Je savais que ça allait être vite réglé. C'est bien, Monsieur, mais il me semble qu'il y a d'autres décompositions qui marchent.

Soient a, b et n des entiers non nuls et différents de 1.

On cherche a et b tels que [latex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{n}  [/latex]
[TeX]\Leftrightarrow  \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{n}[/TeX][TeX]  \Leftrightarrow  \frac{ab}{a+b} = n[/TeX]
La dernière équations n'est pas irréductible car n est différent de [latex]1[/latex], [latex]ab[/latex] et [latex]a+b[/latex] sont donc premiers entre eux. [latex]a[/latex] et[latex] b[/latex] ne peuvent être premiers entre eux car dans ce cas là [latex]ab[/latex] et [latex]a+b[/latex] le serait.

Edit je comprends pourquoi je n'ai que peu de solutions, j'ai écrit a et b pas premiers entre eux  [latex]\Leftrightarrow  a = kb[/latex]

Je crois avoir trouvé un technique pour plus de solutions.
En effet a et b pas premiers entre eux  [latex]\Leftrightarrow  ka' = kb'[/latex] avec a' et b' premiers entre eux et k leur PGCD.

On a  [latex] \frac{ka'kb'}{k(a'+b')} = \frac{ka'b'}{a'b'}  = n[/latex]

On en déduit que[latex]\frac{k'}{a'+b'}[/latex]et [latex]a'b'[/latex] sont des diviseurs de n. Vu qu'on peut fixer k comme on le souhaite, il est simple de trouver des solutions.

Prenons 15, diviseur. a'= 5 et b' = 3.  a' + b' = 8 donc on prendra k = 4*8 = 32.

a = 32.5 = 160 et b = 32.3 = 196. On a bien 1/160 + 1/96 = 1/60.

La suite se fera au tableur. Avec, je trouve 24 solutions est-ce correct ?

1/60= 1/3660+1/61
1/60= 1/3660+1/61     
1/60= 1/1860+1/62     
1/60= 1/1260+1/63   
1/60= 1/960+1/64     
1/60= 1/780+1/65     
1/60= 1/660+1/66     
1/60= 1/510+1/68     
1/60= 1/460+1/69     
1/60= 1/420+1/70     
1/60= 1/360+1/72     
1/60= 1/300+1/75     
1/60= 1/285+1/76     
1/60= 1/260+1/78   
1/60= 1/240+1/80   
1/60= 1/210+1/84   
1/60= 1/204+1/85     
1/60= 1/180+1/90     
1/60= 1/160+1/96     
1/60= 1/150+1/100     
1/60= 1/140+1/105     
1/60= 1/135+1/108     
1/60= 1/132+1/110     
1/60= 1/120 + 1/120

Pour le nombre de solutions pour n, je sais juste que c'est le nombre de couples de diviseurs premiers de n. Ainsi pour 1024 = 2^10 il y a 11 diviseurs premiers avec 1 et donc 11 solutions :

1/1024= 1/1049600+1/1025
1/1024= 1/525312+1/1026     
1/1024= 1/263168+1/1028   
1/1024= 1/132096+1/1032     
1/1024= 1/66560+1/1040     
1/1024= 1/33792+1/1056     
1/1024= 1/17408+1/1088     
1/1024= 1/9216+1/1152     
1/1024= 1/5120+1/1280     
1/1024= 1/3072+1/1536   
1/1024= 1/1048+1/1048

Je cherche maintenant à trouver le nombre de couple de diviseurs premiers entre eux en fonction de la décomposition en facteurs premiers de n.

J'en trouve 22 : (selon si on garde 1/120 + 1/120 avec le même dénominateur)
61/3660
62/1860
63/1260
64/960
65/780
66/660
68/510
69/460
70/420
72/360
75/300
76/285
78/260
80/240
84/210
85/204
90/180
96/160
100/150
105/140
108/135
110/132
(120/120)

Ca correspond à tous les cas ou les facteurs premiers du premier dénominateur D (entre 61 et 120) et de 60 ne permettent pas d'obtenir  D-60 je crois.

C'est peut être un problème "scolaire" mais il me plais bien

Après avoir commencé à lister les sommes de fraction pour 1/60 sans méthode, je me suis dit qu'il vaudrait mieux résoudre le cas général directement...

Je pense qu'il y a autant de somme de 2 fractions égyptiennes = 1/n qu'il y a de manière d'écrire n=kab où a est premier avec b

En effet on peut mettre toute solution pour 1/n sous la forme :
1/n = 1/(pa)+1/(pb) où a est premier avec b
alors 1/n = (a+b)/(pab)
donc a+b divise pab
or a+b est premier avec a et b
donc a+b divise p : p=k(a+b)
Finalement 1/n = 1/(k(a+b)a) + 1/(k(a+b)b) d'où n=kab

La dernière formule de 1/n donne la réciproque immédiatement si on part de n=kab avec a premier avec b.

Je ne trouve pas de formule simple pour le dénombrement des manières de décomposer n=kab avec a premier avec b.
Cependant on peut préciser une méthode pour les lister:

Pour chaque diviseur p de n, on recherche les manière de l'écrire sous la forme :
p=ab où a est premier avec b,
il y en a 2^(q-1) manières, où q est le nombre de diviseur premier de p (autant de manières que de répartir entre deux nombres a et b les diviseurs premiers de p, élevé à leur puissance dans la décomposition de a et b)

Exemple : 60 avec 3*2*2=12 diviseurs, cela donne:
1 : (pas de diviseur premier)
2 : 2 -> 2^0= 1
3 : 3 -> 2^0= 1
4 : 2 -> 2^0= 1
5 : 5 -> 2^0= 1
6 : 2 3 -> 2^1= 2
10 : 2 5 -> 2^1= 2
12 : 2 3 -> 2^1= 2
15 : 3 5 -> 2^1= 2
20 : 2 5 -> 2^1= 2
30 : 2 3 5-> 2^2= 4
60 : 2 3 5-> 2^2= 4

En tout 1/60 a 1+1+1+1+2+2+2+2+2+4+4=22 décompositions en somme de deux fractions égyptiennes.

Je détaille le cas ab=30 et k=2
1) a=30 b=1 -> 1/60 = 1/(2(30+1))+1/(2(30+1)*30) = 1/62 + 1/1860
2) a=15 b=2 -> 1/60 = 1/(2(15+2)*2)+1/(2(15+2)*15) = 1/68 + 1/510
3) a=10 b=3 -> 1/60 = 1/(2(10+3)*3)+1/(2(10+3)*10) = 1/78 + 1/260
4) a=6 b=5 -> 1/60 = 1/(2(6+5)*5)+1/(2(6+5)*6) = 1/110 + 1/132

PS: Champollion me dit que w9Lyl6n signifie Mathieu

Pour d'autres compositions je cherche mais pour la formule générale je l'ai dit dans mon poste 1er en l'éditant.

Ah bon? les doubles sont autorisés, wikipedia me disait que les égyptiens les excluaient...
Cela dit ça ne change pas grand chose puisque qu'il n'y a que 1/2n+1/2n qui est double.

On montre que [latex]\frac1a+\frac1b=\frac{1}{60} \Leftrightarrow (a-60)(b-60)=3600[/latex]

Le nombre de couples [latex](a;b)[/latex] solutions en tenant compte de l'ordre est donné par le nombre de diviseurs de 3600.

Si l'on ne retient que les solutions positives, cela fait 45 couples solutions, et donc en ne tenant pas compte de l'ordre, 23 solutions.

Pour le cas général, le nombre de solutions est donné par la "moitié" du nombre de diviseurs de [latex]n^2[/latex].

Si l'on note [latex]a_1, ..., a_p[/latex] les exposants dans la décomposition en facteurs premiers de [latex]n[/latex], le nombre de solutions est [latex]\frac{1+\prod{(2a_i+1)}}{2}[/latex]

Pour [latex]n[/latex] fixé, l'ensemble des couples [latex](a;b)[/latex] solutions de l'équation [latex]\frac1a + \frac1b = \frac1n[/latex] sont ceux de la forme [latex](n+d;n+d')[/latex] avec [latex]dd'=n^2[/latex].

Il y a une solution avec [latex]a=b[/latex], lorsque [latex]d=d'=n[/latex], c-à-d [latex]a=b=2n[/latex].

Pour les autres solutions avec [latex]a \neq b[/latex], les 2 couples [latex](n+d;n+d')[/latex] et [latex](n+d';n+d)[/latex] fournissent en fait la même décomposition en ne tenant pas compte de l'ordre.

Cela explique pourquoi le nombre de décompositions est égal à la moitié du nombre de diviseurs de [latex]n^2[/latex], arrondie à l'entier supérieur.

OK Titoufred, ça allait sans le dire, mais c'est mieux en le disant.
Bravo Matthieu, c'est bien ça.

1/n = 1/a + 1/b => b = n.[n/(a-n) + 1]
Pour ne pas avoir b < 0, on doit avoir a-n > 0 soit a > n et pour ne pas en avoir en double, on doit avoir a-n =< n soit a =< 2n. On doit donc avoir: n < a =< 2n.
Comme (a-n) doit diviser n, le nombre de façons différentes pour décomposer 1/n en somme de 2 fractions égyptiennes est le nombre de diviseurs de n. Dans notre cas particulier de 60 = 2² x 3 x 5, ce nombre est de 3 x 2 x 2 = 12.

Merci aux participants. Titoufred a donné une réponse suffisamment étayée pour n'avoir rien à ajouter. Il fallait bien penser à ne pas oublier les diviseurs du carré de n, petit piège qui a fonctionné pour les réponses données rapidement.