrit: a1b1c1d1e1f1 a2b2c2d2e2f2 .....
10^n modulo 13 est une séquence de longueur 6. Les valeurs successives modulo 6 sont -3,-4,-1,3,4,1. Le critère de divisibilité par 13 est donc: Sai-Sdi+4(Sbi-Sei)+3(Sci-Sfi)=0, S étant la somme des chiffres de rang...
Si le nombre est répété 78 fois (donc plusieurs fois 13 fois) alors toute somme S... est multiple de 13, et donc le total est nul.
2) Si le nombre n comporte k chiffres, k non multiple de 6.
Répété 78 fois, ce nombre s'écrit: n(1+10^k+10^2k+....10^77k)=n(10^k^78-1)/(10^k-1) Or 10^k^78-1=(10^6)^13k-1 qui est multiple de 10^6-1 et donc de 13. Comme 10^k-1 n'est pas multiple de 13, n répété 78 fois est divisible par 13.
#12 - 30-12-2015 09:11:47
- gwen27
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Triskaidekahpobia
oui
Un tel nombre est un multiple d'une séquence de 78 puissances de 10.
Or, en sommant les chiffres 3 par 3 de cette série de puissances de 10 on obtient un multiple de 13 (critère de divisibilité par 13)
Démonstration :
nombre de chiffres de la puissance égal à 3n :
nombre de chiffres de la puissance égal à 3n+1 :
nombre de chiffres de la puissance égal à 3n+2 :
#13 - 30-12-2015 13:58:26
- halloduda
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triskaodekaphobia
10^78 = 1 modulo 13
78 répétitions de 10^78k, valent donc 78 soit 0 modulo 13 car 78 = 13*6. On peut multiplier le "1" par n quelconque avec le même résultat.
#14 - 30-12-2015 18:43:11
- portugal
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rriskaidekaphobia
Je me demande si je ne me suis pas fait bluffer par certaines réponses erronées ...
D'autres réponses (celle de nodgim dhrm et gwen entre particulier) correspondent à ce que je pensais... a savoir que 78 est le plus petit multiple qui "assure"
Je laisse ceux qui ont trouvé 6 comme facteur suffisant revoir leur idée.
De manière amusante certains pensaient que 13 etait le minimum,et d'autres 6...78 les met daccord.
Vasimolo: je ne suis toujours pas 100% certain de comprendre précisément mais est ce vrai que tu es dans le clan des 6 ?
Ma démo pour 78 est visuelle est sympa..vous l'aurez en 2016...
#15 - 30-12-2015 18:44:15
- gwen27
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triskaidekaphonia
Ah, non, avec ma démarche, 39 assure aussi...et je pense que c'est le plus petit. Sinon, je montre juste que 78 marche, pas qu'un plus petit est exclu...
Par contre, 6, je n'y crois pas une seconde..; Impossible d'être sûr d'obtenir un total à 13 même s'il y a coïncidence pour 1, 2 et 3 chiffres.
Contre exemple : 1239 ne marche pas.
#16 - 30-12-2015 18:58:04
- portugal
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Trikaidekaphobia
Gwen... Je vais reverifier mais j ai l impression que c'est faux quand le nombre de chiffres du nombre est impair.
Par exemple de tête 1111..11 (39 fois) =7 modulo 13.
Ce qui est cohérent avec ton message initial d'ailleurs...ou je ne suis plus...
#17 - 30-12-2015 19:26:21
- gwen27
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triskaidekapgobia
Ah, oui, je savais bien que j'avais gardé la parité pour une bonne raison ! Mais ça m'a échappé !
#18 - 30-12-2015 23:28:52
- portugal
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triqkaidekaphobia
Petit supplément rapide en passant : combien de répétitions assurent la divisibilité par 11 ?
#19 - 30-12-2015 23:30:30
- portugal
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triqkaidekaphobia
Petit supplément rapide et facile en passant : combien de répétitions assurent la divisibilité par 9 ? par 5...et par 1001 ?
#20 - 31-12-2015 06:36:41
- dhrm77
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triskaidzkaphobia
Au cas ou tu rajoutes des supplements:
Pour assurer la divisibilité par X, on a besoin de f(X) repetitions: X -> f(X) 1 -> 1 3 -> 3 (=2*3 / 2) 7 -> 42 (=6*7) 9 -> 9 11 -> 22 (=10*11 / 5) 13 -> 78 (=12*13 / 2) 17 -> 272 (=16*17) 19 -> 342 (=18*19) 21 -> 42 (=2*21) = PPCM( f(3) , f(7) ) 23 -> 506 (=22*23) 27 -> 27 29 -> 812 (=28*29) 31 -> 465 (=15*31) 33 -> 66 (=2*33) = PPCM( f(3), f(11) ) 37 -> 111 (=36*37 / 12) 39 -> 78 (=2*39) = PPCM( f(3), f(13) ) 41 -> 205 (=40*41 / 8) 43 -> 903 (=42*43 / 2) 47 -> 2162 (=46*47) 49 -> 294 (=48*49 / 8) = ???? 51 -> 816 (=16*51) = PPCM( f(3), f(17) ) 53 -> 689 (=52*53 / 4) 57 -> 342 (=6*57) = PPCM( f(3), f(19) ) 59 -> 3422 (=58*59) 61 -> 3660 (=60*61) 63 -> 126 (=2*63) = PPCM( f(7), f(9) ) 67 -> 2211 (=66*67 / 2) 69 -> 1518 (=22*69) = PPCM (f(3), f(23) ) 71 -> 2485 (=70*71 / 2) 73 -> 584 (= 72*73 / 9) 77 -> 462 (=6*77) = PPCM( f(7), f(11) ) 79 -> 1027 81 -> 81 83 -> 3403 87 -> 2436 89 -> 3916 91 -> 546 93 -> 465 97 -> 9312 99 -> 198 101 -> 404 103 -> 3502 107 -> 5671 109 -> 11772 111 -> 111 113 -> 12656 117 -> 234 119 -> 5712 121 -> 242 123 -> 615 127 -> 5334 129 -> 903 131 -> 17030 133 -> 2394 137 -> 1096 139 -> 6394 141 -> 6486 143 -> 858 147 -> 294 149 -> 22052 151 -> 11325 153 -> 2448 157 -> 12246 159 -> 2067 161 -> 10626 163 -> 13203 167 -> 27722 169 -> 1014 171 -> 342 173 -> 7439 177 -> 10266 179 -> 31862 181 -> 32580 183 -> 3660 187 -> 2992 189 -> 378 191 -> 18145 193 -> 37056 197 -> 19306 199 -> 19701 201 -> 2211 = 11 * 201 = PPCM( f(3), f(67) ) 203 -> 2436 207 -> 4554 209 -> 3762 211 -> 6330 213 -> 7455 217 -> 6510 219 -> 1752 221 -> 10608 223 -> 49506 227 -> 25651 229 -> 52212 231 -> 462 233 -> 54056 237 -> 3081 239 -> 1673 241 -> 7230 243 -> 243 247 -> 4446 249 -> 10209 251 -> 12550 253 -> 506 257 -> 65792 259 -> 1554 261 -> 7308 263 -> 68906 267 -> 11748 269 -> 72092 271 -> 1355 273 -> 546 277 -> 19113 279 -> 1395 281 -> 7868 283 -> 39903 287 -> 8610 289 -> 4624 291 -> 9312 293 -> 42778 297 -> 594 299 -> 19734 301 -> 1806 303 -> 1212 307 -> 46971 309 -> 10506 311 -> 48205 313 -> 97656 317 -> 25043 319 -> 8932 321 -> 17013 323 -> 46512 327 -> 11772 329 -> 45402 331 -> 36410 333 -> 333 337 -> 113232 339 -> 37968 341 -> 10230 343 -> 2058 347 -> 60031 349 -> 40484 351 -> 702 353 -> 11296 357 -> 5712 359 -> 64261 361 -> 6498 363 -> 726 367 -> 134322 369 -> 1845 371 -> 28938 373 -> 69378 377 -> 31668 379 -> 143262 381 -> 5334 383 -> 146306 387 -> 2709 389 -> 150932 391 -> 68816 393 -> 51090 397 -> 39303 399 -> 2394 401 -> 80200 403 -> 12090 407 -> 2442 409 -> 83436 411 -> 3288 413 -> 71862 417 -> 19182 419 -> 175142 421 -> 58940 423 -> 19458 427 -> 25620 429 -> 858 431 -> 92665 433 -> 187056 437 -> 86526 439 -> 96141 441 -> 882 443 -> 97903 447 -> 66156 449 -> 14368 451 -> 4510 453 -> 11325 457 -> 69464 459 -> 7344 461 -> 212060 463 -> 71302 467 -> 108811 469 -> 30954 471 -> 12246 473 -> 19866 477 -> 6201 479 -> 114481 481 -> 2886 483 -> 10626 487 -> 236682 489 -> 13203 491 -> 240590 493 -> 55216 497 -> 14910 499 -> 248502 501 -> 83166 503 -> 252506 507 -> 1014 509 -> 258572 511 -> 12264 513 -> 1026 517 -> 23782 519 -> 22317 521 -> 27092 523 -> 136503 527 -> 126480 529 -> 11638 531 -> 30798 533 -> 15990 537 -> 95586 539 -> 3234 541 -> 292140 543 -> 32580 547 -> 49777 549 -> 10980 551 -> 138852 553 -> 43134 557 -> 154846 559 -> 23478 561 -> 8976 563 -> 158203 567 -> 1134 569 -> 161596 571 -> 325470 573 -> 54435 577 -> 332352 579 -> 37056 581 -> 142926 583 -> 15158 587 -> 171991 589 -> 53010 591 -> 57918 593 -> 351056 597 -> 19701 599 -> 179101 601 -> 180300 603 -> 6633 607 -> 122614 609 -> 2436 611 -> 84318 613 -> 31263 617 -> 54296 619 -> 382542 621 -> 13662 623 -> 82236 627 -> 3762 629 -> 30192 631 -> 198765 633 -> 6330 637 -> 3822 639 -> 22365 641 -> 20512 643 -> 68801 647 -> 417962 649 -> 37642 651 -> 6510 653 -> 212878 657 -> 5256 659 -> 433622 661 -> 145420 663 -> 10608 667 -> 205436 669 -> 49506 671 -> 40260 673 -> 150752 677 -> 228826 679 -> 65184 681 -> 76953 683 -> 232903 687 -> 52212 689 -> 4134 691 -> 158930 693 -> 1386 697 -> 55760 699 -> 162168 701 -> 490700 703 -> 12654 707 -> 8484 709 -> 501972 711 -> 9243 713 -> 235290 717 -> 5019 719 -> 258121 721 -> 73542 723 -> 7230 727 -> 527802 729 -> 729 731 -> 245616 733 -> 44713 737 -> 4422 739 -> 181794 741 -> 4446 743 -> 551306 747 -> 30627 749 -> 238182 751 -> 93875 753 -> 37650 757 -> 20439 759 -> 1518 761 -> 289180 763 -> 82404 767 -> 133458 769 -> 147648 771 -> 197376 773 -> 149189 777 -> 1554 779 -> 70110 781 -> 54670 783 -> 21924 787 -> 309291 789 -> 206718 791 -> 37968 793 -> 47580 797 -> 158603 799 -> 294032 801 -> 35244 803 -> 6424 807 -> 216276 809 -> 163418 811 -> 656910 813 -> 4065 817 -> 102942 819 -> 1638 821 -> 673220 823 -> 676506 827 -> 341551 829 -> 228804 831 -> 19113 833 -> 39984 837 -> 4185 839 -> 351541 841 -> 23548 843 -> 23604 847 -> 5082 849 -> 39903 851 -> 56166 853 -> 181689 857 -> 733592 859 -> 22334 861 -> 8610 863 -> 743906 867 -> 13872 869 -> 22594 871 -> 57486 873 -> 27936 877 -> 384126 879 -> 128334 881 -> 387640 883 -> 389403 887 -> 785882 889 -> 5334 891 -> 1782 893 -> 369702 897 -> 19734 899 -> 377580 901 -> 187408 903 -> 1806 907 -> 136957 909 -> 3636 911 -> 414505 913 -> 74866 917 -> 357630 919 -> 421821 921 -> 46971 923 -> 193830 927 -> 31518 929 -> 431056 931 -> 16758 933 -> 144615 937 -> 877032 939 -> 97656 941 -> 884540 943 -> 103730 947 -> 447931 949 -> 22776 951 -> 75129 953 -> 907256 957 -> 26796 959 -> 23016 961 -> 14415 963 -> 51039 967 -> 311374 969 -> 46512 971 -> 941870 973 -> 134274 977 -> 953552 979 -> 3916 981 -> 11772 983 -> 965306 987 -> 45402 989 -> 456918 991 -> 490545 993 -> 109230 997 -> 165502 999 -> 999 1001 -> 6006 1003 -> 465392
Il semblerait que pour tous les nombres premiers* (P), le nombre de repetitions necessaires est soit P*(P-1), soit un diviseur de P*(P-1). Donc, je postule que si on repete un nombre quelconque N, un nombre de fois R, ou R = P * (P-1) et P est premier, alors, le nombre N répété est divisible par P. On peut aussi dire que quelque soient N et P (P étant premier*), il est possible de trouver un nombre X qui contienne un répétition de N et est divisible par P. Note: ici Premier* signifie Premier, mais pas un diviseur de la base dans laquelle on ecrit N, donc en base 10, sauf 2 et 5.
Si on choisi un diviseur Q non-premier, soit Q=A*B, le nombre de repetitions necessaires est le PPCM de f(A) et f(B), si A et B sont premiers entre eux. (ca ne marche pas pour 9, 27, 49, 81, etc... qui sont des puissances de nombres premiers)
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#21 - 31-12-2015 06:50:40
- portugal
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Trsikaidekaphobia
pas tout vérifié mais ça m'a l'air bien beau dhrm...
C'est amusant cette spécificité du 5 dont les multiples semblent être les seuls à ne pas fonctionner...avec ceux de 2 bien sur (cf nodgim)
#22 - 31-12-2015 08:59:56
- enigmatus
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truskaidekaphobia
Bonjour, Les restes de la division par 13 des puissances successives de 10 sont périodiques de période 6 : 1, 10, 9, 12, 13, 4
Pour voir quel est le nombre de répétitions nécessaires d'un nombre de 3 chiffres (par exemple), on va additionner - le 1er reste : 1 - le 4ème : 12 On s'arrête parce que la somme de ces restes est un multiple de 13, et que le produit de la taille du nombre initial (ici 3) et du nombre de répétitions (ici 2) est un multiple de 6 (la période des restes).
On applique le même raisonnement pour toutes les longueurs de 1 à 6 (on peut s'arrêter là à cause de la périodicité des restes).
Le plus petit multiple commun à tous ces nombres est 78.
#23 - 31-12-2015 09:31:35
- scarta
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Triskaidekaphbia
1001 est un multiple de 13. Par conséquent, 1001 * 111 = 111111 aussi. De là, on en déduit que tout nombre écrit avec 6N fois le chiffre 1 est multiple de 13, et plus généralement que tout nombre écrit avec 6N fois le même chiffre C aussi (puisque ce nombre vaut C * 111111...)
#24 - 31-12-2015 10:02:35
- portugal
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troskaidekaphobia
Correct mais on parle de nombres, pas de chiffres, scarta.
#25 - 31-12-2015 11:18:25
- nodgim
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Triskaidekaphoba
La répétition par 5 ou par 2 ne sert à rien, car 2 et 5 ne sont pas premiers avec la base 10.
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