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 #1 - 13-11-2016 15:16:05

bilbo123
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 13

Prrobas

On effectue le tirage aléatoire deux nombres entiers différents dans l'intervalle [1, 10000].

Quelle est la probabilité que le plus grand nombre soit un multiple du plus petit ?



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 #2 - 13-11-2016 15:36:25

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

orobas

Cela dépend de la loi de probabilité considérée.

Le tirage de tous les nombres est-il équiprobable?

Je pourrai définir une loi de probabilité qui donne plus de poids aux nombres premiers qu'aux autres par exemple, ou encore une qui donne 1/2 d'avoir un 1 et 1/19998 d'avoir n'importe quel autre.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 13-11-2016 15:53:28

bilbo123
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 13

Proba

Le tirage des nombres est équiprobable.

Le résultat doit être donné sous la forme d'une fraction.

 #4 - 13-11-2016 16:12:06

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

probad

20917/12498750

Le nombre de couples de multiples sur le nombre de couples total.

EDIT : en tenant compte de l'ordre dans les couples : 83669 / 49995000

 #5 - 13-11-2016 16:14:19

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Proabs

Bonjour,
Est-ce pour un devoir ?
Je trouve : 20917/12498750

 #6 - 13-11-2016 16:29:43

bilbo123
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 13

Probaas

Ce n'est pas pour un devoir.

la solution a été trouvée par 2 membres.
Vous pouvez ajouter votre raisonnement dans la réponse.

 #7 - 13-11-2016 16:49:58

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

rPobas

bilbo123 (Message privé) a écrit:

Ce n'est pas pour un devoir.
Ta réponse est erronée car la fraction doit donner un nombre décimal périodique.

C'est le cas. La fraction est égale à 0.00167352735273527352...

 #8 - 13-11-2016 17:12:59

bilbo123
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 13

probaq

désolé, erreur de ma part.
enimgatus, tu as bien trouvé la solution.
gwen27,ta première solution est bien la  bonne.

 #9 - 13-11-2016 17:19:04

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Probs

Je ne me suis pas cassé la tête. Voici le programme en python3 qui a fait le calcul

Code:

from fractions import Fraction as F

N=10000; tot=N*(N-1)//2; mult=0

for i in range(1,N):
   for j in range(i+1,N+1):
      if j%i==0: mult+=1

print("N=%d Nb_Mult=%d Nb_tot= %d proba= %s = %18.16f"%(N,mult,tot,F(mult,tot),mult/tot))

ainsi que le résultat

Code:

N=10000 Nb_Mult=83668 Nb_tot= 49995000 proba= 20917/12498750 = 0.0016735273527353

Ajouté :
Plus simple

Code:

from fractions import Fraction as F
N=10000; tot=N*(N-1)//2; mult=0
for i in range(1,N): mult += N//i-1
print("N=%d Nb_Mult=%d Nb_tot= %d proba= %s = %18.16f"%(N,mult,tot,F(mult,tot),mult/tot))

Traduit en français, c'est :
somme_pour_i_variant_de_1_à_9999(partie_entière(10000/i)-1)

 #10 - 14-11-2016 19:26:46

Franky1103
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Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

pronas

Un calcul par tableur me donne (en simplifiant):
p = 20 917 / 12 498 750 = 0,167353 % env.

 #11 - 15-11-2016 13:30:07

portugal
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Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Proas

Je tente...
On peut visualiser les possibilités par un tableau 10k*10k cases (100M de cases )

On raisonne sur une ligne :
A n donné le nombre de multiples inférieur a 10k est E(10k/n) (en comptant n comme son propre multiple )

Cela représente le nombre de case "ok sous la diagonale"

Un compte sous excel donne 93 668 cases dans ce" cas

On a donc au dessus de la diagonale 83 668 case (ne pas double compter la diagonale)

Cela fait donc au total 177 336  / 100M
soit :
22 167 / 12 500 000


EDIT

Je n'avais pas vu  qu'ils devaient être différents. Il faut alors éliminer la diagonale ce qui donne 83 668 * 2 cases "ok" sur un total de 100M - 10k


soit un ratio 20 917 / 12 498 750

 #12 - 15-11-2016 16:05:13

nodgim
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Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

orobas

Il y a 2 réponses possibles, selon que les 2 nombres peuvent être identiques ou pas. La différence n'est pas importante, dans les 2 cas la proba est d'environ 0,17 %. ça se fait sur tableur, mais si c'est pour une approximation, passer par le log est possible.

 #13 - 15-11-2016 19:06:07

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

orobas

Salut,
[TeX]0.08790543674 \,\%[/TeX]
La formule générale pour un intervalle [latex][a;b][/latex] est :
[TeX]\frac{1}{b-a}\sum_{k=a}^{\lfloor\frac{b}{2}\rfloor}\frac{\lfloor\frac{b}{k}\rfloor-1}{b-k}[/TeX]

 #14 - 16-11-2016 17:45:03

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2990
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Proba

Dans un premier temps j'ai trouvé:
22167 / 12500000
soit 0.177336% de chance
mais ca inclus une possibilité de tirage de nombres identiques.

Si les nombres sont differents alors, je confirme les resultats ci dessus:
20917 / 12498750 = 0.1673527... %


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
 

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