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 #1 - 01-09-2008 21:54:02

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

Combien de zérso?

Suite à mes lectures d'été.

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=1648

Par combien de zéros se termine 50! ?



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 #2 - 02-09-2008 00:46:36

666fr
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 24
Lieu: Ardennes

Combine de zéros?

50 ! = 3.04140932 × 10^64 => 56 zeros smile

 #3 - 02-09-2008 03:10:39

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

ombien de zéros?

12. Il suffit de compter les multiples de 5, et de compter double pour les multiples 25.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #4 - 02-09-2008 09:35:50

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

comnien de zéros?

Je dirai 12 :
Il y a la décompositions en nombres premiers de tous les nombres de 1 à 50 donne 12 fois le chiffre 5 :
5, 10=5*2, 15=5*3, 20=5*4, 25=5*5, 30=5*6, 35=5*7, 40=5*8, 45=5*9, 50=5*5*2

Vérfication avec Maple :
50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

 #5 - 02-09-2008 11:37:54

Limenthia
C'est qui Limenthia ?
Enigmes résolues : 41
Messages : 1021
Lieu: Oxford

Combiien de zéros?

2. Sans conviction. Moi et les maths ...


FRiZ dit : Mais j'y pense, Hulk ne peut pas présenter la météo

 #6 - 02-09-2008 14:32:48

PeteZah
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 38

Comben de zéros?

Les chiffres qui rajoutent un 0 sont 10, 20, 30, 40, et 50, ainsi que les combinaisons 12/15, 22/25, 32/35, 42/45

50! se termine donc par 9 zéros

 #7 - 02-09-2008 17:21:24

jeanno
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 1

combien se zéros?

douze!
faut denombrer les multiples de 5 puis reflechir un peu au nbre de fois que le nombre 5 apparait dans la decompo en nbres prems : une fois en general mais deux fois dans 25 et dans 50...

 #8 - 02-09-2008 21:44:23

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

cimbien de zéros?

Techniquement, on doit compter le nombre de fois où 5 est facteur, et le nombre de fois où 2 est facteur (puisque 5x2 = 10 lol)

5, 10, 15, 20, 30, 35, 40, 45 sont divisibles une fois par 5, 25 et 50, deux fois. On a donc 50! = 5^12 * K avec K non divisible par 5.

Deux versions pour la suite :


VERSION 1 : Réponse détaillée

Pour 2 :
32 est divisible 5 fois par 2
16 et 48 sont divisibles 4 fois par 2 (multiples de 2^4 = 16)
8, 24 et 40 sont divisibles 3 fois par 2 (multiples de 8)
4, 12, 20, 28, 36 et 44 sont divisibles 2 fois par 2
Les autres paires (un sur deux : 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46 et 50) sont divisibles une seule fois par 2.

On a donc 50! = 2^47 x 5^12 x X avec X premier avec 5 et premier avec 2, soit 50! = 10^12 x 2^(47-12) x X = 10^12 x 2^35 x X.

Finalement, il y a 12 zéros qui terminent le nombre 50!


VERSION 2 : Plus rapide

50! est le produit de 25 nombres pairs avec 25 nombres impairs, donc il est divisible au moins 25 fois par 2, tandis qu'il n'est que 12 fois divisible par 5. Donc 50! se termine par 12 zéros.



La version 1 est uniquement pour le plaisir (sans cesse renouvelable) de l'enc**age de mouches, les habitués du forum ne s'étonneront pas lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 03-09-2008 22:36:40

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

colbien de zéros?

Réponses exactes de dhrm77, EfCeBa, jeanno et MthS-MlndN.
Merci à Mathias pour sa démonstration brillamment détaillée.

Pour tout n:

1° Dans les couples (2,5) , 5 est le moins fréquent. La puissance de 5 dans la décomposition en facteurs premiers donne donc le résultat final.

2° Pour la trouver, une solution:

Grâce au log en base 5 de n on trouve la puissance p maximum telle
5^p <n , ici 2 (partie entière du log en question)
puis par modulo successifs, on dénombre le  nombre de termes:
puissances de 5,
puissances de 25,
puissances de 125 etc ...
jusqu'à 5^p.

On ajoute le tout pour obtenir le résultat.

Tout ça pour une démo "à la main".
Et pour:

MthS-MlndN a écrit:

le plaisir (sans cesse renouvelable) de l'enc**age de mouches, les habitués du forum ne s'étonneront pas lol


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #10 - 20-11-2010 13:29:29

momo62
Visiteur

Comben de zéros?

0

 #11 - 20-11-2010 14:08:38

clementmarmet
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1329
Lieu: I'm in spaaaace!!

combien de zéris?

voilà une réponse intelligente lollol


eki eki eki pa tang!!

 #12 - 20-11-2010 14:44:57

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Combien de zéross?

C'est vrai que si on le laisse écrit sous la forme "50!", ça se finit par un point d'exclamation, donc sa réponse est en quelque sorte juste.

Ou pas big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 22-11-2010 09:47:01

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 434

combieb de zéros?

Soit la fonction partie entière, [latex]E\ :\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{N}\ :\ x \to n \ tel\ que \ n\leq x<n+1 [/latex]

Alors le nombre de zéro qui terminent k!, pour tout k naturel, vaut:
[TeX]\sum_{i=1}^{ \infty }E(\frac{k}{5^i})[/TeX]
Pour k=50, il y a 12 zéros.

 #14 - 22-11-2010 20:49:37

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3319

Combein de zéros?

Je ne voudrai pas être embêtant, mais j'aimerai en connaître la démonstration big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 23-11-2010 01:42:46

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Comben de zéros?

La partie entière de [latex]\frac{k}{5}[/latex] donne le nombre de multiples de 5 entre 1 et k : on compte un facteur 5 pour chaque.

La partie entière de [latex]\frac{k}{5^2}[/latex] donne le nombre de multiples de 25 entre 1 et k : on compte un facteur 5 de plus pour chaque (on en a déjà compté un à l'étape précédente, il faut en rajouter un).

Etc. On somme tout à la fin pour avoir le nombre de facteurs 5 total.

Et comme c'est le nombre de facteurs 5 qui décide du nombre de facteurs 10 (voir ma réponse, et la prolonger mentalement : en multipliant les nombres de 1 à k, pour tout k, on aura au moins autant de facteurs 2 que de facteurs 5 -- et encore, le "au moins" est là uniquement pour le cas [latex]k=1[/latex]), tu as ta réponse smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 23-11-2010 12:56:53

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Combien dde zéros?

shadock a écrit:

Je ne voudrais pas être embêtant, mais j'aimerai en connaître la démonstration big_smile

Désolé, je n'ai pas pris la peine de le faire sur le moment. Je n'avais tout le temps nécessaire et je trouvais la démo assez intuitive.

Merci à MthS-MlndN de l'avoir faite pour moi wink

 #17 - 23-11-2010 16:31:52

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

combien de zérps?

De rien, et tu peux dire Mathias ou Crevette si tu as la flemme de copier-coller mon pseudo barbare smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #18 - 23-11-2010 20:48:22

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Combien de éros?

J'ai ta réponse Mathias, et j'ai compris big_smile merci.
PS dire qu'il me fallait prendre ma calculatrice pour compter le nombre de zéros dans le résultat, elle n'a pourtant pas l'air d'une pascaline roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 24-11-2010 09:33:06

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 434

xombien de zéros?

MthS-MlndN a écrit:

De rien, et tu peux dire Mathias ou Crevette si tu as la flemme de copier-coller mon pseudo barbare smile

Merci Mathias ou Crevette. je t'appellerai comme ça désormais. big_smile

 #20 - 24-11-2010 13:33:26

engine
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Enigmes résolues : 37
Messages : 351

Combien dde zéros?

666fr a écrit:

50 ! = 3.04140932 × 10^64 => 56 zeros smile

C'est un calcul ostensiblement faire à la calculatrice, mais sache que la calculatrice arrondit (ou tronque) en focntion de la capacité de son écran smile


plouf

 #21 - 24-11-2010 14:06:50

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Combien de zéros??

Moi ma calculatrice elle peut afficher un résultat de plusieurs centaines de chiffres big_smile

NB : C'est une TI89.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 24-11-2010 14:31:57

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Combien dee zéros?

En employant : [latex]\sum_{i=1}^{\infty}E(\frac{k}{5^i})[/latex] sur ma calculatrice, pour k=45 :
Je tape :
[latex]\sum_{i=1}^{\infty}(\frac{45}{5^i})[/latex] et le résultat est 45/4=11.25 ce qui signifie que 45! se termine par 11 zéro, or il se termine par 10 zéros! yikes Que faire?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #23 - 24-11-2010 14:54:41

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Combien de zéross?

Ben oui!
Tu arrondis la somme au lieu de sommer les arrondis.
C'est pas pareil.

Prend 1,5 et 0,5 pour t'en convaincre. Ca donne 1 ou 2 selon que tu arrondis chaque terme de la somme ou la somme uniquement.

Ou encore, tu trouverais que 4! se termine par un 0, alors que 4!=24.

De plus, si tu n'arrondis pas les termes, tu es obligé de sommer jusqu'à l'infini, et l'infini c'est long, surtout vers la fin. En arrondissant les termes, ils deviennent nuls au delà d'une certaine valeur de i et il est inutile de continuer de sommer.

Bref, je pense que tu as compris wink

 #24 - 24-11-2010 18:36:24

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

combien dr zéros?

L'infini ca peut être long au début aussi:
Pour parcourir 1 mètre, je dois d'abord parcourir 50 cm. Mais pour parcourir 50 cm, je dois d'abord parcourir 25 cm. Mais pour parcourir 25 cm, ...
Tu vois même au début ça va être long l'infini avant que je puisse commencer à bouger smile

Tout ressemblance avec ... ayant déjà existé ...
smile

 #25 - 24-11-2010 21:30:34

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Combein de zéros?

Donc il faut que je trouve comment faire la chose en m'arretant bien avant l'infini. hmm J'essaye d'en faire un programme sur ma calculatrice mais cette foue fonction ^^ j'ai du mal. sad
Je vais y réfléchir, un bon programmeur ne se décourage jamais. smile

PS: Thank' i've understood now wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

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(1) — Dans le produit 5*5 combein compte t_ on de facteur (1) — Par combien de zeros (1) — 2 puissance 60 resultat (1) — Combien font 9 zero (1) — Combien font 100 moin trente pourcent (1) — Quelle est le resultat de 15000 foix 10 puissance moins six (1) — Combien de nombres premiers se terminentpar zero (1) — 45k = combien de mots ? (1) — Enigme combien de f (1) — Combien font 7 puissance 1000 (1) — Combien y a t il de zero dans 1*2*3* ...*1000 (1) — Obtenir 05 avec aucun autre chiffre que des zeros (1) — 325 sur 50 font combien sur 20 (1) — Combien font 7*4 (1) — Reponse nombre a la fois multiple de 2 de 3 de 5 (1) — Pourquoi 10! deux zero ? (1) — Combien de zero 50! (1) — Les zeros de n! (1) — Conbien font 3 fois 4 cinquieme (1) — Combien de zeros a la fin de n! (1) — Nombre a 12 zeros (1) — Combien de pourcent font 4 vingt-cinquieme (1) — Decomposition en produit de facteurs premiers nombre de zero (1) — Enigme nombre de zeros (1) — Math combien font 60 fois zero (1) — Combien fait le produit de 25 (1) — Combien fait trois cinquieme de 20 (1) — Combien fait 3/4 de 10% en mathematique (1) — Par+combien+de+zero+se+fini+100! (1) — 21 zero = combien (1) — Par combien de zeros l ecriture du produi (1) — Combien de zero dans le (1) — 10 puissance 64 resultat (1) — Puissance 64 de 2 (1) — Combien font 10 puissance 32 (1) — (2 puissance 23)puissance 15/2 puissance1000 (1) — Combien font 2 cinquieme sur 20 (1) — Combien font 10 parts de base (1) — Combien de nombres premiers se terminent par 0? (1) — Combien fait 35 fois 6 (1) — Combien+de+zero+puissances (1) — On multiplie les nombres de 1 a 25. par combien de zeros se termine l ecriture du resultat de cette multiplication (1) — Par combien de zeros se termine l ecriture de 3 (1) — Enigme 0 4 17 50 125 (1) — Test combien de fois le mot et (1) — Combien font trois cinquieme de 125 (1) — Combien fon 24 zero (1) — Combien font 10 fois 4 (1) — Produit.php?id=1 (1) — Combien de fois peu t on retirer 6 de 36 (1) — 2puissance24 (1) — Par quel chiffre se termine 2 exposant 2010 (1) — Combien font 1250-8 (1) — Combien vaut 2 puissance60 (1) — Par quel chiffre se termine 2 puissance 60 et pourquoi (1) — Par quel chiffre se termine le nombre 22003 (1) — Le nombre zero a combien de facteurs (1) — Par combien se termine 2 a la puissance 50 (1) — Quel le chiffre qui se finit (1) — Par quel chiffre se termine 2 exposant 50 (1) — Enigme combien de fois le nombre 9 (1) — Combien font 35 foi 850 (1) — Combien fait 10 puissance 6 (1) — Combien font 25 fois 40 (1) — Par quel chiffre se finit 2 puissance 50 (1) — Par quel chiffre se termine 2 90 (1) — Savoir par combien de zeros se termine 100! (1) — Combien de zeros 1 x 2 x ... x 35 (1) — Combien de zero de 100! (1) — Nombres premiers se terminant par 0 combien (1) — On multiplie les nombres de 1 a 30 par combien de zeros se termine le produit (1) — Resultat 2 puissance 60 (1) — Combien font 10 puissance moins 3 (1) — 100! se termine par combien de zero? (1) — Par quel xhiffre se termine 2 exposant 60 (1) — Combien font quatre moins un ? (en chiffre(s)) (1) — Nombre de zero 100 (1) — Combien de zero dans 10<20 (1) — Enigma 0=5 1=10 2=15 3=20 4=24 5= (1) — Combien font 2 fois + que 47 (1) — Resultat de deux cinquieme de mes 45 euros (1) — Maple combien nombre premier (1) — Par combien de zeros se termine 10000000? (1) — Combien de zeros terminent l ecriture decimale 30 puissances 27 (1) — Combien fait 2 puissances 30 (1) — Combien de zero a la fin du nombre 100! (1) — Combien de zero puissances (1) — Puissance moins 12 (1) — Combien fait moin 5 % (1) — Nombre de zero 2008! (1) — Demonstartionpar quel chiffre se termine 2^60 (1) — Combien font 2 cinquieme de 25 (1) — Par combien de 0 se termine l ecriture de 100! (1) — 50! nombre de zero (1) — Combien de zero dans un nombre (1) — Dans 1000 combien de fois 25 (1) — Donner reponse de 6 cinquiemes de 25 (1) — Par combien de zeros se terminer leur produit$ (1) — Combien fond 250 puissance 200 (1) — Par combien de zeros se termine un nombre (1) — Combien de zero 10 20 30 (1) — Combien font 54 fois 55 (1) — Zeros enigme (1) — Combien font 5047 fois 55 pour cent (1) — Combien font 3+10^-5^2 (1) — 3cinquiemes de 30 (1) — Trouver le nombre de zeros qui terminent un produit de nombre (1) — 100! combien de 0 (1) — Par combien de 0 se termine le nombre ? 50 ! ? ? (1) — Combien font 7 puissance 2014 (1) — Par combien de zero se termine les milloers (1) — Combien y a t-il de zero a la fin de 100 (1) — Combien font 54 fois 6 (1) — Par combien de zero se termine 2008 (1) — Par combien de zeros le produit de tous les nombres entiers de 1 jusqu a 2010 se termine t il? (1) — Combien de 0 de 100! (1) — Combien de 0 se termine n! (1) — Par combien de zero finit 1000! (1) — Combien fait 0.20 fois 9 (1) — Photo combien fait 5fois10 (1) — Combien font 10 puissance- 12 fois 50 (1) — Combien fait 776 par 10 puissance 14 (1) — Par quel chiffre se termine 2 exposant 75 (1) — Combien de zeros dans le produit des 50 premiers nombres (1) — Nombre de zero terminant n! (1) — Nombre avec 35 zero (1) — Par combien de 0 se termine 100 (1) — Par combien de zero se termine 2013! (1) — Par combien de reros se termine l ecriture du produit des 2013 premiers nombres premiers (1) — Ecrire 10puissance5 en latex (1) — Combien font 10 k ? (1) — Expliquer moi afficher sur l ecran de la calculatrice le nombre huit cent trente quatre (1) — Par quelchiffre se termine 2 exposan 2014 (1) — 50 fois combien font mille (1) — Combien font 10 puissance-3 (1) — Combinaisons 5 sur 50 nombres (1) — Pourquoi10+10+10 on rend 5 (1) — 36 combines pour 50 nombres (1) — Combien fait 30 % en chiffres (1) — 40 fois 10 puissance moins 4 (1) — 6 a la puissance 6 combien cela fait il (1) — Combien de nombre premiers se terminent par 0 (1) — Combien de 0 en base 10 dans n! (1) — Par combien de 0 l ecriture de 100! se termine t elle (1) — Combien fait 10 puissance moin 5 (1) — Combien de combinaisons de 6 sur 20 (1) — Combien de zero resultats du produit des 2008 premiers de nombres premie (1) — Devisible par maple (1) — X+x=combien (1) — On multiplie les nombres de 1 a 25 par combien de zero se termine l ecriture (1) — Maple nombre zeros n! (1) — Nombre de zero dans 50! (1) — Math par quel chiffre se termine 2 puissance 50 justifier (1) — Combien de zero enigme (1) — Combien fait 10 puissance moins 10 (1) — Par combien de zero se termine 21! (1) — Combien de facteurs au nomre 24 (1) — Expliquer pourquoi 10 ! se termine par 2 zeros (1) — Par quel chiffre se termine 1*2 (1) — Valeur exacte de 2puissance50 (1) — Combien font 25 livre (1) — Methode pour dernier chiffre de 2 puissance 50 (1) — Dans 48 combien de fois 12 complete (1) — Combien de zero dans 2008! (1) — Combien de zeros se termine 100! 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(1) — Nombre de chiffres de 1 a 125 (1) — Combien de 1 dans un chiffre (1) — Par combien de zeros se termine le nombre 1000000! (1) — Par combien de zero le nombre (1) — Combien font 10 puissance moins 5 (1) — Facteur se terminant par un des zero (s) (1) — Mathematiques: (11^100)-1 se termine par combien de 0? (1) — 5 fois dix puissance 5 (1) — 52 est devisible par combien (1) — Combine compte smile (1) — Z? (1) — Combien font 35 fois 6 (1) — Par combien de zeros l ecriture du nombre 100! se termine t elle? (1) — Combien font 2 fois zero (1) — Combien ca fait 2/5 (1) — Combien fait 50 moin 10% (1) — Les nombres qui termine par 42 (1) — Les nombre de zero par la quelle se termine 55! 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(1) — Combien de fois 9 dans 1000 (1) — Expliquer pourquoi10! se termine par deux zero (1) — Chaussette /produit.php?id (1) — Combien font 1 puissance 30 (1) — Combien fait 2 puissance 1 (1) — Combien fait 2 puissance 75 (1) — Par combien de zeros se termine la multiplication suivante (1) — Devinette combien font (1) — +44 combien de zero (1) — Produit.php?id=12 (1) — Combien fait (-25)+(15) (1) — De 10 a 35 (1) — Nombre de zeros 100 (1) — Par combien de zeros se termine le nombre 50! (1) — Multiplie entre eux les vingt-cinq nombres entiers de 1 jusqu a 25 par combien de zeros se termine ce produit ? (1) — Par quel chiffre se. termine 2 puissance 70 (1) — 24 sur 30 font combien sur 20 (1) — Combien font sept fois zero? (1) — Par combien de 0 se termine nombres premiers (1) — Chiffre avec 24 zeros (1) — 45 est divisible par combien pour avoir 6 (1) — Par combien de 0 se termine 1000! 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