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 #1 - 22-01-2016 18:09:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

frzction d'énigme.

Bonsoir à tous

Un petit problème de rien du tout sur les fractions inspiré par le dernier gâteau de Vasimolo. Un problème de collège.

A partir de la fraction Uo/Vo= 101/400, on établit une suite de fractions telle que:
U(n+1)=Un + 1
V(n+1)= max tel que U(n+1)/V(n+1) > Un/Vn.

Cette suite donne t elle toujours des fractions irréductibles ?  Sinon, peut on prédire où la réduction est possible ?

Mêmes questions pour toute fraction de départ < 1

Bon amusement



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 #2 - 22-01-2016 22:46:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Fraction d'éniigme.

Bonjour Nodgim

On montre facilement par récurrence que [latex]V_n=403+3n[/latex] . Donc [latex]\frac{V_n}{U_n}=3+\frac{97}{n+101}[/latex] . La fraction se simplifie donc chaque fois que [latex]n\equiv 93 \text{[Mod 97]}[/latex] .

Je n'ai pas réfléchi au cas général .

Vasimolo

 #3 - 23-01-2016 00:31:09

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Fraction dé'nigme.

écrivons V(n+1) = V(n) + q
alors U(n+1)/V(n+1) - U(n)/V(n) > 0 <=> V(n) - qU(n) > 0
q doit être maximale donc q est le quotient de la division euclidienne de V(n) par U(n)
On peut écrire
V(n) = qU(n) + r où  r < U(n)
Ensuite
V(n)+q = q(U(n)+1) + r où r < U(n)+1
<=> V(n+1) = qU(n+1) + r où  r < U(n+1)
Donc V(n) est toujours incrémenté du même nombre q :
U(n)/V(n) = (Uo+n)/(Vo+nq) = (Uo+n)/(r + q(Uo+n))

On en déduit que k divise U(n) et V(n) <=> k divise U(n) et r
Conclusion :
Les fractions sont irréductible si r = 1
Sinon, pour tous k diviseur de r plus grand que 1, la fraction sera réductible par k en chaque n = kx - Uo où x est un entier tel que kx > Uo

Pour l'exemple  400 = 3*101 + 97
97 est premier donc la suite sera réductible uniquement pour n = 97x - 101 où x > 1

 #4 - 23-01-2016 08:24:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

Fraction d'énigem.

@Vasimolo: oui. La généralisation est à peine plus compliquée, mais il faudra tout de même faire autre chose que de la récurrence.

@Matthieu: la première partie est impeccable, mais la conclusion est un peu hâtive, revoir.

@tous: s'il y a possiblité de réduction, qu'on l'applique et qu'on continue la suite à partir de la forme irréductible, que se passe t 'il ?

 #5 - 23-01-2016 09:08:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Fraction 'énigme.

En fait la généralisation utilise exactement la même méthode smile

On note [latex]q[/latex] et [latex]r[/latex] le quotient et le reste de la division euclidienne de [latex]V_0[/latex] par [latex]U_0:[/latex]
[TeX]V_n=V_0+qn[/TeX]
Alors [latex]\frac{V_n}{U_n}=q+\frac{r}{U_0+n}.[/latex]

La fraction [latex]\frac{V_n}{U_n}[/latex] est réductible si et seulement si [latex]n\equiv-U_0\text{ [Mod }p\text{]}[/latex] ou [latex]p[/latex] est un facteur premier du reste [latex]r[/latex] .

Vasimolo

 #6 - 23-01-2016 09:43:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

FFraction d'énigme.

Vasimolo, je ne doute pas de la suite arithmétique, et je ne doute pas non plus que tu sais le prouver, mais ce serait mieux en le montrant. 2 ou 3 lignes suffiront.

 #7 - 23-01-2016 10:02:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4776

Fraction 'dénigme.

C'est une simple récurrence smile

Vasimolo

 #8 - 23-01-2016 10:11:22

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

frzction d'énigme.

J'ai corrigé ma petite erreur

Je vais voir maintenant le cas de la simplification :
Si la fraction se simplifie par k alors k divise r = kr' (voir l'équivalence de mon premier message)
V(n)/k = qU(n)/k + r' où r' < U(n)/k
Le quotient q de la division ne change pas, V(n) est incrémenté toujours de la même manière. r sera rapidement réduit à 1, la suite sera ensuite irréductible et sa limite reste 1/q

A noter que l'ordre de simplification ne suit pas forcément l'ordre des diviseurs de r exemple : 19/34 -> 20/35 = 4/7 -> 5/8 -> 6/9 = 2/3 -> ...
La simplification par 5 est venue avant la simplification par 3
Comme les simplification on lieu pour les n = kx-Uo minimaux alors n <= k-1
On en déduit que la fraction sera totalement simplifié au moins à n = S - m où S est la somme des facteurs premiers de r et m le nombre de ces facteurs

Merci pour l'énigme smile

 #9 - 23-01-2016 11:11:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

Fraction d'énigm.

C'est bon maintenant Matthieu. J'ai trouvé que c'était assez joli comme suite, pas du tout évident avant qu'on n'y regarde de plus près.

@Vasimolo: je suis d'accord pour la récurrence, mais il y a tout de même le début à démontrer.

 #10 - 23-01-2016 22:53:31

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

Fraction d'nigme.

Je trouve :

V(n+1)=ent(Vn*U(n+1)/Un)

Est ce la bonne façon de démarrer?

 #11 - 24-01-2016 08:39:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

Fractio nd'énigme.

C'est théoriquement bon, mais tu n'iras pas loin avec ça. Fais quelques essais pour te rendre compte...

 #12 - 26-01-2016 18:54:29

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3133

fraction d'énigmr.

Pour cette micro énigme, il fallait juste voir que si on pose:
Vn= k*Un + r
V(n+1)=k*Un + r + x
avec U(n+1) / V(n+1) > Un / Vn
donc U(n+1)* Vn > Un * V (n+1)
(Un + 1 ) * ( k * Un + r ) > Un * ( k * Un + r + x)
k * Un + r > x * Un
x < k + r/Un

x=k  car r/Un < 1.

La suite des fractions s'écrit alors : (U0 + n)  / (k * (U0 + n ) + r )

La suite des fractions n'est irréductible que si r = 1

Merci aux participants.

 

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