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 #1 - 18-01-2013 18:42:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Récréatioon avec une fraction égyptienne.

Bonsoir à tous,
Un problème facile pour justifier de ne pas sortir par ce froid.
De combien de façons différentes peut on décomposer 1/60 en somme de 2 fractions égyptiennes ?
A peine plus difficile: même question pour n'importe quel nombre de forme 1/n.

C'est pas trés méchant, j'espère que ce n'est pas trop scolaire...



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 #2 - 18-01-2013 19:27:45

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Récération avec une fraction égyptienne.

Si  les deux dénominateurs peuvent être identiques alors 1/120 plus 1/120 marche sinon ça donne : 1/60 = 1/61 + 1/3660 selon la régle de 1/n = 1/(n+1) + 1/n(n+1).
Voilà, je ne sais pas s'il y'a d'autres façons ...

Edit : Ah non ça marche pas 61 n'est pas positif mais j'ai trouvé d'autres façons :
1/120 + 1/120
1/180 + 1/90
1/240 + 1/80
1/300 + 1/75
1/360 + 1/72
1/420 + 1/70
1/660 + 1/66
1/780 + 1/65
1/960 + 1/64
1/1260 + 1/63
1/1860 + 1/62
1/3600 + 1/61
Ce qui donne 12 résultats, c'est à dire le nombre de diviseurs de 60.
Si k correspond au nombre de diviseurs de n (1 et n compris), alors il y aura k solutions pour décomposer 1/n en deux fractions égyptiennes et si les deux dénominateurs peuvent pas être identiques il y aura k-1 solution(s).

Edit 2 : Pour déterminer les paires : soit x un des diviseurs de n (n'importe lequel), alors la paire correspondante à ce diviseur est :
1/n*1/(x+1) et 1/n*x/(x+1).

 #3 - 18-01-2013 20:03:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Récréation avec une fraction égyptiennee.

Je savais que ça allait être vite réglé. C'est bien, Monsieur, mais il me semble qu'il y a d'autres décompositions qui marchent.

 #4 - 18-01-2013 20:24:29

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Récréation avec une fractino égyptienne.

Ah bon ? Et juste pour les fractions égyptiennes, je crois qu'il ne faut pas que dénominateurs soient impairs ... donc y'a que les 2/3 qui marchent ...

 #5 - 18-01-2013 22:37:10

JulesV
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 52

Récréation avec une faction égyptienne.

Soient a, b et n des entiers non nuls et différents de 1.

On cherche a et b tels que [latex]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{n}  [/latex]
[TeX]\Leftrightarrow  \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{n}[/TeX][TeX]  \Leftrightarrow  \frac{ab}{a+b} = n[/TeX]
La dernière équations n'est pas irréductible car n est différent de [latex]1[/latex], [latex]ab[/latex] et [latex]a+b[/latex] sont donc premiers entre eux. [latex]a[/latex] et[latex] b[/latex] ne peuvent être premiers entre eux car dans ce cas là [latex]ab[/latex] et [latex]a+b[/latex] le serait.

Edit je comprends pourquoi je n'ai que peu de solutions, j'ai écrit a et b pas premiers entre eux  [latex]\Leftrightarrow  a = kb[/latex] roll

Je crois avoir trouvé un technique pour plus de solutions.
En effet a et b pas premiers entre eux  [latex]\Leftrightarrow  ka' = kb'[/latex] avec a' et b' premiers entre eux et k leur PGCD.

On a  [latex] \frac{ka'kb'}{k(a'+b')} = \frac{ka'b'}{a'b'}  = n[/latex]

On en déduit que[latex]\frac{k'}{a'+b'}[/latex]et [latex]a'b'[/latex] sont des diviseurs de n. Vu qu'on peut fixer k comme on le souhaite, il est simple de trouver des solutions.

Prenons 15, diviseur. a'= 5 et b' = 3.  a' + b' = 8 donc on prendra k = 4*8 = 32.

a = 32.5 = 160 et b = 32.3 = 196. On a bien 1/160 + 1/96 = 1/60.

La suite se fera au tableur. Avec, je trouve 24 solutions est-ce correct ? hmm

1/60= 1/3660+1/61
1/60= 1/3660+1/61     
1/60= 1/1860+1/62     
1/60= 1/1260+1/63   
1/60= 1/960+1/64     
1/60= 1/780+1/65     
1/60= 1/660+1/66     
1/60= 1/510+1/68     
1/60= 1/460+1/69     
1/60= 1/420+1/70     
1/60= 1/360+1/72     
1/60= 1/300+1/75     
1/60= 1/285+1/76     
1/60= 1/260+1/78   
1/60= 1/240+1/80   
1/60= 1/210+1/84   
1/60= 1/204+1/85     
1/60= 1/180+1/90     
1/60= 1/160+1/96     
1/60= 1/150+1/100     
1/60= 1/140+1/105     
1/60= 1/135+1/108     
1/60= 1/132+1/110     
1/60= 1/120 + 1/120

Pour le nombre de solutions pour n, je sais juste que c'est le nombre de couples de diviseurs premiers de n. Ainsi pour 1024 = 2^10 il y a 11 diviseurs premiers avec 1 et donc 11 solutions :

1/1024= 1/1049600+1/1025
1/1024= 1/525312+1/1026     
1/1024= 1/263168+1/1028   
1/1024= 1/132096+1/1032     
1/1024= 1/66560+1/1040     
1/1024= 1/33792+1/1056     
1/1024= 1/17408+1/1088     
1/1024= 1/9216+1/1152     
1/1024= 1/5120+1/1280     
1/1024= 1/3072+1/1536   
1/1024= 1/1048+1/1048

Je cherche maintenant à trouver le nombre de couple de diviseurs premiers entre eux en fonction de la décomposition en facteurs premiers de n.

 #6 - 19-01-2013 07:51:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

récréation avec une graction égyptienne.

2ème réponse et même incomplétude, dirait Ségolène.

 #7 - 19-01-2013 10:01:13

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Récréation avec une fraction égyptienne..

J'en trouve 22 : (selon si on garde 1/120 + 1/120 avec le même dénominateur)
61/3660
62/1860
63/1260
64/960
65/780
66/660
68/510
69/460
70/420
72/360
75/300
76/285
78/260
80/240
84/210
85/204
90/180
96/160
100/150
105/140
108/135
110/132
(120/120)

Ca correspond à tous les cas ou les facteurs premiers du premier dénominateur D (entre 61 et 120) et de 60 ne permettent pas d'obtenir  D-60 je crois.

 #8 - 19-01-2013 10:54:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

récréation avec une fractiob égyptienne.

C'est bon pour ta liste, Gwen. Il te reste maintenant à pousser un peu plus l'analyse sur le cas général. Ce n'est pas dénué d'intérêt.

 #9 - 19-01-2013 11:34:04

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Récréation avec une fraction égypteinne.

C'est peut être un problème "scolaire" mais il me plais bien smile

Après avoir commencé à lister les sommes de fraction pour 1/60 sans méthode, je me suis dit qu'il vaudrait mieux résoudre le cas général directement...

Je pense qu'il y a autant de somme de 2 fractions égyptiennes = 1/n qu'il y a de manière d'écrire n=kab où a est premier avec b

En effet on peut mettre toute solution pour 1/n sous la forme :
1/n = 1/(pa)+1/(pb) où a est premier avec b
alors 1/n = (a+b)/(pab)
donc a+b divise pab
or a+b est premier avec a et b
donc a+b divise p : p=k(a+b)
Finalement 1/n = 1/(k(a+b)a) + 1/(k(a+b)b) d'où n=kab

La dernière formule de 1/n donne la réciproque immédiatement si on part de n=kab avec a premier avec b.

 #10 - 19-01-2013 11:48:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

récréatiin avec une fraction égyptienne.

Matthias ton raisonnement est bon, mais il faut aller plus loin.

 #11 - 19-01-2013 12:49:22

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Réréation avec une fraction égyptienne.

Je ne trouve pas de formule simple pour le dénombrement des manières de décomposer n=kab avec a premier avec b.
Cependant on peut préciser une méthode pour les lister:

Pour chaque diviseur p de n, on recherche les manière de l'écrire sous la forme :
p=ab où a est premier avec b,
il y en a 2^(q-1) manières, où q est le nombre de diviseur premier de p
(autant de manières que de répartir entre deux nombres a et b les diviseurs premiers de p, élevé à leur puissance dans la décomposition de a et b)

Exemple : 60 avec 3*2*2=12 diviseurs, cela donne:
1 : (pas de diviseur premier)
2 : 2 -> 2^0= 1
3 : 3 -> 2^0= 1
4 : 2 -> 2^0= 1
5 : 5 -> 2^0= 1
6 : 2 3 -> 2^1= 2
10 : 2 5 -> 2^1= 2
12 : 2 3 -> 2^1= 2
15 : 3 5 -> 2^1= 2
20 : 2 5 -> 2^1= 2
30 : 2 3 5-> 2^2= 4
60 : 2 3 5-> 2^2= 4

En tout 1/60 a 1+1+1+1+2+2+2+2+2+4+4=22 décompositions en somme de deux fractions égyptiennes.

Je détaille le cas ab=30 et k=2
1) a=30 b=1 -> 1/60 = 1/(2(30+1))+1/(2(30+1)*30) = 1/62 + 1/1860
2) a=15 b=2 -> 1/60 = 1/(2(15+2)*2)+1/(2(15+2)*15) = 1/68 + 1/510
3) a=10 b=3 -> 1/60 = 1/(2(10+3)*3)+1/(2(10+3)*10) = 1/78 + 1/260
4) a=6 b=5 -> 1/60 = 1/(2(6+5)*5)+1/(2(6+5)*6) = 1/110 + 1/132

PS: Champollion me dit que w9Lyl6n signifie Mathieu wink

 #12 - 19-01-2013 13:04:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Récration avec une fraction égyptienne.

Bon, c'est OK pour 1/60 (j'ai compté le double 1/120 +1/120, y a pas de raison de l'ignorer). Maintenant, il faut trouver une formule générale pour 1/n.

 #13 - 19-01-2013 13:41:17

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

récréation zvec une fraction égyptienne.

Pour d'autres compositions je cherche mais pour la formule générale je l'ai dit dans mon poste 1er en l'éditant.

 #14 - 19-01-2013 13:44:01

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Récréation avec une fractino égyptienne.

A Saban:
Certes, mais ce n'est pas la bonne réponse. Il y a plus de solutions réelles que dans ta formule.

 #15 - 19-01-2013 14:04:30

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
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récréation avec une feaction égyptienne.

Ah bon? les doubles sont autorisés, wikipedia me disait que les égyptiens les excluaient... hmm
Cela dit ça ne change pas grand chose puisque qu'il n'y a que 1/2n+1/2n qui est double.

 #16 - 19-01-2013 14:25:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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récréation avec une fractoon égyptienne.

Comme tu dis. Mais là n'est pas l'essentiel.

 #17 - 19-01-2013 16:09:11

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Récréation avec une fraction égypitenne.

On montre que [latex]\frac1a+\frac1b=\frac{1}{60} \Leftrightarrow (a-60)(b-60)=3600[/latex]

Le nombre de couples [latex](a;b)[/latex] solutions en tenant compte de l'ordre est donné par le nombre de diviseurs de 3600.

Si l'on ne retient que les solutions positives, cela fait 45 couples solutions, et donc en ne tenant pas compte de l'ordre, 23 solutions.

Pour le cas général, le nombre de solutions est donné par la "moitié" du nombre de diviseurs de [latex]n^2[/latex].

Si l'on note [latex]a_1, ..., a_p[/latex] les exposants dans la décomposition en facteurs premiers de [latex]n[/latex], le nombre de solutions est [latex]\frac{1+\prod{(2a_i+1)}}{2}[/latex]

 #18 - 19-01-2013 17:33:59

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Rcréation avec une fraction égyptienne.

1ère bonne réponse pour Titoufred.
Tu es juste passé un peu vite sur l'histoire de "la moitié", un petit complément ne serait pas superflu.

 #19 - 19-01-2013 19:02:19

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

récréatipn avec une fraction égyptienne.

Pour [latex]n[/latex] fixé, l'ensemble des couples [latex](a;b)[/latex] solutions de l'équation [latex]\frac1a + \frac1b = \frac1n[/latex] sont ceux de la forme [latex](n+d;n+d')[/latex] avec [latex]dd'=n^2[/latex].

Il y a une solution avec [latex]a=b[/latex], lorsque [latex]d=d'=n[/latex], c-à-d [latex]a=b=2n[/latex].

Pour les autres solutions avec [latex]a \neq b[/latex], les 2 couples [latex](n+d;n+d')[/latex] et [latex](n+d';n+d)[/latex] fournissent en fait la même décomposition en ne tenant pas compte de l'ordre.

Cela explique pourquoi le nombre de décompositions est égal à la moitié du nombre de diviseurs de [latex]n^2[/latex], arrondie à l'entier supérieur.

 #20 - 19-01-2013 19:40:01

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

récréation avec une fracyion égyptienne.

ça y est, j'ai trouvé:
en développant les dénominateur de 1/n = 1/(k(a+b)a) + 1/(k(a+b)b) où n=kab,
on obtient 1/n = 1/(n(1+a/b))+1/(n(1+b/a))
il y a donc autant de solution que de (a/b , b/a) de fractions irréductibles avec a/b utilisant les facteurs premiers de n
Notons n= produit a_i^q_i la décomposition en facteurs premiers
Pour trouver a/b qui convient, il suffit de prendre les puissance de a_i entre -q_i et q_i, soit 2q_i+1 possibilité
Finalement, le nombre de solution est = (produit (2q_i+1) -1)/2 +1
(On divise par 2 pour les fraction différente de 1 car elle sont comptés 2 fois avec leur inverse)

 #21 - 19-01-2013 20:11:18

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Récraétion avec une fraction égyptienne.

OK Titoufred, ça allait sans le dire, mais c'est mieux en le disant.
Bravo Matthieu, c'est bien ça.

 #22 - 20-01-2013 23:42:51

ELMANITOU
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Récréation vaec une fraction égyptienne.

1/120 + 1/120

 #23 - 21-01-2013 13:29:16

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

Récréation avec une frraction égyptienne.

1/n = 1/a + 1/b => b = n.[n/(a-n) + 1]
Pour ne pas avoir b < 0, on doit avoir a-n > 0 soit a > n et pour ne pas en avoir en double, on doit avoir a-n =< n soit a =< 2n. On doit donc avoir: n < a =< 2n.
Comme (a-n) doit diviser n, le nombre de façons différentes pour décomposer 1/n en somme de 2 fractions égyptiennes est le nombre de diviseurs de n. Dans notre cas particulier de 60 = 2² x 3 x 5, ce nombre est de 3 x 2 x 2 = 12.

 #24 - 21-01-2013 16:21:56

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

récréation avec yne fraction égyptienne.

On peut écrire 1/60 sous la forme 1/a+1/b de 45 façons possibles.
1  [61, 3660]
2  [62, 1860]
3  [63, 1260]
4  [64, 960]
5  [65, 780]
6  [66, 660]
7  [68, 510]
8  [69, 460]
9  [70, 420]
10  [72, 360]
11  [75, 300]
12  [76, 285]
13  [78, 260]
14  [80, 240]
15  [84, 210]
16  [85, 204]
17  [90, 180]
18  [96, 160]
19  [100, 150]
20  [105, 140]
21  [108, 135]
22  [110, 132]
23  [120, 120]
On note S=a+b, P=ab. On doit donc avoir P=60*S. Donc a et b sont solutions de X^2-S*X+60*S = 0  etc
Si l'on suppose a<=b, il suffit d'examiner les cas 61<=a<=120.
Je n'ai pas le temps de traiter le cas 1/n .

 #25 - 22-01-2013 17:51:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

récréation avec une fractuon égyptienne.

Merci aux participants. Titoufred a donné une réponse suffisamment étayée pour n'avoir rien à ajouter. Il fallait bien penser à ne pas oublier les diviseurs du carré de n, petit piège qui a fonctionné pour les réponses données rapidement.

 

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