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 #1 - 02-07-2013 14:32:00

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

Qiu trouvera le plus de zéros ?

Bonjour bonjour, je poste une énigme purement mathématique pour mon 100ème message ici (que je mets sous la forme d'un petit jeu concours!).

L'inspiration me vient des fonctions d'Airy.

Je vous propose l'équation différentielle suivante, qui ressemble un peu à celle du monsieur cité juste au-dessus :
[TeX]x''(t) + tx(t) = 0[/TeX]
Voilà l'idée : je vous propose d'essayer de trouver le nombre minimal de zéros que toute fonction non nulle de cette équation possède sur I, avec I=[0 ; 100].

Mathématiquement parlant, il s'agit de trouver le meilleur minorant de cette quantité :

[latex]\underset{\displaystyle{f \in S}}{\min} \left(\text{Card} \{ a \in I, f(a) = 0 \}\right)[/latex],

avec [latex]S[/latex] l'ensemble solution de l'équation différentielle.

Après, on pourra envisager un petit classement suivant ce que les participants ont trouvé! smile Je posterai parfois des indices pour aider s'il y a besoin (ils aiguilleront vers ma solution, mais ce n'est pas grave)! Voilà, à vous de jouer! Je laisse initialement autant d'heures que j'ai posté de messages.

Alexein41

Spoiler : Indice 0,01 Les réponses possibles sont au mieux des entiers naturels. smile

Spoiler : Indice 0,02 Si vous ne voyez vraiment pas, vous pouvez tenter 1 comme réponse, puisque si 1 ne convenait pas, alors aucune fonction non nulle ne s'annulerait, tout le monde trouverait 0 et mon petit concours serait absurde. (C'est une démonstration satisfaisante)

Spoiler : Indice 1 A partir de maintenant, fini les indices foireux.
Je ne me suis pas servi des fonctions d'Airy pour trouver mon minorant, seulement de la forme de l'équation différentielle.


Spoiler : Indice 2 Si je devais vous emmener sur ma piste, je dirais : ne cherchez pas à résoudre l'équation différentielle, du moins pas celle-ci !



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 #2 - 02-07-2013 16:32:38

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

Qui truovera le plus de zéros ?

@vladimir37 : La solution de l'équation différentielle ne peut être sous aucune des formes que tu as citées malheureusement hmm : quand tu remplaces les fonctions essayées dans l'équation différentielle, tu n'obtiens pas 0 des deux côtés pour tout t appartenant à I. Si tu veux, tu peux voir à quoi ressemblent les seules solutions, pour cela, il te suffit de cliquer sur le lien hypertexte "Airy" de mon premier post. Cependant, essayer de manipuler ces fonctions s'avère être chose difficile ! sad

 #3 - 02-07-2013 16:51:55

vladimir37
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 503
Lieu: nantes

qui rrouvera le plus de zéros ?

Où sont mes erreurs?

 #4 - 02-07-2013 17:03:23

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

Qui trouvera le plus de éros ?

Je t'ai envoyé un MP !

 #5 - 03-07-2013 15:16:31

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

qui trouvera me plus de zéros ?

Personne d'autre ne veut essayer ?

Spoiler : Indice 3 On peut essayer de comparer cette équation différentielle avec une autre, par exemple :
[latex]x''(t) + ax(t) = 0[/latex], avec a une constante. Les informations que l'on peut déduire sur cette équation en amèneront d'autres très importantes sur l'initiale.

 #6 - 03-07-2013 16:15:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

qui ttouvera le plus de zéros ?

Ah, les équations différentielles lol
Je m'essaye pour ce que tu as écris dans ton spoiler 3 :


On considère la fonction x (de t) vérifiant : [latex]x''+ax=0[/latex]
On va chercher les solutions de la formes [latex]x=e^{\lambda t}[/latex]

On cherche donc x telle que [latex]\lambda^2 e^{\lambda t}+a e^{\lambda t}=0 \Longleftrightarrow (\lambda^2+a)e^{\lambda t}=0[/latex]
[TeX]\Longleftrightarrow (\lambda^2+a)=0[/TeX]
car [latex]\forall X \in \mathbb{R} exp(X)>0[/latex] on a donc [latex]\lambda=\pm i\sqrt{a}[/latex]

SGASM=SPASM+SGSSM donc [latex]x(t)=x_1(t)+x_2(t)[/latex]
[TeX]x(t)=a_1*e^{-i\dsqrt{a}t}+a_2*e^{i\dsqrt{a}t}[/TeX]
[TeX]x(t)=a_1*cos(\sqrt{a}t)+a_2*sin(\sqrt{a}t)[/TeX]
Bon après faut réfléchir hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 03-07-2013 17:21:06

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

Qui trouvera le pls de zéros ?

shadock : C'est bien parti ! Reste à trouver un lien entre les deux équa diffs !

Spoiler : Indice 4 Ce lien entre les deux équations différentielles n'est pas trivial, mais est trouvable du fait que les deux équations n'ont pas de terme en [latex]x'[/latex] (cela simplifie la chose !), et de plus, elles sont linéaires, du second ordre, résolues en [latex]x''[/latex]. De telles équations possèdent des propriétés, les unes par rapport aux autres. Reste à trouver la bonne !

Spoiler : Indice 5 Soient deux équas diffs (1) et (2) respectivement :
[TeX]x''(t) + f_1(t)x(t) = 0[/TeX]
[TeX]x''(t) + f_2(t)x(t) = 0[/TeX]
Le lien à trouver est entre les deux fonctions [latex]f_i[/latex], lequel donne des informations importantes sur les solutions respectives des équations différentielles. Là-dessus, un coup de pouce d'Internet est possible. smile

 #8 - 06-07-2013 00:23:19

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Qui trouvera lle plus de zéros ?

C'est dommage il manque un smiley qui pleure lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #9 - 06-07-2013 11:43:26

vladimir37
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 503
Lieu: nantes

qui trouvera le plus fe zéros ?

Mea culpa.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% … 2Bxy+%3D+0
Pour trouver la solution, il fallait bel et bien exploiter les fonctions d'Airy.
Mais je suis comme même curieux de voir ta solution.
Le pire est que même en connaissant la solution, je vois mal comment répondre à l'énoncé du problème.

 #10 - 16-07-2013 18:08:01

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Qui trouvera el plus de zéros ?

Alexein ne pars par en courant comme ça, moi je veux la réponse big_smile big_smile big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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